整式乘法與因式分解復(fù)習(xí)（學(xué)案） 初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

整式乘法與因式分解復(fù)習(xí)一、知識(shí)重點(diǎn)（一）整式乘法1.am·an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn(m，n都是正整數(shù))，am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)，a0=1（a≠0）.2.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.3.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項(xiàng)式）.4.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即=ma+mb+na+nb.5.單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.6.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，即=a+b+c.（二）乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.3.添括號(hào)法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).（三）因式分解1.因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，叫作多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，其中每個(gè)整式都叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式.理解：（1）對(duì)象：因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而3a2b=3a·ab這一變形不是因式分解，因?yàn)?a2b不是多項(xiàng)式.（2）結(jié)果：因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式，如3a2b+6ab2=3ab（a+b）屬于因式分解，而x2-3x+2=x(x-3)+2這一變形不屬于因式分解，結(jié)果不是積的形式；x2-=（x+）（x-）也不屬于因式分解，因?yàn)閤2-不是整式.2.因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系：因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.3.提公因式法分解因式（1）公因式：多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共因式叫作這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.如3x2-6x中每項(xiàng)都含有因式3x，所以3x就是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式；（a+b）2-3（a+b）的公因式為（a+b）.（2）公因式確定方法：①對(duì)于數(shù)字系數(shù)，如果是整數(shù)系數(shù)，取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；若是分?jǐn)?shù)或小數(shù)，一般先將系數(shù)化為整數(shù).②對(duì)于字母，需考慮兩條：一是取各項(xiàng)相同的字母；二是各項(xiàng)相同字母的指數(shù)取其次數(shù)最低的.（3）提公因式法分解因式：①定義：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法.提公因式的實(shí)質(zhì)是分配律的逆用.②步驟：第一步確定公因式；第二步提公因式并確定另一個(gè)因式.需注意的是，根取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致.(4)注意：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.4.公式法分解因式（1）利用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用，常用的公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.公式中的a和b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.（2）用平方差公式分解因式時(shí)，多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反，分解的結(jié)果為兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.（3）用完全平方公式分解因式時(shí)，多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，有兩項(xiàng)可以寫成兩個(gè)數(shù)的平方，且這兩項(xiàng)符號(hào)相同，第三項(xiàng)可以寫成這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍（或-2倍）.二、知識(shí)難點(diǎn)1.牢記同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及合并同類項(xiàng)法則，同時(shí)要掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)的逆用，如am+n=am·an，amn=，anbn=，am-n=am÷an等.2.掌握乘法公式的實(shí)質(zhì)并能靈活運(yùn)用.對(duì)某些不符合公式的結(jié)構(gòu)特征，但可通過巧妙變形，便能直接或逆用、變用、連用公式.2.靈活運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解.分解因式要先考慮能否用提公因式法，然后再考慮公式法.若式中有二項(xiàng)，則考慮用平方差公式；若式中有三項(xiàng)，則考慮用完全平方公式.三、易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)1.忽略底數(shù)的符號(hào)，易出現(xiàn)–x2=(–x)2和=am-n計(jì)算錯(cuò)誤.2.混淆同底數(shù)冪相乘與冪的乘方，易出現(xiàn)am·an=amn，=am+n計(jì)算錯(cuò)誤.3.在多項(xiàng)式相乘時(shí)，易出現(xiàn)漏乘某項(xiàng)及丟掉符號(hào).4.使用完全平方公式時(shí)，易漏掉中間乘積項(xiàng)或漏掉乘積項(xiàng)的因數(shù)“2”.5.分解因式不徹底或錯(cuò)用公式或在分解過程中走“回頭路”.方法技巧活用乘法公式巧解題整式乘法在中考中常以創(chuàng)新題形式考查同學(xué)們的應(yīng)變能力.解題時(shí)若能活用整式乘法公式，既可簡化計(jì)算，又能增加解題的趣味性，提高解題能力.現(xiàn)例舉兩例.一、找規(guī)律例1觀察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，……（1）根據(jù)前面各式的規(guī)律可得（x-1）（xn+xn-1+…+x2+x+1）=（其中n為整數(shù)）；（2）利用上述規(guī)律求1+2+22+23+…+250的值分析：（1）解決此類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給示例的特點(diǎn),類比得出結(jié)果。（2）把所給式子倒過來即可.解：（1）xn+1-1；（2）在上式中，當(dāng)x=2，n=50時(shí)，(2-1)(250+249++…+22+2+1)=251-1，故1+2+22+23+…+250=251-1.二、求邊長例2若一個(gè)三角形的三邊滿足(a-1)2+(b-1)2+c2=2c-1，試確定這個(gè)三角形的三邊長.分析：欲求三角形的三邊長，需將已知條件(a-1)2+(b-1)2+c2=2c-1變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得a、b、c的值.解：∵(a-1)2+(b-1)2+c2=2c-1，∴(a-1)2+(b-1)2+c2-2c+1=0，即(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0,∴a-1＝0，b-1＝0，c-1＝0.∴a＝1，b＝1，c＝1.三、求最值例3若A=x2+y2+2x-4y+7，求A的最小值.分析：遇到一個(gè)式子有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)時(shí)，一般采用的方法是配成完全平方式的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)——非負(fù)數(shù)的最小值為0，從而確定式子的最小值解：A=x2+y2+2x-4y+7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=(x+1)2+(y-2)2+2.∵(x+1)2≥0，(y-2)2≥0，∴A最小值=2.○學(xué)以致用校園綠化面積問題題目：如圖所示，實(shí)驗(yàn)中學(xué)有一塊長為（3a+b）米，寬為（3a-b）米的長方形地塊，學(xué)校計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a=3，b=2時(shí)的綠地面積.a+ba+ba+b3a-b3a+b解析：現(xiàn)根據(jù)圖形列出算式，化簡后，將a、b的值代入求值即可.由圖形，得陰影部分的面積為（3a+b）（3a-b）-(a+b)2=9a2-b2-a2-2ab-b2=8a2-2ab-2b2.當(dāng)a=3，b=2時(shí)，原式=8×32-2×3×2-2×22=72-12-8=52.答：綠化的面積是8a2-2ab-2b2，當(dāng)a=3，b=2時(shí)綠地面積為52平方米.○中考錦囊中考里的“整式乘法與因式分解”1.（2019·安徽）計(jì)算a3·（-a）的結(jié)果是（）.A.a2B.-a2C.a4D.-a42.（2019·青島）計(jì)算(-2m)2·（-m·m2+3m3）的結(jié)果是（）.A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m53.（2019·山西）下列運(yùn)算正確的是（）.A.2a+3a=5a2B.(a+2b)2=a2+4b2C.a2·a3=a6D.(-ab2)3=-a3b64.（2019·賀州）把多項(xiàng)式4a2-1分解因式，結(jié)果正確的是（）.A.(4a+1)(4a-1)B.(2a+1)(2a-1)C.(2a-1)2D.(2a+1)25.（2019·徐州）若a=b+2,則代數(shù)式a2-2ab+b2的值為.6.（2019·濰坊）若2x=3，2y=5，則2x+y=.7.（2019·棗莊）若m-=3，則m2-=.8.（2019·桂林）若x2+ax+4=(x+2)2，則a=.9.（2019·赤峰）分解因式：x3-2x2y+xy2=.10.（2019·南京）計(jì)算：(x+y)(x2-xy+y2).11.（2019·涼山州）先化簡，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=.12.（2020·阜城模擬）課堂上，學(xué)習(xí)了分解因式的知識(shí)后，老師提出了這樣一個(gè)問題：設(shè)n為整數(shù)，則(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除嗎？若能，請(qǐng)說明理由；若不能，請(qǐng)舉出一個(gè)反例.參考答案：1.D2.A3.D4.B5.46.157.118.49.x(x-y)210.x3-y311.原式=2a+2；112.能；理由如下：解法一