相交線(易才中學)王聰

5.1.1相交線

博文中學王聰已知線段AB，你能由線段AB得到射線AB和直線AB嗎？AB線段AB直線AB射線AB聯(lián)系：線段和射線都是直線的一部分.

1、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別？一、復習與回顧名稱圖形表示延長端點度量直線1.直線AB(或直線BA)2.直線l向兩端無限延伸0個不可度量射線1.射線AB2.射線l向一端無限延伸

1個不可度量線段

1.線段AB(或線段BA)2.線段a不可延伸

2個可度量B·lA·B·lA·B·aA·三者區(qū)別2、怎么樣的兩個角稱互為補角？

①概念：如果兩個角的和等于180°（平角），稱這兩個角互為補角簡稱互補.

∵∠α和∠β互補∴∠α+∠β=180°∵∠α+∠β=180°∴∠α和∠β互補

②數(shù)量關(guān)系為：

稱其中一個角是另一個角的補角.

③補角的求法：180°－α④補角性質(zhì)：⑤余角和補角的特點：1）角的互為性：

互補是指兩個角之間的關(guān)系，說單獨的一個角是補角是毫無意義的，但可以說一個角是某一個角的補角.2）位置的任意性：兩個角互補只跟這兩個角的大小有關(guān)，與它們的位置無關(guān)，不要誤認為互補的角必須相鄰.同角或等角的補角相等。二、走近生活，生活中處處有數(shù)學立交橋記作:直線AB、CD相交于點O二、關(guān)注生活ABCDO問題1:如果將剪刀的構(gòu)造抽象為一個幾何圖形，那它將是怎么樣的一個圖形昵？有什么特點?抽象為：兩直線相交。特點：有一個公共點。當兩條不同的直線有一個公共點時,我們就稱這兩條直線相交,這個公共點叫做它們的交點.ABCD1234三、討論與探索

兩條直線相交成幾個角？每兩個角的位置有怎樣的關(guān)系？如何將這幾個角進行分類？---這就是本節(jié)課我們要探究的主要內(nèi)容1、了解鄰補角、對頂角的概念。2、能找出圖中的一個角的鄰補角和對頂角。3、理解對頂角性質(zhì)(對頂角相等)，并能運用它解決問題。重點：鄰補角、對頂角的概念，對頂角性質(zhì)與應用。難點：理解對頂角相等的性質(zhì)的探索。重點和難點學習內(nèi)容討論：1每對角中兩個角的位置有怎樣的關(guān)系？2、

這兩條直線相交得到哪幾對角？2按照它們的位置和度數(shù)的關(guān)系將這幾對角進行分類BACDO12343分別用量角器量一量4個交角的度數(shù)，各類角的度數(shù)有什么關(guān)系？觀察1、兩條直線相交組成幾個角？四、走進數(shù)學ABCDO五、思考數(shù)學問題2:兩條相交直線形成的小于平角的角有幾個?1342∠1與∠3∠1與∠4∠2與∠3∠2與∠4∠3與∠4∠1和∠231ACBDC1ACBD2ACBD42B1ACD43ACBD234ABD3442321431123、根據(jù)它們的位置和度數(shù)的關(guān)系將這幾對角進行分類探究（1）1ACB23CBD234ABD1ACD4OOOO問題：觀察發(fā)現(xiàn)下列四對角之間的位置關(guān)系?一條公共邊一個公共頂點∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4∠1與∠4∠2與∠3∠3與∠4∠1和∠2注意！紅色的頂點？注意！藍色的線？注意！黃色的線？另一邊互為反向延長線∠1與∠4∠2與∠3∠3與∠4探究（2）∠1和∠21ACB2O1ACD4O3CBD2O34ABDO

∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4問題：通過度量或觀察發(fā)現(xiàn)下列四對角之間的數(shù)量關(guān)系?∠1+∠2=180°;∠1+∠4=180°;∠2+∠3=180°;∠3+∠4=180°.數(shù)量關(guān)系:OABCD）（1342）（

兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中,有公共頂點且有一條公共邊另一邊互為反向延長線的兩個角叫鄰補角.如∠1與∠2有公共頂點O,有一條公共邊OC,所以∠1和∠2是互為鄰補角.鄰補角（2）：鄰補角也可以看成是一條直線與端點在這條直線上的一條射線所組成的兩個角。也稱為鄰補角。如∠1與∠2鄰補角的概念：探究成果鄰補角（1）：鄰補角的數(shù)量關(guān)系：互為鄰補角的兩角之和等于180度。鄰補角的判斷方法：關(guān)鍵是看這兩個角的兩邊，其中一邊是否為公共邊，而另一邊是否互為反向延長線。1、下列圖中的∠1與∠2是鄰補角嗎？為什么？１２２１（1）（2）否是鄰補角的特點：1、前提條件是，必須是兩直線相交。2、有一個公共的頂點。（頂點相同）3、有一條公共邊，另一邊互為反向延長線，4、是成對出現(xiàn)的。做一做注意：互為鄰補角與補角的區(qū)別：1.下列圖形中，∠1和∠2是鄰補角的是（）121212ABCDD練一練122.請同學們畫出∠1的鄰補角.CBA1圖123練一練

回憶：

1.兩條直線CD和EF相交能形成具有什么關(guān)系的角213234141342具有鄰補角關(guān)系的角梳理(學到了什么?)數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系12ACBO（1）鄰補角互補∠1+∠2=180°一個公共頂點;一條公共邊;另一邊互為反相延長線;31ACBD42ACBD∠1與∠3∠2與∠4一個公共頂點兩邊互為反向延長線探究（3）問題：觀察發(fā)現(xiàn)下列兩對角之間的位置關(guān)系?注意！紅色的頂點？注意！黃色的線？1.對頂角的定義：

像∠1與∠3有一個公共頂點，且角的兩邊都互為反向延長線，把具有這種關(guān)系的兩個角,稱為互為對頂角.31ACBD名稱:對頂角

下列圖中∠1、∠2是對頂角嗎？請說明理由否是否否（1）（2）（3）（4）2.對頂角的特點：1、有一個公共頂點，2、角的兩邊互為反向延長線，3、是成對出現(xiàn)的。做一做問題：用量角器度量發(fā)現(xiàn)兩對角之間的數(shù)量關(guān)系?∠1=∠3;∠2=∠4數(shù)量關(guān)系:31ACBD42ACBD∠1與∠3∠2與∠4探究（4）ABCD12343.對頂角的性質(zhì)∵∠1與∠2互補∠3與∠2互補(鄰補角定義)(鄰補角定義)∴∠1＝∠3(同角的補角相等)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。驗證探究（4）∴___________∴___________13424231回憶：

2.兩條直線AB和CD相交能形成具有什么關(guān)系的角具有對頂角關(guān)系的角數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系（2）對頂角相等∠1=∠3一個公共頂點;兩邊互為反相延長線;31ACBDO梳理(學到了什么?)歸納小結(jié)角的名稱特征性質(zhì)相同點不同點對頂角鄰補角對頂角相等鄰補角互補②有公共頂點;③沒有公共邊①兩條直線相交形成的角；

①兩條直線相交而成；②有公共頂點;③有一條公共邊①都是兩條直線相交而成的角；③都是成對出現(xiàn)的

②都有一個公共頂點；②兩直線相交時，對頂角只有兩對，鄰補角有四對。

①有、無公共邊的區(qū)別111號、下列各圖中∠1、∠2是對頂角嗎？21212)((())12號、下列各圖中∠1、∠2是鄰補角嗎？21212)((()（××××√×練一練12121212121232號.下列圖形中∠1與∠2是對頂角的有

①②③④⑤⑥①⑥練一練隨堂練一1、關(guān)于對頂角說法正確的是（）

A、有公共頂點的兩個角B、有公共頂點且相等的兩個角C、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的延長線D、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線D隨堂練一2、鄰補角是（）A、和為180°的兩個角B、有公共頂點且互補的兩個角C、有一條公共邊且相等的兩個角D、有公共頂點且有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角D1.（判斷題）下列說法是否正確.（正確填笑臉；錯誤填哭臉）③有公共頂點并且相等的兩個角是對頂角.①對頂角相等.知識應用②相等的兩個角是對頂角.

④互為鄰補角的兩個角之和為180°.3.如圖,兩直線相交于一點,若則的度數(shù)是（）B.C.D.A.1342ADDBCC知識應用4.（解答題）如圖，直線AB、CD、EF相交于一點，求∠1+∠2+∠3的度數(shù)？解：∵∠3=∠4（對頂角相等）∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4又∵∠1+∠2+∠4=180°∴∠1+∠2+∠3=180°FEDCBA3214知識應用5.

（應用題）在下圖中，花壇轉(zhuǎn)角按圖紙要求這個角（紅色標注的角）為135°；施工結(jié)束后，要求你檢測它是否合格？請你設計檢測的方法.123、互為鄰補角的兩個角可能是（）

A、都是銳角

B、都是鈍角

C、兩個直角或一個銳角、一個鈍角

D、一個是銳角，一個是直角

C4、如圖所示，點A、C、D、B；E、C、F；H、C、G；F、D、G；均分別在同一直線上，∠ACE的對頂角是∠CDG的對頂角是鄰補角是HCGFEADB∠FCB∠FDB∠FDC和∠BDG達標測試一、判斷題

1、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角。（）

2、兩條直線相交，有兩組對頂角。（）

3、兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個角是直角，那么其余的三個角也是直角。（）×√√達標測試二、選擇題1、如右圖直線AB、CD交于點O，OE為射線，那么（）

A、∠AOC和∠BOE是對頂角；

B、∠COE和∠AOD是對頂角；

C、∠BOC和∠AOD是對頂角；

D、∠AOE和∠DOE是對頂角。ABCDOEC達標測試2、如右圖中直線AB、CD交于O，

OE是∠BOC的平分線且∠BOE=50度，那么∠AOE=（）度（A）80；（B）100；（C）130（D）150。ABCDOEC1、一個角的對頂角有

個，鄰補角最多有

個，而補角則可以有

個。一兩無數(shù)三、填空題2、右圖中∠AOC的對頂角是

,

鄰補角是

.∠DOB∠AOD和∠COB1ACBDE2)O)三、填空題3、若∠1與∠2是對頂角，∠1=16°，則∠2=______°；若∠3與∠4是鄰補角，則∠3+∠4=______°4、若∠1與∠2為對頂角，∠1與∠3互補，則∠2+∠3=

°5、如圖1，∠2與∠3互為鄰補角，∠1=∠2，則∠1與∠3的關(guān)系為

。圖116180180互補例１

如圖,直線a、b相交?！?/p>

1=40o，求∠2，∠3，∠4的度數(shù)?！?＝180°－∠1＝180°－40°解：由鄰補角的定義，可得＝140°由對頂角相等，可得∠3＝∠1＝40°∠4＝∠2＝140°若∠1＋∠３=５０°

，求各角的度數(shù)。例題講解2、如圖,若∠1:∠2=2:7，求各角的度數(shù)。解:設∠1=2x°,則∠2=7x°根據(jù)鄰補角的定義,得2x+7x=180x=20則∠1=40°,∠2=140°根據(jù)對頂角相等,得∠3=40°,∠4=140°例題講解×√××練習2、右圖是對頂角量角器,你能說出用它測量角的原理嗎？答：對頂角相等。練習練習4、如圖2，三條直線a，b，c相交于點O，則∠1+∠2+∠3=

.圖2圖31800612解：∵∠DOB=∠

，（

）

=80°（已知）∴∠DOB=

°（等量代換）又∵∠1=30°（

）∴∠2=∠

-∠

=

-

=

°8、如圖，直線AB、CD相交于O，∠AOC=80°∠1=30°；求∠2的度數(shù).ACBDE1AOC∠AOCDOB180°30°50對頂角相等已知802))O練習9、如圖1，直線AB、CD交EF于點G、H，∠2=∠3，∠1=70度。求∠4的度數(shù)。解：∵∠2=∠

（）∠1=70°（

）∴∠2=

（等量代換）又∵

（已知）∴∠3=

（）∴∠4=180°—∠

=

（

的定義）ACDBEFGH1234圖11對頂角相等已知70°∠2=∠370°等量代換3110°鄰補角練習解：∵∠AOC=50°（已知）直線AB、CD交于點O，OE是∠AOD的平分線，且∠AOC=50°。求∠DOE的度數(shù)。ABCDOE圖2∴∠AOD=180°?∠AOC=180°?50°=130°（鄰補角的定義）∵OE平分∠AOD（已知）（角平分線的定義）解答題：例2、如圖,若∠1:∠2=2:7，求各角的度數(shù)。解:設∠1=2x°,則∠2=7x°根據(jù)鄰補角的定義,得2x+7x=180x=20則∠1=40°,∠2=140°根據(jù)對頂角相等,得∠3=