【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章§8.6空間向量的概念及其運算精品課件 理 北師大

§8.6空間向量的概念及其運算

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§8.6空間向量的概念及其運算雙基研習(xí)?面對高考1．空間向量的有關(guān)概念雙基研習(xí)?面對高考基礎(chǔ)梳理名稱定義空間向量在空間里，具有________和_______的量叫作空間向量，其大小叫作向量的______或______．自由向量與向量的________無關(guān)的向量單位向量長度或模為____的向量(非零向量a的單位向量a0＝______)零向量長度為____的向量相等向量方向_______且模______的向量相反向量方向_______而______相等的向量大小方向長度模起點10相同相等相反?！螦OB〈a，b〉a⊥b平行重合共線向量平行向量a∥b直線l垂直于平行思考感悟如何由直線的方向向量求直線的斜率？2．共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，共線的充要條件是___________________.存在實數(shù)λ，使a＝λbxa＋yb1(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個_________的向量，a是空間任一向量，那么存在惟一一組實數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個________．3．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，即_______________叫作向量a，b的數(shù)量積，記作______，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．不共面基底|a||b|cos〈a，b〉a·b(2)空間間向向量量數(shù)數(shù)量量積積的的運運算算律律①結(jié)合合律律：：(λa)··b＝________；②交換律：：a·b＝b·a；③分配律：：a·(b＋c)＝____________.4．空間向向量的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正交交分解與與坐標(biāo)表表示(1)在給定的的空間直直角坐標(biāo)標(biāo)系中，，i，j，k分別為x軸，y軸，z軸正方向向上的單單位向量量，對于于空間任任意向量量a，存在惟惟一一組組三元有有序?qū)崝?shù)數(shù)(x，y，z)，使得a＝______________．把__________________叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正正交分解解，把__________叫作標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正交基基．____________叫作空間間向量a的坐標(biāo)，，記作a＝(x，y，z)．____________叫作向量量a的坐標(biāo)表表示．λa·ba·b＋a·cxi＋yj＋zka＝xi＋yj＋zki，j，k(x，y，z)(x，y，z)(2)若b0為b的單位向向量，稱稱_____________________為向量a在向量b上的投影影．向量的坐坐標(biāo)等于于它在坐坐標(biāo)軸正正方向上上的投影影．5．空間向向量坐標(biāo)標(biāo)表示及及應(yīng)用(1)數(shù)量積的的坐標(biāo)運運算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則__________________________.(2)共線與垂垂直的坐坐標(biāo)表示示a·b0＝|a|cos〈a，b〉a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?________?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b?___________?__________________(a，b均為非零零向量)．(3)模、夾角角和距離離公式設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0課前熱身答案：DA．1B．2C．3D．4答案：B答案：B4．(教材習(xí)題題改編)已知a＝(－1，－3,2)，b＝(1,2,0)，若存在在c使a∥c且b·c＝5，則c＝________.考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一空間向量的線性運算用已知知向量量表示示未知知向量量，一一定要要結(jié)合合圖形形，以以圖形形為指指導(dǎo)是是解題題的關(guān)關(guān)鍵．．要正正確理理解向向量加加法、、減法法與數(shù)數(shù)乘運運算的的幾何何意義義．首首尾相相接的的若干干向量量之和和，等等于由由起始始向量量的始始點指指向末末尾向向量的的終點點的向向量，，我們們可把把這個個法則則稱為為向量量加法法的多多邊形形法則則，在在立體體幾何何中要要靈活活應(yīng)用用三角角形法法則；；向量量加法法的平平行四四邊形形法則則在空空間仍仍然成成立．．例1(2011年合肥肥調(diào)研研)對于任任何空空間四四邊形形，試試證明明它的的一對對對邊邊中點點的連連線段段與另另一對對對邊邊平行行于同同一平平面．．【思路點點撥】要證線線段共共面，，只須須證明明相應(yīng)應(yīng)向量量共面面．【證明】如圖所所示，，利用用多邊邊形加加法法法則可可得，，【名師點點評】注意向向量在在加減減法中中的方方向．．考點二空間向量的坐標(biāo)運算例2如圖所所示，，在正正四棱棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已已知AB＝2，AA1＝5，E、F分別為為D1D、B1B上的點點，且且DE＝B1F＝1.(1)求證：：BE⊥平面面ACF；(2)求點E到平面面ACF的距離離．【思路點點撥】根據(jù)題題意，，建立立合理理的坐坐標(biāo)系系，利利用向向量的的坐標(biāo)標(biāo)運算算解決決所求求問題題．【解】如圖，，以D為原點點，DA、DC、DD1所在直直線分分別為為x、y、z軸建立立空間間直角角坐標(biāo)標(biāo)系，，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(xiàn)(2,2,4)．連結(jié)結(jié)AE.【名師點點評】在計算算和證證明立立體幾幾何問問題時時，若若能在在原圖圖中建建立適適當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)標(biāo)系，，把圖圖形中中的點點的坐坐標(biāo)求求出來來，那那么圖圖形中中有關(guān)關(guān)問題題可用用向量量表示示，利利用空空間向向量的的坐標(biāo)標(biāo)運算算來求求解，，這樣樣可避避免較較為復(fù)復(fù)雜的的空間間想象象．考點三共面共線問題例3(2011年南昌調(diào)研研)已知E、F、G、H分別是空間間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，【思路點撥】利用共線定定理、共面面定理證明明．【名師點評】在求一個向向量由其他他向量來表表示的時候候，通常是是利用向量量的三角形形法則、平平行四邊形形法則和共共線向量的的特點，把把要求的向向量逐步分分解，向已已知向量靠靠近，進(jìn)行行求解．若若要證明兩兩直線平行行，只需判判定兩直線線所在的向向量滿足線線性a＝λb關(guān)系，即可可判定兩直直線平行，，如第(1)(2)問即是如此此．方法感悟方法技巧1．建立了坐坐標(biāo)系，向向量的線性性運算及數(shù)數(shù)量積就可可以用坐標(biāo)標(biāo)運算代替替，即幾何何問題代數(shù)數(shù)化．(如例2)2．用空間三三個不共面面的向量組組{a，b，c}可以表示出出空間任意意一個向量量，而且a，b，c的系數(shù)是唯唯一的．(如課前熱身身2)3．用向量數(shù)數(shù)量積的定定義及性質(zhì)質(zhì)可解決立立體幾何中中求異面直直線所成的的角，求兩兩點間距離離或線段長長度以及證證明線線垂垂直，線面面垂直等典典型問題．．(如例2)4．熟練掌握握空間向量量的運算、、性質(zhì)及基基本定理是是解決空間間向量問題題的基礎(chǔ)，，特別是共共線向量定定理、共面面向量定理理、空間向向量基本定定理、數(shù)量量積的性質(zhì)質(zhì)等．(如例1、例3)失誤防范1．利用坐標(biāo)標(biāo)運算解決決立體幾何何問題，降降低了推理理難度，可可以避開一一些較復(fù)雜雜的線面關(guān)關(guān)系，但較較復(fù)雜的代代數(shù)運算也也容易導(dǎo)致致出錯．因因此，在解解決問題時時，可以靈靈活的選用用解題方法法，不要生生搬硬套．．2．用空間向向量解決立立體幾何中中的平行或或共線問題題一般用向向量共線定定理；求兩兩點間距離離或某一線線段的長度度，一般用用向量的模模來解決；；求異面直直線所成的的角，一般般可以轉(zhuǎn)化化為兩向量量的夾角，，但要注意意兩種角的的范圍不同同，最后應(yīng)應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化化；解決垂垂直問題一一般可轉(zhuǎn)化化為向量的的數(shù)量積為為零．3．空間向量量的加法、、減法經(jīng)常常逆用，來來進(jìn)行向量量的分解．．4．幾何體中中向量問題題的解決，，選好基底底是關(guān)鍵．．考情分析考向瞭望?把脈高考從近幾年的的高考來看看，空間向向量的數(shù)量量積及應(yīng)用用在高考中中偶爾有所所體現(xiàn)，其其他知識體體現(xiàn)較少，，題型有選選擇題、解解答題．解解答題中一一般考查學(xué)學(xué)生綜合運運用知識解解決問題、、處理問題題的能力．．預(yù)測2012年高考仍將將以空間向向量的數(shù)量量積與解決決立體幾何何問題為考考查點，考考查學(xué)生的的運算能力力，分析問問題、解決決問題的能能力．真題透析例【名師點評】(1)解決存在與與否類的探探索性問題題一般有兩兩個思路：：一是直接接去找存在在的點、線線、面或是是一些其他他的量；二二是首先假假設(shè)其存在在，然后通通過推理論論證或是計計算，如果果得出了一一個合理的的結(jié)果，就就說明其存存在；如果果得出了一一個矛盾的的結(jié)果，就就說明其不不存在．(2)利用向量線線性運算證證明立體幾幾何的相關(guān)關(guān)問題：①①要用向量量表示相關(guān)關(guān)的量；②②根據(jù)證明明的需要對對向量進(jìn)行行運算，運運算可以結(jié)結(jié)合實際圖圖形，以圖圖形為指導(dǎo)導(dǎo)是解題的的關(guān)鍵；③③要注意利利用空間向向量解決立立體幾何中中各種問題題的方法，，如證明線線線垂直，，可以證其其向量的數(shù)數(shù)量積為零零；如證明明四點共面面，可以證證從同一點點出發(fā)的三三個向量共共面；如求求線線夾角角，可以利利用其向