簡明材料力學(xué)第二版十三章

第十三章動載荷、交變應(yīng)力概述概述動載荷——隨時間作急劇變化的載荷作加速運(yùn)動或轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)中構(gòu)件的慣性力構(gòu)件在動載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力稱之為動應(yīng)力動應(yīng)力沖擊載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力稱為沖擊應(yīng)力隨時間作交替變化的載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力稱為交變應(yīng)力概述疲勞破壞——構(gòu)件在交變應(yīng)力的長期作用下，雖然最大工作應(yīng)力遠(yuǎn)低于材料的屈服強(qiáng)度，并且沒有明顯的塑性變形，但材料往往發(fā)生突然斷裂，這種破壞成為疲勞破壞交變應(yīng)力作用下的構(gòu)件還應(yīng)進(jìn)行疲勞強(qiáng)度校核動應(yīng)力的嚴(yán)格分析和研究應(yīng)采用應(yīng)力波的理論和方法，這里只討論若干簡化的分析方法動應(yīng)力分析的簡化方法——修正的靜載荷方法構(gòu)件作等加速直線運(yùn)動或等速轉(zhuǎn)動時的動應(yīng)力慣性力引起的動應(yīng)力構(gòu)件作等加速直線運(yùn)動或等速轉(zhuǎn)動時，構(gòu)件由于各質(zhì)點(diǎn)上的慣性力產(chǎn)生動應(yīng)力，此時，動應(yīng)力的分析多采用靜動法，即除外載荷外，構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)處應(yīng)加上慣性力，然后按靜載荷問題進(jìn)行分析和計算。勻速轉(zhuǎn)動直桿的動應(yīng)力設(shè)均質(zhì)等截面桿AB繞軸以角速度w旋轉(zhuǎn)，桿長為l，橫截面面積為A，計算桿的最大動應(yīng)力慣性力引起的動應(yīng)力設(shè)桿的比重為g，則桿的線質(zhì)量密度為gA/g，根據(jù)靜動法，可將慣性力視為作用在桿件上的分布力，其集度記為qd，即

可見，最大軸力發(fā)生在截面B處，其值為Nmax=N(D/2)x橫截面x處的軸力為Nqd慣性力引起的動應(yīng)力截面B處（危險截面）的應(yīng)力為可見，對于等截面直桿，動應(yīng)力的大小與橫截面面積無關(guān)，并且，當(dāng)材料給定時，直桿轉(zhuǎn)動的角速度w有一極限值。x當(dāng)l>>D時，有近似慣性力引起的動應(yīng)力例鋼索以等加速度a提升重量為P的重物M，鋼索的橫截面面積為A，其重量與重物相比甚小而可忽略不計，確定鋼索的動應(yīng)力。解由于重物以加速度a提升，故鋼索除受重物的重力P作用外，還受到重物的慣性力作用。于是，鋼所承受的拉力為aMN慣性力引起的動應(yīng)力從而，鋼索橫截面上的正應(yīng)力為aMN其中，為P作為靜荷載作用時鋼索橫截面上的靜應(yīng)力動載荷系數(shù)，反映了動載荷的效應(yīng)N慣性力引起的動應(yīng)力例直徑d=100mm的圓軸，一端有重量P=0.6kN、直徑D=400mm的飛輪，以均勻轉(zhuǎn)速n=1000r/m旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)因在軸的另一端施加了制動力偶（其力矩為md）而在t=0.01s內(nèi)停止。若圓軸的質(zhì)量與飛輪質(zhì)量相比很小而忽略不計，確定圓軸內(nèi)的最大動應(yīng)力。解若飛輪在制動時作勻減速轉(zhuǎn)動，則角加速度為dDn慣性力引起的動應(yīng)力在制動過程中，飛輪的慣性力矩為dDmdmd根據(jù)靜動法，圓軸在兩端力偶md的作用下處于平衡。于是，任一橫截面上的扭矩為從而，圓軸的最大剪應(yīng)力為慣性力引起的動應(yīng)力例長l=12m的16號工字鋼，用橫截面面積為A=108mm2的鋼索吊起，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考慮工字鋼的重量而不計吊索的重量，試求吊索的動應(yīng)力，以及工字鋼在危險點(diǎn)處的動應(yīng)力smax。欲使工字鋼的smax減至最小，吊索的位置如何安置？~~2m4m4m2mzya慣性力引起的動應(yīng)力解根據(jù)動靜法，當(dāng)工字鋼以加速度a勻速上升時，工字鋼慣性力的集度為其中，qst=Ag為工字鋼每單位長度的重量。~~2m4m4m2mABCa于是，工字鋼上的總均布力的集度為NNq根據(jù)對稱性，鋼索中的軸力為慣性力引起的動應(yīng)力對16號工字鋼，有NNq~~2m4m4m2mABCa從而于是，鋼索上的動應(yīng)力為慣性力引起的動應(yīng)力工字鋼梁的彎矩為NNq~~2m4m4m2mABCa于是，最大彎矩在梁跨的中點(diǎn)C處的橫截面上，其值為從而，彎矩圖為NN⊕x慣性力引起的動應(yīng)力橫截面C處上下邊緣（危險點(diǎn)）的正應(yīng)力為~~2m4m4m2mABCaNNqxNN⊕欲使工字鋼的smax減至最小，可將吊索向梁跨中點(diǎn)C移動，以增加負(fù)彎矩而減小正彎矩，最后使梁在吊索處的負(fù)彎矩等于中點(diǎn)C處的正彎矩，此時，工字鋼梁的最大彎矩減至最小，其吊索位置見圖所示。⊕2.484m2.484m構(gòu)件受沖擊荷載作用時的動應(yīng)力（沖擊應(yīng)力）計算沖擊應(yīng)力的計算當(dāng)一運(yùn)動的物體碰到一靜止的構(gòu)件時，前者的運(yùn)動將受到阻礙而在瞬間停止運(yùn)動，這時構(gòu)件受到了沖擊作用在沖擊過程中，運(yùn)動中的物體稱為沖擊物，而阻止沖擊物運(yùn)動的構(gòu)件稱為被沖擊物分析被沖擊物中產(chǎn)生的沖擊應(yīng)力和變形的方法精確分析——彈性體內(nèi)的應(yīng)力波理論粗略估算——簡單而偏與安全的分析和計算沖擊應(yīng)力的計算在沖擊應(yīng)力的估算中，通常假定：在沖擊過程中，沖擊物不變形，并且沖擊物與被沖擊物接觸后無彈回，形成一個運(yùn)動系統(tǒng)被沖擊物的質(zhì)量與沖擊物相比很小，可忽略不計，而沖擊應(yīng)力瞬時傳遍被沖擊物，并且材料服從虎克定理沖擊過程中，聲、熱等能量損耗很小，可忽略不計，即外力功、動能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊物的應(yīng)變能沖擊應(yīng)力的估算方法沖擊應(yīng)力的計算設(shè)重量為P的物體從高為h處自由落下沖擊到固定在等截面直桿AB下端的圓盤上，設(shè)直桿的長為l，橫截面面積為A，計算桿件的沖擊應(yīng)力ABPhl在沖擊過程中，當(dāng)重物與圓盤接觸后，且速度減為零時，桿下端B就達(dá)到最低位置，記此時桿下端B的最大位移（等于桿AB的伸長）為d，與之相應(yīng)的沖擊荷載位Pd。Pdd沖擊應(yīng)力的計算根據(jù)能量守恒定律，沖擊過程中沖擊物動能T和勢能V的減少應(yīng)等于被沖擊物的應(yīng)變能U的增加，即這里，由于忽略了被沖擊物（桿件）的質(zhì)量，所以，被沖擊物的動能和勢能的變化可以忽略不計。ABPhlABPhlPdd沖擊應(yīng)力的計算當(dāng)桿的下端B到達(dá)最低點(diǎn)時，沖擊物勢能的減少為桿AB（被沖擊物）所增加的應(yīng)變能可通過沖擊荷載Pd在其相應(yīng)的位移Dd上所作的功來計算，即ABPhlABPhlPdd由于沖擊物的初速度和終速度均為零，所以，其動能無變化，即沖擊應(yīng)力的計算根據(jù)虎克定理，有ABPhlABPhlPdd從而于是，由能量守恒定律可得沖擊應(yīng)力的計算記為重物P作為靜荷載作用在桿下端B處的圓盤上時，桿B端的靜位移于是，上式變形為hlPddABPhlstP此方程的解為沖擊應(yīng)力的計算從而，沖擊荷載Pd為hlPddABPhlstP記——沖擊動荷系數(shù)則沖擊應(yīng)力的計算從而，沖擊應(yīng)力為hlPddABPhlstP可見，在沖擊荷載問題的計算中，確定相應(yīng)的沖擊動荷系數(shù)Kd是關(guān)鍵?！o應(yīng)力實(shí)際沖擊過程中，由于不可避免地存在聲、熱等能量損耗，因此，被沖擊構(gòu)件中所增加的應(yīng)變能Ud小于沖擊物所減少的能量，從而導(dǎo)致上述方法計算的沖擊動荷系數(shù)偏大。沖擊應(yīng)力的計算當(dāng)h0時，沖擊動荷系數(shù)hlPddABPhlstP這種突然施加的荷載稱為驟加荷載。即當(dāng)重物突然加載在桿件上時，所引起的應(yīng)力是重物緩慢施加在桿件時所引起的靜應(yīng)力的兩倍。數(shù)學(xué)上描述為h(t)為Heaviside函數(shù)沖擊應(yīng)力的計算例鋼吊索AC的下端懸掛重量為P=20kN的物體，并以等速度v=1m/s下降，當(dāng)索長度為l=20m時，滑輪D突然被卡住。求吊索受到的沖擊荷載Pd以及沖擊應(yīng)力sd。已知吊索內(nèi)鋼絲的橫截面面積A=414mm2，彈性模量為E=170GPa，滑輪重量可忽略不計。在上述情況下，在吊索與重物之間安置一個剛度為C=300kN/m的彈簧，則吊索受到的沖擊荷載又是多少？vPlACD沖擊應(yīng)力的計算解設(shè)沖擊荷載為Pd，滑輪D被卡住的那一瞬間，鋼吊索AC的伸長為st，而d為滑輪D被卡住后，吊索的最大伸長，即在沖擊過程中，沖擊物動能的減少為勢能的減少為PdlACDdstvPlACD沖擊應(yīng)力的計算滑輪D被卡住的那一瞬間，鋼吊索AC內(nèi)已存儲的應(yīng)變能為滑輪被卡住后，吊索AC內(nèi)存儲的應(yīng)變能為所以，吊索內(nèi)應(yīng)變能的增加為PdlACDdstvPlACD沖擊應(yīng)力的計算根據(jù)能量守恒定律，有注意到上式變?yōu)檫M(jìn)一步簡化為PdlACDdstvPlACD沖擊應(yīng)力的計算由此求得方程的兩個根，符合物理意義的根為于是，動荷系數(shù)為可見，提高相應(yīng)的靜伸長（靜位移）Dst，可降低沖擊動荷系數(shù)Kd，從而降低沖擊應(yīng)力。PdlACDdstvPlACD沖擊應(yīng)力的計算取g=9.81m/s2，則于是，沖擊應(yīng)力為spPlACDrod如果在吊索和重物之間安置一個剛度為C=300kN/m的彈簧，則由重物引起的靜伸長為吊索的伸長量Drod與彈簧Dsp的伸長量之和vPlACD沖擊應(yīng)力的計算即spPlACDrod此時，沖擊應(yīng)力為于是，安置彈簧后的動荷系數(shù)為可見，在吊索和重物之間增加一個彈簧后，即增大桿件的靜伸長，將降低沖擊過程中的沖擊應(yīng)力，這是因?yàn)闆_擊過程中的部分能量轉(zhuǎn)化為彈簧的應(yīng)變能。vPlACD沖擊應(yīng)力的計算例一端固定、長為l的鉛直圓截面桿AB在C點(diǎn)處被一個物體G沿水平方向沖擊，已知G點(diǎn)到桿下端的距離為a，物體G的重量為P，物體G與桿接觸時的速度為v。求桿在危險點(diǎn)處的沖擊彎曲應(yīng)力。BvlA

aGCBACDdPd解設(shè)桿AB在被沖擊過程中，C點(diǎn)的最大撓度（沖擊撓度）為d，相應(yīng)的沖擊荷載為Pd。沖擊應(yīng)力的計算在沖擊過程中，物體G的速度由v減低為零，并且由于水平?jīng)_擊，所以，其動能和勢能的減少量分別為BvlA

aGC在沖擊過程中，被沖擊物的應(yīng)變能為BACDdPd沖擊應(yīng)力的計算沖擊力Pd和沖擊位移Dd之間的關(guān)系為BvlA

aGC根據(jù)機(jī)械能守恒定律定律，由從而，桿AB的應(yīng)變能為BACDdPd沖擊應(yīng)力的計算由此求得BvlA

aGC這里，——為在桿C點(diǎn)處受到一個數(shù)值上等于物體重量P的靜荷載作用時，該點(diǎn)的撓度。BACDdPd沖擊應(yīng)力的計算于是，動荷系數(shù)為BvlA

aGC當(dāng)C點(diǎn)受水平力P作用時，桿固定端橫截面的最外緣（即桿的危險點(diǎn)）處的靜應(yīng)力為于是，危險點(diǎn)處的沖擊應(yīng)力為BACDdPd構(gòu)件受迫振動時的動應(yīng)力受迫振動時的動應(yīng)力桿件受迫振動粗略計算的基本假定構(gòu)件本身的質(zhì)量可忽略不計受迫振動可簡化為一個自由度的振動問題考慮如圖所示的彈性系統(tǒng)，設(shè)剛性塊和電機(jī)的總重量為P，彈簧的剛度為C，并且彈簧重量遠(yuǎn)小于P而可忽略不計。電動機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度為p，由于偏心作用而引起的慣性力為H，下面分析彈簧中的動應(yīng)力。HPpt受迫振動時的動應(yīng)力彈簧在靜荷載作用下的靜位移為HPptPDst設(shè)系統(tǒng)的阻尼為，以靜荷載的平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則剛性塊的運(yùn)動方程為此方程的穩(wěn)態(tài)解為受迫振動時的動應(yīng)力其中，為位相差，B為振幅，且HPptPDstDH為將慣性力H作為靜荷載加在彈簧上的靜位移，為放大系數(shù),w為彈簧系統(tǒng)的固有頻率。受迫振動時的動應(yīng)力于是，彈簧在干擾力作用下發(fā)生受迫振動的最大位移為而最小位移為受迫振動時的動應(yīng)力受迫振動的動荷系數(shù)為類似的分析可以得到，如果在靜荷載P作用下彈簧的剪應(yīng)力為tstmax，則受迫振動中彈簧的最大動應(yīng)力為這個結(jié)論對所有單自由度彈性系統(tǒng)受迫振動的動應(yīng)力的計算都是適用的。彈性系統(tǒng)受迫振動時的動應(yīng)力是作周期變化的，這種應(yīng)力亦稱為交變應(yīng)力受迫振動時的動應(yīng)力彈簧受迫振動的位移HPptPDstHDHdmax=Dst+BH受迫振動時的動應(yīng)力例圖式的三種不同支承的梁都是有兩根20b號工字鋼所組成，梁的跨度l=3m，彈性模量E=200GPa，梁的中點(diǎn)安裝一重量為P=12kN，轉(zhuǎn)速為1500r/min的電動機(jī)，由于其轉(zhuǎn)子偏心所引起的慣性力H=2.5kN。忽略梁自身的重量，且不及阻尼介質(zhì)的阻力（n=0），計算圖示三梁危險點(diǎn)處的最大和最小動應(yīng)力。HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)受迫振動時的動應(yīng)力解梁橫截面關(guān)于z軸的慣性矩為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)對于圖(a)所示的兩端簡直梁，在中點(diǎn)C處作用靜荷載P所引起的靜位移為從而，梁的固有頻率為受迫振動時的動應(yīng)力梁的激振頻率為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)由于不計阻尼，從而，放大系數(shù)和動荷系數(shù)分別為受迫振動時的動應(yīng)力梁危險點(diǎn)C處的最大靜應(yīng)力為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)于是，梁危險點(diǎn)上的動應(yīng)力為受迫振動時的動應(yīng)力對于圖(b)所示的兩端固定梁，因?yàn)闉橐淮纬o定問題，所以需按超靜定方法求解在中點(diǎn)C處作用靜荷載P所引起的靜位移，由此可得靜位移為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)從而，梁的固有頻率為受迫振動時的動應(yīng)力梁的激振頻率為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)由于不計阻尼，從而，放大系數(shù)和動荷系數(shù)分別為受迫振動時的動應(yīng)力梁危險點(diǎn)C處的最大靜應(yīng)力為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)于是，梁危險點(diǎn)上的動應(yīng)力為受迫振動時的動應(yīng)力對于圖(c)所示的彈簧支承簡支梁，設(shè)支承彈簧的剛度C=300kN/m，在中點(diǎn)C處作用靜荷載P所引起的靜位移為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)從而，梁的固有頻率為受迫振動時的動應(yīng)力梁的激振頻率為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)由于不計阻尼，從而，放大系數(shù)和動荷系數(shù)分別為受迫振動時的動應(yīng)力梁危險點(diǎn)C處的最大靜應(yīng)力為HPABCHPABCHPABCyz(a)(b)(c)于是，梁危險點(diǎn)上的動應(yīng)力為交變應(yīng)力下材料的疲勞破壞疲勞極限疲勞破壞?疲勞極限基本概念

交變應(yīng)力——一點(diǎn)的應(yīng)力隨時間而交替變化

疲勞破壞——材料與構(gòu)件在交變應(yīng)力作用下的破壞疲勞破壞?疲勞極限疲勞破壞的實(shí)例

疲勞破壞?疲勞極限疲勞破壞的實(shí)例

疲勞破壞?疲勞極限交變應(yīng)力的基本參量

規(guī)則交變應(yīng)力——應(yīng)力隨時間的變化呈現(xiàn)一定的周期規(guī)律特征應(yīng)力譜——應(yīng)力隨時間變化的曲線疲勞破壞?疲勞極限不規(guī)則交變應(yīng)力——應(yīng)力隨時間的變化是隨機(jī)的，沒有規(guī)律可尋s(t)疲勞破壞?疲勞極限對規(guī)則交變應(yīng)力應(yīng)力循環(huán)——應(yīng)力變化的一個周期一個應(yīng)力循環(huán)疲勞破壞?疲勞極限應(yīng)力循環(huán)特征——應(yīng)力循環(huán)中絕對值的最小應(yīng)力與絕對值的最大應(yīng)力之比，即這里規(guī)定以絕對值較大者為最大應(yīng)力，并且規(guī)定它為正號，而與正號應(yīng)力反向的最小應(yīng)力則為負(fù)s(t)一個應(yīng)力循環(huán)smaxsmin疲勞破壞?疲勞極限應(yīng)力幅——應(yīng)力循環(huán)中最大應(yīng)力與最小應(yīng)力之差，即s(t)一個應(yīng)力循環(huán)smaxsmins對稱循環(huán)交變應(yīng)力——循環(huán)特征r

=-1

的交變應(yīng)力，即非對稱循環(huán)交變應(yīng)力——r

-1

的交變應(yīng)力幾個特殊情況疲勞破壞?疲勞極限脈動循環(huán)交變應(yīng)力——應(yīng)力循環(huán)特征r

=0

的交變應(yīng)力，即交變應(yīng)力的基本參量（兩組）最大應(yīng)力smax和循環(huán)特征r最大應(yīng)力smax和應(yīng)力幅Ds靜態(tài)應(yīng)力情形——靜應(yīng)力的循環(huán)特征r

=1

，即疲勞破壞?疲勞極限疲勞破壞——若金屬材料長期處于交變應(yīng)力狀態(tài)下，則在最大應(yīng)力遠(yuǎn)低于材料的屈服強(qiáng)度，并且不產(chǎn)生明顯的塑性變形的情況下，材料發(fā)生的驟然斷裂疲勞破壞特征破壞時，名義應(yīng)力遠(yuǎn)低于材料的（靜載）強(qiáng)度極限破壞需要經(jīng)過一定數(shù)量的應(yīng)力循環(huán)破壞前沒有明顯的塑性變形，即使韌性很好的材料，也會呈現(xiàn)脆性斷裂同一疲勞斷口，一般都有明顯的光滑區(qū)域和顆粒狀區(qū)域疲勞破壞?疲勞極限光滑區(qū)域顆粒狀區(qū)域

同一疲勞斷口，一般都有明顯的光滑區(qū)域和顆粒狀