常微分方程總復習

會計學1常微分方程總復習內(nèi)容總結(jié)緒論一階常微分方程的初等解法一階常微分方程初值問題解的基本理論高階線性方程一階線性微分方程組非線性微分方程（穩(wěn)定性）第1頁/共61頁緒論內(nèi)容總結(jié)

微分方程、常微分方程、初值問題（Cauchy問題）、方程的解、通解、特解、積分曲線、線素、線素場、微分方程和解的幾何意義，幾個常見的微分方程模型。第2頁/共61頁基本要求1、熟練掌握微分方程的所有基本概念；

2、會針對一些簡單的背景建立微分方程模型并求解。第3頁/共61頁一階常微分方程的初等解法內(nèi)容總結(jié)

變量可分離方程、齊次方程、齊次的擴展類型、一階線性方程、Bernoulli方程、恰當方程、積分因子、一階隱方程（四種可解類型）、變量代換?；疽?、熟練掌握所有基本可解類型（必考）；

2、會使用一階線性方程的通解公式證明有關(guān)結(jié)論；

3、會解簡單的積分方程.第4頁/共61頁一階常微分方程初值問題解的基本理論內(nèi)容總結(jié)

一階初值問題的存在及唯一性定理、解的延拓定理、解對初值連續(xù)依賴性定理（連續(xù)性定理）、解對初值的可微性定理.基本要求1、熟練掌握存在定理（會完整闡述），掌握Picard逐次逼近法的基本過程（五個命題）。第5頁/共61頁2、掌握解的延拓定理（會完整敘述，弄清不同的區(qū)域形態(tài)下延拓的最終情況）；

3、會闡述解對初值的連續(xù)依賴性定理和連續(xù)性定理；

4、會闡述解對初值的可微性定理，會寫出解對初值的偏導數(shù)公式.第6頁/共61頁高階線性微分方程內(nèi)容總結(jié)n階線性微分方程的形態(tài)、齊次方程、非齊次方程齊次方程解的疊加性、函數(shù)的線性相關(guān)性、Wronsky行列式（W行列式判定函數(shù)相關(guān)性）、齊線性方程的基本解組和通解結(jié)構(gòu).非齊次線性方程解的疊加原理、非齊方程通解結(jié)構(gòu)解、常數(shù)變易法復值函數(shù)定義、分析性質(zhì)、運算法則；復指函數(shù)的定義性質(zhì)、Euler公式第7頁/共61頁常系數(shù)線性方程的基本解組求法（特別重要）Euler方程常系數(shù)非齊次線性方程的求解、兩種特殊的非齊次項、待定系數(shù)法和復值函數(shù)法幾種特殊的高階方程的降階、二階線性方程的降階（重點）二階線性方程的冪級數(shù)解法（了解）第8頁/共61頁基本要求熟練掌握齊線性方程和非齊線性方程的通解結(jié)構(gòu)熟練掌握常系數(shù)齊線性方程的求解（包括Euler方程）熟練掌握具有特殊類型非齊次項的非齊次線性方程的求解（待定系數(shù)法、復值函數(shù)法）熟練掌握二階線性方程的降價公式（得到一個非零解的前提下求出另一個線性無關(guān)的解）冪級數(shù)解法（了解即可）第9頁/共61頁一階線性微分方程組內(nèi)容總結(jié)一階線性微分方程組的形態(tài)，矩陣表示，高階線性方程轉(zhuǎn)化為等價的線性方程組齊線性方程組的通解結(jié)構(gòu)，基解矩陣，通解表示，基解矩陣的有關(guān)性質(zhì)非齊線性方程組的通解結(jié)構(gòu)，常數(shù)變異公式，通解公式，特解公式矩陣指數(shù)，矩陣指數(shù)的性質(zhì)常系數(shù)齊線性方程組的基解矩陣計算（重點）第10頁/共61頁常系數(shù)非齊次線性方程組的求解基本要求熟練掌握齊線性方程和非齊線性方程的通解結(jié)構(gòu)熟練掌握常系數(shù)齊線性方程基解矩陣的求解（重點）熟練掌握較簡單的常系數(shù)非齊次線性方程的求解第11頁/共61頁試卷結(jié)構(gòu)填空題20分

1、基本概念；2、基本結(jié)論計算題50~60分

各種類型的微分方程的求解（7~9題）應用題10分左右

常微分方程建模并求解證明題10分左右

第12頁/共61頁微分方程復習第13頁/共61頁1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．第14頁/共61頁1、基本概念線性微分方程：當微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導數(shù)全是一次冪時，微分方程就稱為線性微分方程．在線性微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則稱這樣的微分方程為常系數(shù)線性微分方程

第15頁/共61頁通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件

用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題

求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．1、基本概念第16頁/共61頁(1)可分離變量的微分方程2、一階微分方程的解法第17頁/共61頁第18頁/共61頁第19頁/共61頁2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換第20頁/共61頁齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)可化為齊次的方程解法化為齊次方程．2、一階微分方程的解法第21頁/共61頁(4)一階線性微分方程方程稱為齊次的．方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為1、2、一階微分方程的解法2、非齊次微分方程的通解為第22頁/共61頁第23頁/共61頁(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.2、一階微分方程的解法解法經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．第24頁/共61頁例3第25頁/共61頁3、可降階的高階微分方程的解法解法

型接連積分n次，得通解．第26頁/共61頁3、可降階的高階微分方程的解法特點

型解法代入原方程,得第27頁/共61頁3、可降階的高階微分方程的解法第28頁/共61頁3、可降階的高階微分方程的解法第29頁/共61頁特點

型解法3、可降階的高階微分方程的解法第30頁/共61頁例6解代入方程，得故方程的通解為3、可降階的高階微分方程的解法第31頁/共61頁（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):4.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第32頁/共61頁（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)第33頁/共61頁例7解（１）由題設可得：解此方程組，得第34頁/共61頁（２）原方程為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為第35頁/共61頁５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.第36頁/共61頁特征方程為５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法第37頁/共61頁特征方程為特征方程的根通解中的對應項推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法第38頁/共61頁６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.第39頁/共61頁６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第40頁/共61頁二、典型例題例1解原方程可化為第41頁/共61頁代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為二、典型例題第42頁/共61頁例2解特征方程特征根對應的齊次方程的通解為設原方程的特解為二、典型例題第43頁/共61頁原方程的一個特解為故原方程的通解為二、典型例題第44頁/共61頁由解得所以原方程滿足初始條件的特解為二、典型例題第45頁/共61頁例3解特征方程特征根對應的齊方的通解為設原方程的特解為二、典型例題第46頁/共61頁由解得二、典型例題第47頁/共61頁故原方程的通解為由即二、典型例題第48頁/共61頁解例4則由牛頓第二定律得二、典型例題第49頁/共61頁解此方程得代入上式得二、典型例題第50頁/共61頁測