信號與系統(tǒng)第三章：傅里葉變換

1傅里葉變換上海大學機自學院2上一章（線性時不變系統(tǒng)的時域分析）回顧上一章其實質(zhì)是在時域中進行系統(tǒng)分析的任務(wù)，也就是說解決在給定的時域輸入信號激勵作用下，系統(tǒng)在時域中將產(chǎn)生什么樣響應(yīng)的問題。之所以稱為時域分析，是由于在系統(tǒng)分析的過程中，所涉及的函數(shù)變量均為時間t，故這一方法稱之為“時域分析法”。該方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎(chǔ)。主要內(nèi)容，可概括為如下幾個方面：1、時域分析的基本概念系統(tǒng)時域響應(yīng)的概念和四種主要響應(yīng)形式。2、離散系統(tǒng)的時域分析差分和差分方程的含義和建立；差分方程的經(jīng)典解法，以及各種響應(yīng)的具體求解。3、單位沖擊響應(yīng)與單位樣值響應(yīng)單位沖擊響應(yīng)和單位樣值響應(yīng)的概念和實質(zhì)；通過微分方程或差分方程的求解方法。4、卷積積分卷積積分的基本概念和意義；采用定義法和圖解法進行求解的方法和步驟；卷積積分的重要性質(zhì)。5、卷積和卷積和的基本概念和意義；通過定義、性質(zhì)以及圖解法和不進位乘法熟練進行求解的方法和步驟。3第三章主要內(nèi)容3.1信號分解為正交函數(shù)(一般了解）3.2傅里葉級數(shù)3.3周期信號的頻譜3.4非周期信號的頻譜（傅里葉變換）3.5傅里葉變換的性質(zhì)3.6卷積定理3.7周期信號的傅里葉變換3.8.抽樣信號的傅里葉變換與取樣定理4時域分析時域分析的要點是，以沖激信號或單位信號為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)或單位函數(shù)；且，

對于連續(xù)時間系統(tǒng)對于離散時間系統(tǒng)

在本章的分析中，所指的信號和系統(tǒng)均為連續(xù)時間信號和連續(xù)時間系統(tǒng)。5變換域變換域一般指：頻域、S域和Z域；也就是通過各種數(shù)學變換，將時域的信號與系統(tǒng)變換到頻域、S域和Z域中進行分析和觀察，這樣不僅能夠簡化信號與系統(tǒng)在時域分析中的復(fù)雜計算，更主要的是：可以觀察到信號與系統(tǒng)在時域分析中所無法看到的一些奇妙的現(xiàn)象和特性，從而可以多角度地對信號與系統(tǒng)有更深刻的認識和更全面的把握。采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章傅里葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。6由于這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛指數(shù)函數(shù)之和。本章以正弦函數(shù)或(虛指數(shù)函數(shù))為基本信號任意非周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛指數(shù)函數(shù)積分。7信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。

為各相應(yīng)方向的正交單位矢量。

它們組成一個二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。3.1信號分解為正交函數(shù)8矢量正交集矢量正交的定義矢量和內(nèi)積為零，即矢量正交集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。如三維空間中，所組成的集合就是矢量正交集，且完備。矢量表示為矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。9（2）正交函數(shù)集在區(qū)間上的n個函數(shù)（非零）……,其中任意兩個均滿足

為常數(shù)，則稱函數(shù)集為區(qū)間

內(nèi)的正交函數(shù)集。（1）正交函數(shù)在區(qū)間上定義的非零實函數(shù)

和若滿足條件則函數(shù)與為在區(qū)間的正交函數(shù)。正交函數(shù)集10完備正交函數(shù)集之外不存在函數(shù)

如果在正交函數(shù)集

滿足等式

，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。三角函數(shù)集：

在區(qū)間內(nèi)組成完備正交函數(shù)集。11

是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，n=1,...由積分可知三角函數(shù)集12復(fù)指數(shù)函數(shù)集13信號分解為正交函數(shù)設(shè)有n個函數(shù)

在區(qū)間

構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)

用這

個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為：

14根據(jù)最小均方誤差原則，可推出：

式中：如果分解的項數(shù)越多則誤差愈小。即

，均方誤差

，即

在區(qū)間

內(nèi)分解為無窮多項之和。15將周期信號

在區(qū)間

內(nèi)展開成完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為“三角形傅里葉級數(shù)”或“指數(shù)形傅里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。

3.2傅里葉級數(shù)16設(shè)有一個周期信號它的周期是，角頻率

它可分解為：一、周期信號的分解其中

稱為傅里葉系數(shù)，

。17傅里葉系數(shù)如何求得式中：18由上式可見，

是

的偶函數(shù)

，

是

的奇函數(shù)，

由于是同頻率項,因此可將其合并19式中：

則有

可見，

是

的偶函數(shù)，即有

而

是的奇函數(shù)，即有

20一般而言稱為次諧波，是次諧波的振幅，是其初相角?？梢姡魏螡M足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直流分量，一次諧波或基波(它的角頻率與原周期信號相同)，二次諧波，以此類推，三次，四次等諧波。

21狄里赫利條件（1）在一周期內(nèi)，間斷點的數(shù)目有限；（2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；（3）在一周期內(nèi)，電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄里赫利條件條件，當f(t)滿足狄里赫利條件時，才存在。22

結(jié)論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。一般而言稱為次諧波，是次諧波的振幅，是其初相角。23解：

例3.2-1將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)242526它僅含有一、三、五、七....等奇次諧波分量。如下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數(shù)來逼近的情況：27TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波28（1）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號。（2）所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。（3）即使

，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有

的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。

(吉布斯現(xiàn)象）29若給定的

有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零從而使計算較為簡便。（1）

為偶函數(shù)則有

，波形對稱于縱坐標。

二、奇偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)30從而有

31（2）

為奇函數(shù)則有

，波形對稱于原點。32進而有這時有33實際上，任意信號都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分。其中**一個函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)不僅與其波形有關(guān)，而且與原點的選擇有關(guān)。34如果

的前半周期波形移動

后，與后半周期波形對稱于橫軸即：

，稱為奇諧函數(shù)。

此時傅里葉級數(shù)展開式中將只含奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量。即

0t-TT-T/2f

(t)T/21-1奇諧函數(shù)（3）

為奇諧函數(shù)35例3.2-2例：周期矩形信號如圖所示，若重復(fù)頻率=5KHz，脈寬為20微妙，幅度=10V，求傅立葉級數(shù)展開的直流分量大小，以及基波、二次諧波和三次諧波的有效值。36解：因為為偶函數(shù)，所以，故只有直流分量和余弦分量，并有，利用公式求解如下：直流分量：

所以直流分量為n次諧波系數(shù)：其有效值為：37將代入上式，得基波有效值為：同理當和時，得二次和三次諧波的有效值分別為：

38討論

關(guān)于n的奇偶性是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。39將上式第三項中的

用

代換，并考慮到

是

的偶函數(shù)，即

；

是

的奇函數(shù),

則上式可寫為

:三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式40如將上式中的

寫成

（

），則上式可以寫成:41令復(fù)數(shù)量

，稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。其模為

，相角為

，則得傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式為

42復(fù)傅里葉系數(shù)

43這就是求指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)

的公式。

任意周期信號

可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號

之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為

。44

與

互為共軛。

與

的關(guān)系。45三角形式傅里葉級數(shù)46指數(shù)形式傅里葉級數(shù)任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)之和。47復(fù)傅里葉系數(shù)

與

，

，

的關(guān)系483.3周期信號的頻譜

為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。一、頻譜圖的概念已知周期信號f(t)可用傅里葉級數(shù)來表示。或49如果將

，

的關(guān)系繪成下面的線圖，便可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，分別稱為幅度譜和相位譜（單邊）。如果將

，

的關(guān)系繪成下面的線圖，同樣可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，也分別稱為幅度譜和相位譜（雙邊）。50頻譜圖幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線51周期信號采用指數(shù)形式展開后的頻譜,因Fn一般為復(fù)數(shù),稱為復(fù)數(shù)頻譜.圖3-2周期信號的復(fù)數(shù)頻譜

52例

3.3-1

試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。

解

f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù)可知，其基波頻率ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分別為二、三、六次諧波頻率。且有53其余

54圖

3.3-1

(a)振幅譜；

(b)相位譜

55圖

3.3-2信號的雙邊頻譜(a)振幅譜；

(b)相位譜

56二、

周期矩形脈沖的頻譜

設(shè)有一幅度為E，脈沖寬度為

的周期性矩形脈沖，其周期為

，求其復(fù)傅里葉系數(shù)。圖

3.3-3周期矩形脈沖157E58---------取樣函數(shù)

1.它是偶函數(shù)。

2.當

時，

。3.當

時，函數(shù)值為0。它是無限拖尾的衰減振蕩。E59該周期性矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為：

圖3.3-4周期矩形脈沖的頻譜（T=4）60第一個零點時譜線的序號：零點的位置：相鄰譜線的間隔：第一個零點的位置：61

由上圖

可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點：

第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。

第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率w1的整數(shù)倍頻率上，即含有w1的各次諧波分量，而決不含有非w1的諧波分量。

第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nw1的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著nw1的增大而逐漸減小。

當nw1→∞時，|Fn|→0。

62前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜密集成為連續(xù)頻譜。同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍保持一定的比例關(guān)系。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令一、傅里葉變換3.4非周期信號的頻譜稱為頻譜密度函數(shù)。63當周期T1

趨近于無限大時，w1趨近于無窮小，取其為，而將趨近于，nw1

是變量，當時，它是離散值，當w1趨近于無限小時，它就成為連續(xù)變量，取為，求和符號改為積分。如何求頻譜密度函數(shù)？由式可得64成為（1）式稱為函數(shù)的傅里葉變換。（2）式稱為函數(shù)的傅里葉逆變換。稱為的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù).

稱為的原函數(shù)。簡記為?于是當時，式￥?T165

與周期信號的傅里葉級數(shù)相類似，在f(t)是實函數(shù)時，

F(ω)、φ(ω)與R(ω)、X(ω)相互之間存在下列關(guān)系：是的偶函數(shù)。是的奇函數(shù)。66

在f(t)是實函數(shù)時：

(1)若f(t)為t的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的實函數(shù)，

且為ω的偶函數(shù)。

(2)若f(t)為t的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)為ω的虛函數(shù)，且為ω的奇函數(shù)。

結(jié)論67例3.4-1下圖所示為門函數(shù)（或稱矩形脈沖），用符號表示，其寬度為，幅度為。求其頻譜函數(shù)。0二、典型信號的傅里葉變換68解：如圖所示的門函數(shù)可表示為其頻譜函數(shù)為69圖3.4-1門函數(shù)及其頻譜00實偶實偶一般而言，信號的頻譜函數(shù)需要用幅度譜和相位譜兩個圖形才能將它完全表示出來。但如果頻譜函數(shù)是實函數(shù)或虛函數(shù)，那么只用一條曲線即可。為負代表相位為，為正代表相位為0.70由圖可見，第一個零值的角頻率為（頻率）。當脈沖寬度減小時，第一個零值頻率也相應(yīng)增高。對于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個零值頻率之間的頻段為信號的頻帶寬度。這樣，門函數(shù)的帶寬，脈沖寬度越窄，其占有的頻帶越寬。0(時域越窄,頻域越寬)71例3.4-2求單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)0t圖3.4-2單邊指數(shù)函數(shù)()tetua

-()()0

>-auatet解:將單邊指數(shù)函數(shù)的表示式代入到式()tetua

-72這是一復(fù)函數(shù),將它分為模和相角兩部分：73幅度譜和相位譜頻譜圖如下圖所示：

()0-/2

/2(b)相位頻譜01/(a)振幅頻譜圖3.4-3單邊指數(shù)函數(shù)()0

t

>-auate74例3.4-3求下圖所示雙邊指數(shù)信號的頻譜函數(shù)et10tf1(t)e-t解：上圖所示的信號可表示為：或者寫為75將代入到式，可得其頻譜函數(shù)為：76其頻譜圖如下所示：F1(j)02/實偶實偶et10tf1(t)e-t77例3.4-4求下圖所示信號的頻譜函數(shù)-et10tf2(t)e-t-1解:上圖所示的信號可寫為：（其中)78-et10tf2(t)e-t-179其頻譜圖如下圖所示：X2()01/-1/實奇虛奇-et10tf2(t)e-t-180例3.4-5求沖激函數(shù)的頻譜

?即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)，如下圖所示。其頻譜密度在區(qū)間處處相等，常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。0t

(t)01F(j)(a)(b)圖3.4-6單位沖激函數(shù)的頻譜81沖激函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的頻譜函數(shù)為?按沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：可知即?同理可得?82例3.4-6求單位直流信號的頻譜顯然，該信號不滿足絕對可積條件，但其傅里葉變換卻存在。它可以看作是函數(shù)當時的極限。則直流信號的頻譜函數(shù)也應(yīng)是的頻譜函數(shù)當時的極限。0et1tf1(t)e-t83所以即?當趨近于零時我們已經(jīng)知道的頻譜函數(shù)為：84f1(t)0t1234(a)432102

()(b)02

()(b)0t1(a)圖3.4-8直流信號的頻譜圖3.4-7求?

[1]的極限過程85例3.4-7

求符號函數(shù)的頻譜

符號函數(shù)定義為顯然,該函數(shù)也不滿足絕對可積條件。函數(shù)可看作函數(shù)：當時的極限。86則它的頻譜函數(shù)也是的頻譜函數(shù)，當時的極限。我們已知的頻譜函數(shù)為：它是的奇函數(shù)，在處。因此，當趨近于零時，有：87?它在處的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b)

圖3.4-9sgn(t)及其頻譜88例3.4-8求階躍函數(shù)的頻譜

對上式兩邊進行傅里葉變換，得:????89

圖3.4-10u(t)及其頻譜0

()R()X()0R()

()-1/X()0-1/1/20t10t1/20t-1/21/2Sgn(t)其頻譜的實部和虛部分別為:頻譜的虛部是的奇函數(shù)，在處其值等于零。90important91表

常用傅里葉變換對

92續(xù)表

93思考題：1.為什么要對信號進行變換域分析？為什么要進行傅立葉變換？2.幅頻特性和相頻特性代表的是什么含義？意義何在？預(yù)習內(nèi)容：傅立葉變換的性質(zhì)，具體內(nèi)容包括：線形特性；奇偶特性；對稱特性；尺度變換性；時移特性；頻移特性；微分特性；積分特性；

94（1）頻域分析與頻譜的基本概念；（2）任意的周期信號，可以用傅立葉級數(shù)進行展開，并具有“三角形式”和“復(fù)指數(shù)形式”的兩種形式；

三角形式:

復(fù)指數(shù)形式:

（3）非周期信號，采用“傅立葉變換對”可進行傅立葉變換；傅立葉變換對

周期信號的頻譜是“離散譜”；非周期信號的頻譜是“連續(xù)譜”（4）常用或典型非周期信號的傅立葉變換----“頻譜函數(shù)”；

上次課的回顧：9596

任一信號可以有兩種描述方法：時域的描述頻域的描述

本節(jié)將研究在某一域中對函數(shù)進行某種運算，在另一域中所引起的效應(yīng)。

為簡便，用

表示時域與頻域之間的對應(yīng)關(guān)系，即

?3.5傅里葉變換的性質(zhì)97一、

線性

若則對于任意常數(shù)

和

，有傅里葉變換的線性性質(zhì)可以推廣到有多個信號的情況。

98線性性質(zhì)有兩個含義：

1、齊次性

它表明，若信號

乘以常數(shù)

（即信號增大

倍），則其頻譜函數(shù)也乘以相同的常數(shù)

（則其頻譜函數(shù)也增大

倍）；

2、可加性

它表明，幾個信號之和的頻譜函數(shù)等于各個信

號的頻譜函數(shù)之和。99二、

奇偶性下面研究時間函數(shù)與其頻譜的奇、偶、虛、實關(guān)系。

如果

是時間

的實函數(shù)，那么根據(jù)：

100其中頻譜函數(shù)的實部和虛部分別為：頻譜函數(shù)的模和相角分別為：1、若

f(t)是時間

t的實函數(shù)，則頻譜函數(shù)

的實部

是角頻率

的偶函數(shù)，虛部

是角頻率

的奇函數(shù)，

是

的偶函數(shù)，

是

的奇函數(shù)。1012、如果

是時間

的實函數(shù)，并且是偶函數(shù)，則

頻譜函數(shù)

等于

，它是

的實偶函數(shù)。

3、如果

是時間

的實函數(shù)，并且是奇函數(shù)，則

頻譜函數(shù)

等于

，它是

的虛奇函數(shù)。

1024、

的傅里葉變換?令

，得?考慮到

是

的偶函數(shù)，

是

的奇函數(shù)，故：?若

f(t)是時間

t的實函數(shù)103將以上結(jié)論歸納起來是：

如果

是

的實函數(shù)，且設(shè)則有（1）

（2）

（3）

104如果

是

的虛函數(shù)，則有（1）

（2）

105三、

對稱性若

則

證明:傅里葉逆變換式將上式中的自變量

換為

，得將上式中

的換為

，將原有的

換為

，得上式表明，時間函數(shù)

的傅里葉變換為

。

106例如，時域沖激函數(shù)

的傅里葉變換為頻域的常數(shù)

；由對稱性可得，時域的常數(shù)

的傅里葉變換為

，由于

是

的偶函數(shù)，故有107例3.5-1求取樣函數(shù)

的頻譜函數(shù)。

解:我們已知，寬度為

，幅度為

的門函數(shù)

的頻譜函數(shù)為

，即

取

，即

則：根據(jù)傅里葉變換的對稱性質(zhì):108其波形如下所示

：1/2g2(t)01/2

t1-1Sa()01-11g2()0Sa(t)

t01圖

3.5-1函數(shù)

Sa(t)及其頻譜109例3.5-2求函數(shù)

和

的頻譜函數(shù)。解

（1）函數(shù)我們已知

：由對稱性并考慮到

是

的奇函數(shù)，可得：110由對稱性并考慮到

，得

根據(jù)線性性質(zhì)，時域頻域分別乘以

得：（2）函數(shù)我們已知：

111四、

尺度變換

尺度變換特性為

：若

上式表明，若信號

在時間坐標上壓縮到原來的

，那么其頻譜函數(shù)在頻率坐標上將展寬

倍，同時其幅度減小到原來的

,稱為尺度變換特性或時域展縮特性。

則對于實常數(shù)

，有

112證明：設(shè)

，則展縮后的信號

的傅里葉變換為:?令

，則

,,當

時?113當

時

:?若令

，得114五、

時移特性

時移特性也稱為延時特性。它可表述為若且

為常數(shù)，則有:上式表示，在時域中信號沿時間軸右移（即延時

），其在頻域中所有頻率“分量”相應(yīng)落后一相位

，而其幅度保持不變。

115?令

，則上式可以寫為

同理可得：

?證明：若

，則延遲信號的傅里葉變換為?116如果信號既有時移又有尺度變換則有：

和

為實常數(shù)，但

.顯然，尺度變換和時移特性是上式的兩種特殊情況，當

時得

，當

時得117例

3.5-3求圖

(a)所示信號的頻譜函數(shù)。

(a)f(t)的波形；

(b)相位譜

118解:

119六、

頻移特性

上式表明:將信號

乘以因子

,對應(yīng)于將頻譜函數(shù)沿

軸右移

;將信號

乘以因子

,對應(yīng)于將頻譜函數(shù)沿

軸左移

。頻移特性也稱為調(diào)制特性。它可表述為:若

且

為常數(shù)，則120證明:同理:121七、

時域微分特性設(shè)時域微分定理

若

則

證明：

122八、時域積分特性

若

則

證明

：這里123若

,則

這個性質(zhì)經(jīng)常用來求某些復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。即先將所求的函數(shù)求導(dǎo)，求出其導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換，再利用積分特性求出所求信號的頻譜。124例

3.5-4求門函數(shù)的積分

的頻譜函數(shù)。g

(t)0

/2-/2t1(a)g(-1)

(t)0

/2-/2t(b)圖

3.5-3門函數(shù)及其積分解：

門函數(shù)的頻譜為

125??由于

，由式

得126總結(jié)：傅立葉變換的八個性質(zhì)非常重要，通過靈活利用性質(zhì)，不僅能夠加深理解傅立葉變換的本質(zhì)，同時也可以大大簡化計算。需要注意的是，靈活運用性質(zhì)的前提是必須牢記典型和常用信號的傅立葉變換。127Assignment3-2(b)、(c);3-3(b)、(c);3-4(2);128預(yù)習內(nèi)容：(1)卷積定理；(2)周期信號的傅立葉變換；(3)

抽樣信號的傅立葉變換與抽樣定理；

129上次課的回顧：著重講解了傅立葉變換的八個性質(zhì)，通過靈活利用性質(zhì)，不僅能夠加深理解傅立葉變換的本質(zhì)，同時也可以大大簡化計算。在對性質(zhì)進行分析和解釋的基礎(chǔ)上，用較多的例題予以說明和印證。

需要注意的是，靈活運用性質(zhì)的前提是必須牢記典型和常用信號的傅立葉變換。

1303.6卷積定理時域卷積定理若

則

時域卷積定理證明如下：根據(jù)卷積積分的定義

其傅里葉變換為?131將它代入到上式得

?由時移特性知

132若：則：式中：頻域卷積定理133例3.6-1求斜升函數(shù)

和函數(shù)

的頻譜函數(shù)。解:（1）

的頻譜函數(shù)我們已知

根據(jù)頻域卷積定理，可得

的頻譜函數(shù)

???即

134（2）

的頻譜函數(shù)因為而利用線性性質(zhì)可得

135例

3.6-2求三角形脈沖

的頻譜函數(shù)。

1

/2-/20這類題直接用定義作非常麻煩,因此可考慮將其先求導(dǎo),再利用積分性質(zhì)來求。136圖

3.6-1f

(t)及其導(dǎo)數(shù)解:如圖，將三角脈沖求兩次導(dǎo)變成(a)1

/2-/20上圖（c）中的函數(shù)由三個沖激函數(shù)組成，它可以寫為：0(c)0(b)137由于

，根據(jù)時移特性顯然有

。

利用式

得

：138139例3.6-3求下圖(a)和(b)所示信號的傅里葉變換。解:（1）方法一:圖（a）的函數(shù)為

140圖（b）的函數(shù)可寫為

141方法二:先求導(dǎo),再積分的方法.由圖可見

和

的導(dǎo)數(shù)均如

圖（c）所示。

142或者根據(jù)得:143九、

頻域微分和積分頻域微分：

頻域積分：

式中

如果有

，則有

若則則若144證明：頻域微分：

145證明：頻域積分：

146例3.6-4求斜升函數(shù)

的頻譜函數(shù)。

解:單位階躍信號及其頻譜函數(shù)為

由式

可得

147例3.6-5求函數(shù)

的頻譜函數(shù)。解:由于

，顯然有根據(jù)頻域積分特性:只要求出再積分求出

即可.148149例3.6-6求

的值。

解:我們已知，門函數(shù)

令

(a>0)，

150若

，則

，于是得到151傅里葉變換的性質(zhì)

1523.7周期信號的傅里葉變換一、

正、余弦函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)頻移特性得所以，正、余弦函數(shù)的傅里葉變換為153正、余弦信號的波形及頻譜0t1f

(t)=cos0t0-00F(j)圖

3.7-1正、余弦函數(shù)及其頻譜

(b)正弦脈沖及其頻譜0t1f

(t)=sin0t-X()0-00(a)余弦脈沖及其頻譜154二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換???一周期為

的周期函數(shù)方法一155???

上式表明，周期信號的傅里葉變換（或頻譜密度函數(shù)）由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波角頻率

處，其強度為各相應(yīng)幅度

的

倍。156例3.7-1求周期性矩形脈沖信號

的頻譜函數(shù)。0

tT-T1解：此處，

代表虛指數(shù)分量的幅度和相位。

157[pT(t)]0Ω-Ω?圖

3.7-2周期矩形脈沖的傅立葉變換158例3.7-2求周期性單位沖激函數(shù)序列

的頻譜。解:?

tT(t)-2T-3T-T0T2T3T圖

3.7-3周期沖激序列159

周期沖激序列的傅立葉變換1