相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率(一)福建師大2003級教育碩士福建省福安市第三中學(xué)

黃雄1/31/20231.教學(xué)目標(biāo)

1.1地位、作用

《相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率（一）》是高中數(shù)學(xué)第二冊下第十章第七節(jié)的第一課時(shí),這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了排列、組合、等可能性事件概率、互斥事件概率的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.通過本節(jié)學(xué)習(xí)不僅要掌握相互獨(dú)立事件的定義及其同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式和公式的應(yīng)用,為后繼學(xué)習(xí)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等概率知識以及今后升入高一級院校學(xué)習(xí)相關(guān)知識奠定良好基礎(chǔ),更重要的是培養(yǎng)學(xué)生關(guān)愛人文、虛心求教的精神與從正反兩個(gè)方面考慮問題的辯證思想.

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1.2學(xué)情分析

由于在我執(zhí)教的高二班級中,學(xué)生基礎(chǔ)知識相對比較扎實(shí),在已往的探究性課題學(xué)習(xí)方面都比較成功,基本上能適應(yīng)以探究為主導(dǎo)策略的教學(xué)模式,并對探究性課題的學(xué)習(xí)有積極的興趣、善于探索.但由于該班男女生比例懸殊太大（全班僅10名男生）,鑒于女生在左腦半球偏側(cè)性功能專門化上,較之男生更早,更強(qiáng)烈,優(yōu)于男生,因而在語言表達(dá),短時(shí)記憶方面優(yōu)于男生;而男生則相反,大腦的右半球比較發(fā)達(dá),所以在空間知覺,分析、綜合能力以及實(shí)驗(yàn)的觀察、推理方面優(yōu)于女生.因此教學(xué)中注重通過實(shí)物或模型的構(gòu)建幫助女生對知識的理解.1.教學(xué)目標(biāo)

1/31/20231.教學(xué)目標(biāo)根據(jù)本節(jié)所處的地位與作用,結(jié)合學(xué)生的具體學(xué)情,確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：知識目標(biāo)：理解相互獨(dú)立事件的意義,掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式,并能應(yīng)用該公式計(jì)算一些獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,進(jìn)一步理解偶然性與必然性之間的辯證關(guān)系.能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、探究性學(xué)習(xí)的能力、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力,發(fā)展學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識和能力,提高熟練使用科學(xué)計(jì)算器的能力.情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注人文、虛心求教的情感,幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的發(fā)現(xiàn)與快樂,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.1/31/20232.重點(diǎn)、難點(diǎn)

2.1教學(xué)重點(diǎn)：

概念教學(xué)、探究公式、應(yīng)用公式.2.2教學(xué)難點(diǎn)：

理解概念、探究公式、應(yīng)用公式解決實(shí)際問題.

1/31/20233.教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)手段：采用多媒體輔助教學(xué)教學(xué)方法：探究法、講授法、啟發(fā)式教學(xué)1/31/20234.教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境 概念教學(xué) 探究公式 注重反思

拓展應(yīng)用

1/31/20231.創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生的思維“動”起來

[問題1]

“三人行,必有吾師”出自哪里？如何解釋？你從中得到什么啟發(fā)？從數(shù)學(xué)的角度,你能做出解釋嗎？

1/31/20232.概念教學(xué),讓學(xué)生的思維“活”起來

[回顧]：一個(gè)壇子里有6個(gè)白球,3個(gè)黑球,2個(gè)紅球,設(shè)摸到一個(gè)球是白球的事件為A,摸到一個(gè)球是黑球的事件為B,問A與B是互斥呢,還是對立事件？[思考1]：甲壇子里有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,乙壇子里有2個(gè)白球,2個(gè)黑球,設(shè)從甲壇子里摸出一個(gè)球,得出白球叫做事件A,從乙壇子里摸出1個(gè)球,得到白球叫做事件B,問A與B是互斥事件呢？還是對立事件？還是其他什么關(guān)系？1/31/20232.概念教學(xué),讓學(xué)生的思維“活”起來

[研究結(jié)論1]：我們把“從甲壇子里摸出一個(gè)球,得出白球”叫做事件A,“從乙壇子里摸出1個(gè)球,得到白球”叫做事件B,很明顯,從一個(gè)壇子里摸出的是白球還是黑球,對從另一個(gè)壇子里摸出的白球的概率沒有影響.這就是說,事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

[對照鞏固]：一個(gè)壇子內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,把“從中任意摸出一個(gè)球,得到白球”記作事件A,把“從剩下的3個(gè)球中任意摸出一個(gè)球,得到白球”記作事件B.試問A與B是不是相互獨(dú)立事件？

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[變式回顧]：一個(gè)壇子里有6個(gè)白球,3個(gè)黑球,2個(gè)紅球,現(xiàn)在進(jìn)行有放回地摸球，設(shè)第一次摸到一個(gè)球是白球的事件為A,第二次摸到一個(gè)球是黑球的事件為B，第三次摸到一個(gè)球是紅球的事件為C，問A與B，B與C，A與C各屬于什么事件？2.概念教學(xué),讓學(xué)生的思維“活”起來變式探究A、B與C三者之間呢？如果摸球是無放回的呢？1/31/20232.概念教學(xué),讓學(xué)生的思維“活”起來

[變式思考1]：在思考1中,請指出事件與分別指什么？并指出A與,與B,與之間的關(guān)系.[研究結(jié)論2]：一般地,如果事件A與B相互獨(dú)立,那么A與,與B,與也都是相互獨(dú)立的.[思考2]：如果事件A與事件B是互斥事件,下列四個(gè)命題中哪些是正確的？為什么？①A與B是對立事件；②與是互斥事件；③與是相互獨(dú)立事件；④A與B是相互獨(dú)立事件1/31/20233.探究公式,讓學(xué)生的思維“跳”起來

[探索研究1]：在思考1中,若記事件A與事件B同時(shí)發(fā)生為A·B,那么P（A·B）與P（A）及P（B）有什么關(guān)系呢？它們之間有著某種必然的規(guī)律嗎？

[思考1]：甲壇子里有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,乙壇子里有2個(gè)白球,2個(gè)黑球,設(shè)從甲壇子里摸出一個(gè)球,得出白球叫做事件A,從乙壇子里摸出1個(gè)球,得到白球叫做事件B,問A與B是互斥事件呢？還是對立事件？還是其他什么關(guān)系？1/31/2023學(xué)生成果1/31/2023學(xué)生成果1/31/20233.探究公式,讓學(xué)生的思維“跳”起來

[探索研究1]：在思考1中,若記事件A與事件B同時(shí)發(fā)生為A·B,那么P（A·B）與P（A）及P（B）有什么關(guān)系呢？它們之間有著某種必然的規(guī)律嗎？

[研究結(jié)論3]：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積.即：P（A·B）=P（A）·P（B）.1/31/20233.探究公式,讓學(xué)生的思維“跳”起來

[思考3]：應(yīng)用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式有何前提？兩個(gè)前提：1.事件之間相互獨(dú)立

2.這些事件同時(shí)發(fā)生.[探索研究2]：如果A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件,

那么1－P（A）·P（B）表示什么？

參考解答：1－P（A）·P（B）表示相互獨(dú)立事件A、B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率,它在概率的計(jì)算中經(jīng)常要用到.1/31/20234.注重反思,讓學(xué)生的思維“深”下去

[反思應(yīng)用1]：例1甲、乙2人各進(jìn)行1次射擊,如果2人擊中目標(biāo)的概率都是0.6,計(jì)算：（1）2人都擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率；（3）至少有1人擊中目標(biāo)的概率.[引申1]:

如果甲、乙、丙三人各射擊一次,恰有1人擊中包括哪幾種情況？

[引申2]：甲、乙、丙三人各射擊一次,至少有1人擊中目標(biāo),包括哪幾種情況？

1/31/20234.注重反思,讓學(xué)生的思維“深”下去

1/31/20235.拓展應(yīng)用相結(jié)合,讓學(xué)生的思維得以升華

[拓展1]：一般地,如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P（A1·A2···An）=P（A1）·P（A2）···

P（An）.[拓展2]：如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,

那么1－P（A1）·P（A2）···P（An）表示什么？

設(shè)計(jì)說明：由于有了前幾節(jié)學(xué)習(xí)事件和的拓展經(jīng)驗(yàn),采取類比的方式對事件的積進(jìn)行拓展并不困難，教學(xué)處理中也淡化了它的證明.通過拓展引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展,由特殊的情形去大膽地猜想一般的情形,從而培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維方式.1/31/20235.拓展應(yīng)用相結(jié)合,讓學(xué)生的思維得以升華[反思應(yīng)用2]：例2：設(shè)每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,混合100個(gè)人的血清,求此血清中含有肝炎病毒的概率.對該題的計(jì)算結(jié)果,你有何感悟.解以Ai(i=1,2,…,100)表示第i個(gè)人的血清含有肝炎病毒這一事件,這些事件可以看作是獨(dú)立的,這里所要求的概率是

P=1—P()P()···P()=1—0.996100≈0.33.

此例告訴我們這樣一個(gè)事實(shí),即每個(gè)人有病毒的概率很小,但是許多人混合后有病毒的概率就很大,所以,在公共場所要注意清潔衛(wèi)生,在實(shí)際工作中,對這類效應(yīng)必須充分重視.

1/31/20235.拓展應(yīng)用相結(jié)合,讓學(xué)生的思維得以升華[反思應(yīng)用3]：詮釋：三人行,必有吾師.俗話說“三百六十行,行行出狀元.”我們不妨把一個(gè)人的才能分成360個(gè)方面.因?yàn)榭鬃邮谴髮W(xué)問家,我們假設(shè)他在每一行的排名都處在前的可能性為99%,即任意一個(gè)人在任一方面的才能低于他的可能性為99%.則在任一行中,另外兩個(gè)的才能均不超過孔子的可能性是99%×99%=98.01%,而在360行中,另外兩人的才能均不超過孔子的可能性為(98.01%)360≈0.07%.反過來說,另外兩人中有人的才能在某一方面超過孔子的可能性為1—(98.01%)360≈99.93%.也就是說,兩人中有人可以在某一方面做孔子的老師的可能性約為99.93%.

從上面的分析可知,“三人行,必有我?guī)煛彪m然是孔子自謙的話,但從實(shí)際情況來看,這句話是很有道理的.設(shè)計(jì)說明：本例的解決不僅與引課呼應(yīng),而且讓學(xué)生真正意識到不恥下問,虛心求教的必要性,養(yǎng)成謙虛求教的良好治學(xué)態(tài)度,適時(shí)地對學(xué)生進(jìn)行德育教育，本例還可以提高他們使用科學(xué)計(jì)算器的能力.

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[總結(jié)提煉]：兩個(gè)事件相互獨(dú)立,是指它們其中一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.一般地,兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立,因?yàn)榛コ馐录遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的,而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,這一點(diǎn)與互斥事件的概率和是不同的.

[布置作業(yè)]：

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你認(rèn)為印象最深的知識是

；你認(rèn)為需要繼續(xù)與同學(xué)或老師探討的問題是

；你認(rèn)為上課過程中老師還需要改進(jìn)的是：

.2.思考：若甲試驗(yàn)共有N1種等可能的不同結(jié)果,其中屬于事件A發(fā)生的結(jié)果有m1種；乙試驗(yàn)共有N2種等可能的不同結(jié)果,其中屬于事件B發(fā)生的結(jié)果有m2種.這里的種數(shù)N1、m1與N2、m2之間互相沒有影響.

試問是否仍然有P（A·B）=P（A）·P（B）.

3.完成P132練