《隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望》案例

《隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望》教學(xué)案例=1\*ROMANI：教案一．【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握隨機(jī)變量的定義，會通過隨機(jī)變量把隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)。2.掌握用隨機(jī)變量表示所有的基本事件及其概率，并會求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差。3.了解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。二．【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】【教學(xué)重點(diǎn)】隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】隨機(jī)變量表示所有的基本事件，并求其概率。三．【教學(xué)準(zhǔn)備】完成事件和的概率，獨(dú)立事件積的概率教學(xué)，根據(jù)教學(xué)需要準(zhǔn)備一顆骰子，一枚硬幣，有利于形象說明隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的可能結(jié)果。四．【教學(xué)過程】一．隨機(jī)變量的引入1.“隨機(jī)事件”的概念回顧:在高中數(shù)學(xué)課本第17章概率論初步中，我們把隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的一個可能結(jié)果叫做一個基本事件，基本事件的集合叫做基本空間，也稱樣本空間，記作.2.隨機(jī)變量引入：拋擲一顆骰子可能出現(xiàn)“1，2,…，6”點(diǎn)（做實(shí)驗(yàn)）。我們把擲一顆骰子的樣本空間為，其中基本事件表示“擲一顆骰子出現(xiàn)k點(diǎn)”，那么擲一顆骰子時出現(xiàn)的數(shù)值可以用基本空間上的函數(shù)：來描述。一般地，我們把定義在基本空間上的函數(shù)叫做隨機(jī)變量。例如在旋轉(zhuǎn)一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，結(jié)果有兩個，“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”，與數(shù)值無關(guān)。但我們可以用設(shè)定的方法定義出現(xiàn)正面的對應(yīng)數(shù)“1”，出現(xiàn)反面的對應(yīng)數(shù)“0”3.給出例1，例2，讓學(xué)生清楚地了解隨機(jī)事件，隨機(jī)變量及其取值的概率，三者之間的對應(yīng)關(guān)系。二．?dāng)?shù)學(xué)期望的運(yùn)算…………1.說明：取離散值的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量，其取值概率如表所示…………其中叫做隨機(jī)變量的概率分布律，它滿足：（1）（2）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：隨機(jī)變量的方差為：方差的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。2.求下列兩表中數(shù)學(xué)期望和方差12334表2表1表2表1得：，結(jié)論：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望并不能表示隨機(jī)變量取值的全部特征，兩個隨機(jī)變量均值相等，但它們的方差可能相差很大。說明：1.平均數(shù)與數(shù)學(xué)期望的主要差異：平均數(shù)一般指個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，數(shù)學(xué)期望是以概率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)，其中是隨機(jī)變量取的概率，.2.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了隨機(jī)變量取值的離散程度。三．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)1．學(xué)生完成例5，通過練習(xí)繼續(xù)鞏固數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算。2．提問“如果把題目中一注改成2注彩票后的數(shù)學(xué)期望是多少？”購買一注彩票的期望收益是元，則2注彩票的期望收益是元。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：設(shè)是隨機(jī)變量,是任一實(shí)數(shù),那么設(shè)是隨機(jī)變量,,都是存在數(shù)學(xué)期望的隨機(jī)變量,那么.常數(shù)的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)本身,即.03.書后練習(xí)：求的數(shù)學(xué)期望,設(shè)的數(shù)學(xué)期望.解:的數(shù)學(xué)期望,的數(shù)學(xué)期望.四．例題舉隅例1.某實(shí)驗(yàn)室新購進(jìn)10件精密儀器,因運(yùn)輸途中一次意外緊急剎車,導(dǎo)致其中3件儀器有不同程度的破損(變成廢品)余下7件完好無損.現(xiàn)從包裝箱中一件一件地抽取儀器,假設(shè)每件儀器抽到的可能性都相同.若每次抽出后都不放回,當(dāng)拿到完好無損儀器時停止抽取,請寫出抽取次數(shù)的概率分布律,求.分析：因?yàn)橐还灿腥纹?所以隨機(jī)變量對應(yīng)有四個值“1,2,3,4”為1時即第一次就抽到正品,即從10個里面抽一個正好抽到7個正品中的一個,概率為.為2時意味著第二次才抽到正品,則第一次應(yīng)該為次品,所以第一次的概率為,第二次抽為正品,但是此時總數(shù)共9個,所以第二次的概率為,則當(dāng)隨機(jī)變量對應(yīng)的值為2時,概率為為3時意味著第三次抽到正品,概率為為4時意味著第四次抽到正品,概率為解:抽取次數(shù)的概率分布律為：1234例2.袋中有8個顏色不同,其它都相同的球,其中1個為黑球,3個為白球,4個位紅球.若從袋中一次摸出3個球,且所摸得的3個球中,黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球的個數(shù),記此時得到紅球的個數(shù)為,求隨機(jī)變量的概率分布律,并求的數(shù)學(xué)期望和方差.分析:因?yàn)榧t球個數(shù)大于等于黑球與白球,所以隨機(jī)變量對應(yīng)有三個值“1,2,3”，此時研究概率時所有可能情況指的是抽取的3個球得保證紅球的個數(shù)大于等于黑球與白球，所以我們考慮時可以排除黑球或白球的個數(shù)多于紅球，即所有可能情況.當(dāng)紅球?yàn)?個時，意味著黑球和白球都是一個，所以概率為.當(dāng)紅球?yàn)?個時，意味著黑球一個或者白球一個，概率為.當(dāng)紅球?yàn)?個時，意味著沒有黑球和白球，概率為.解：紅球個數(shù)的概率分布律為：123說明：此兩例復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，并且兩例在求概率時都有所不同，例1中要注意抽取時是一件一件抽取而且不放回，而例2要注意這里研究概率時所有情況不能視為從8件里抽取3件，而是要注意滿足紅球的個數(shù)大于等于黑球和白球。Ⅱ：教案設(shè)計(jì)說明本教案由生活中可操作的試驗(yàn)入手，形象地展現(xiàn)了隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的幾種可能情況，能讓學(xué)生更加清晰地清楚隨機(jī)事件，從而對于基本空間里的元素我們找到對應(yīng)關(guān)系從而建立函數(shù)來引出隨機(jī)變量，在引入數(shù)學(xué)期望的概念時和平均數(shù)想結(jié)合，這樣對于后面引入的方差和標(biāo)準(zhǔn)差也不難理解了，可以和之前的統(tǒng)計(jì)里的內(nèi)容相互結(jié)合。對于數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)通過一個生活中買彩票的實(shí)例來說明比較形象，而通過一個例題的練習(xí)能讓學(xué)生更好地鞏固這個知識點(diǎn)。在每一次求隨機(jī)變量對應(yīng)概率又是對概率知識的回顧，在學(xué)習(xí)完事件和的概率，獨(dú)立事件積的概率后也能更好的幫助我們解決一些概率問題，再來學(xué)習(xí)隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望是一個很好的鞏固過程。選取的兩個例題都具有一定的典型性，例1中每個隨機(jī)事件的概率都可以理解成是獨(dú)立事件積的概率，而例2中對于隨機(jī)事件“紅球?yàn)?”的概率我們可以理解成兩個互不相容事件和的概率。這兩個例題在鞏固新知識的同時也幫助學(xué)生更好地鞏固之前的兩個小節(jié)內(nèi)容。Ⅲ：教學(xué)反思所謂“教學(xué)有法，但無定法”，教師要能隨著教學(xué)內(nèi)容的變化，教學(xué)對象的變化，教學(xué)設(shè)備的變化，靈活運(yùn)用教學(xué)方法。對于新授課，我們這里采用的講授法向?qū)W生傳授新知識，本案例通過對于一些概念通過做實(shí)驗(yàn)的方法能讓學(xué)生清楚的了解它答案的由來，而且從