云南省大理市體育職業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

云南省大理市體育職業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線x﹣y+2=0與圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圓心為C）交于點(diǎn)A，B，則∠ACB的大小為（）A．30° B．60° C．90° D．120°參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓心到直線的距離，利用三角函數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓心到直線的距離d==，圓的半徑為2，∴cos∠ACB=，∴∠ACB=90°，故選C．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)是Z（1，﹣2），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)可求．【解答】解：由復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=1+2i．故選：A．3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（

）

20

40參考答案：C4.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，存在兩項(xiàng)am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，則的最小值是（）A． B．2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，確定m，n的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求出則的最小值．【解答】解：在等比數(shù)列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，當(dāng)且僅當(dāng)，即n=2m時取等號．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，涉及的知識點(diǎn)較多，要求熟練掌握基本不等式成立的條件．5.設(shè),在上的投影為,在軸上的投影為,且,則為(

).

A.

B.

C.

D.參考答案：答案：B6.已知點(diǎn)在經(jīng)過兩點(diǎn)的直線上，那么的最小值為

A.

B.

C.

D.不存在參考答案：B7.已知向量，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由題意，所以答案A，B都不正確；又，且，所以答案C不正確，應(yīng)選答案

D。

8.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為銳角的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5，則直線l的方程為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，再根據(jù)弦的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線方程，可得，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，由，得，則，又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5，所以，即，解得,即，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中設(shè)出直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和題設(shè)條件，得到關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B10.已知M點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且，點(diǎn)I為的內(nèi)心，延長MI交線段F1F2于一點(diǎn)N，則的值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函數(shù)，則f（x）的增區(qū)間是．參考答案：（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中函數(shù)f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出滿足條件的a的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函數(shù)，∴a﹣1=0∴f（x）=﹣x2+3，其圖象是開口方向朝下，以y軸為對稱軸的拋物線故f（x）的增區(qū)間（﹣∞，0]故答案為：（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知條件結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，得到a值，是解答本題的關(guān)鍵．12.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且，則等于__._.參考答案：6因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以，所以.13.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)在點(diǎn)A處的切線方程為

．參考答案：14.在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a2+b2﹣c2=ab，且acsinB=2sinC，則?=

．參考答案：3【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理將條件進(jìn)行化簡，結(jié)合向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理得cosC==，則C=，∵acsinB=2sinC，∴由正弦定理得ac?b=2c，即ab=2，則?=||?||cosC=abcosC=2×=3，故答案為：3．15.如圖所示,為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)秒針針尖位置P(x,y).若初始位置為P0（,）,當(dāng)秒針從P0(注此時t=0)正常開始走時,那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)關(guān)系為

參考答案：【知識點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換.權(quán)所有C4

【答案解析】y=sin

解析：∵函數(shù)的周期為T=60，∴ω==，設(shè)函數(shù)解析式為y=sin（﹣t+φ）（順時針走動為負(fù)方向）∵初始位置為P0（，），∴t=0時，y=，∴sinφ=，∴φ可取，∴函數(shù)解析式為y=sin（﹣t+）,故答案為：【思路點(diǎn)撥】首先確定函數(shù)的周期，再設(shè)函數(shù)的解析式，待定系數(shù)可求函數(shù)的解析式．16.已知函數(shù)，則

．參考答案：略17.實(shí)數(shù)滿足若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線方程；（Ⅱ）若g（x）≥f（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）再求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案；（Ⅱ）由g（x）≥f（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立．分離參數(shù)t，可得即t≤對任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．兩次求導(dǎo)可得x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，得到F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．從而得到F（x）≥F（1）=1．由此可得t的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，則f′（1）=e﹣1．而f（1）=e，∴所求切線方程為y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，∴g（x）≥f（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立．?ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立．即t≤對任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．則F′（x）=，設(shè)G（x）=，則G′（x）=對任意x∈（0，+∞）恒成立．∴G（x）=在（0，+∞）單調(diào)遞增，且G（1）=0．∴x∈（0，1）時，G（x）＜0，x∈（1，+∞）時，G（x）＞0，即x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴F（x）≥F（1）=1．∴t≤1，即t的取值范圍是（﹣∞，1]．19.(本小題滿分10分)等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和;參考答案：20.已知函數(shù)f（x）=+x．（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在負(fù)整數(shù)a，使函數(shù)f（x）的極大值為正值？若存在，求出所有負(fù)整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；（2）設(shè)a＞0，求證：函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．（2）根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)極值的定義，找到極值點(diǎn)，求出極值，當(dāng)極大值為正數(shù)時，從而判定負(fù)整數(shù)是否存在；（3）利用單調(diào)性與極值的關(guān)系，求證：既存在極大值，有存在極小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直線過點(diǎn)（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣

…（2）若a＜0，∵（x≠0），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)在（﹣∞，0）上無極值；當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)在（0，1）上無極值；在x∈（1，+∞）時，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，則H′（x）=（aex+2）x，∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a為負(fù)整數(shù)∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上單調(diào)減，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴?x0∈（1，2），使得H（x0）=0

…且1＜x＜x0時，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0時，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0處取得極大值

（*）又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在負(fù)整數(shù)a滿足條件．…（3）設(shè)g（x）=aex（x﹣1）+x2，則g′（x）=（aex+2）x，因?yàn)閍＞0，所以，當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；故g（x）至多兩個零點(diǎn)．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增知，當(dāng)x∈（0，x1）時，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，+∞）時，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）單調(diào)遞增；所以函數(shù)f（x）在x1處取得極小值．…當(dāng)x＜0時，ex＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函數(shù)y=x2+ax﹣a是關(guān)于x的二次函數(shù)，必存在負(fù)實(shí)數(shù)t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減知，當(dāng)x∈（﹣∞，x2）時，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x2，0）時，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）單調(diào)遞減；所以函數(shù)f（x）在x2處取得極大值．綜上，函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值．…21.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ[0，]。（I）求C的參數(shù)方程；（II）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（I）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).參考答案：（I）

（II）（I）可得的參數(shù)方程為（II）設(shè)，由（I）知是以為圓心，1為半徑的上半圓，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線與垂直，所以直線與的斜率相同，故的直角坐標(biāo)系為22.已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（1）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的極小值；（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈[1，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，函數(shù)g（x）取得最小值為1．若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．【解答】解：（1）由題可知，f（x）=x2﹣3x+lnx，所以…令f'（x）=0，得或x=1…令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，所以f（x）在，（1，+∞）單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

…所以