第四章截面圖形的幾何性質(zhì)

第四章截面的幾何性質(zhì)4.1

靜矩和形心4.2

慣性矩和慣性積4.3

平行移軸公式4.4

轉(zhuǎn)軸公式4.5

形心主慣性軸和形心主慣性矩

1.靜矩CxydAxCxyCyO第四章截面的幾何性質(zhì)/靜矩和形心4.1

靜矩和形心2.形心3.形心與靜矩的關(guān)系

圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸一定過(guò)圖形的形心；某軸過(guò)圖形的形心，則圖形對(duì)該軸的靜矩為零。目錄

例4.2求圖示半徑為r的半圓形對(duì)其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。OCrxydAyCydy解：過(guò)圓心O作與x軸垂直的y軸，在距x任意高度y處取一個(gè)與x軸平行的窄條，

所以

4、組合截面的靜矩和形心（1）組合截面的靜矩（2）組合截面的形心第四章截面的幾何性質(zhì)/靜矩和形心目錄

解：將此圖形分別為I、II、III三部分，以圖形的鉛垂對(duì)稱軸為y軸，過(guò)II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則例4.1求圖示圖形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10由于對(duì)稱知：xc=0第四章截面的幾何性質(zhì)/靜矩和形心目錄2.極慣性矩：1.慣性矩：為圖形對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩；xydAxyrO3.慣性積：

為圖形對(duì)x、y一對(duì)正交軸的慣性積；分別為圖形對(duì)x、y軸的慣性矩；4.2慣性矩和極慣性矩

第四章截面的幾何性質(zhì)/慣性矩和極慣性矩

目錄②慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負(fù)，單位：m4、cm4、mm4；③若圖形有一個(gè)對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱軸的一對(duì)正交軸的慣性積為零；

④慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩

⑤如將dA看成質(zhì)量dm，則Ix、Iy、Ip分別為平面圖形對(duì)x、y、原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第四章截面的幾何性質(zhì)/慣性矩和極慣性矩

4.①慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：

平面圖形對(duì)過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣性矩。

解：平行x軸取一窄長(zhǎng)條，其面積為dA=bdy，則例4.3求圖示矩形對(duì)通過(guò)其形心且與邊平行的x、y軸的慣性矩Ix、Iy和慣性積Ixy。ydb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因?yàn)閤、y軸皆為對(duì)稱軸，故Ixy=0。同理可得第四章截面的幾何性質(zhì)/慣性矩和極慣性矩

慣性半徑的概念在實(shí)際工程中，為方便起見(jiàn)，引入了慣性半徑的概念，即第四章截面的幾何性質(zhì)/慣性矩和極慣性矩

目錄一、平行移軸公式1.公式推導(dǎo)2.平行移軸公式

②b和a是圖形的形心C在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是有正負(fù)的。3.注意：

①xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小；4.3平行移軸公式二、組合圖形的慣性矩：第四章截面的幾何性質(zhì)/平行移軸公式目錄例4.4

求圖示T型截面對(duì)形心軸的慣性矩。530530例4.5

已知三角形對(duì)底邊(x1軸)的慣性矩為bh3/12，求其對(duì)過(guò)頂點(diǎn)的與底邊平行的x2軸的慣性矩。bx1hx2xCh/3

解：由于x1、x2軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式，需先求出三角形對(duì)形心軸xC的慣性矩，再求對(duì)x2軸的慣性矩，即進(jìn)行兩次平行移軸：第四章截面的幾何性質(zhì)/平行移軸公式目錄303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面對(duì)形心軸的慣性矩先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：再求截面對(duì)形心軸的慣性矩：yCzyCzC目錄

慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式1.公式推導(dǎo)：2.轉(zhuǎn)軸公式：3.注意：a是x軸與x1軸的夾角，由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到x1軸時(shí)的a為正。

4.4

轉(zhuǎn)軸公式第四章截面的幾何性質(zhì)/轉(zhuǎn)軸公式目錄y1=|AC|dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、a，求、、。=|AD|-|EB|=ycosa-xsina利用三角變換，得到同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa+ysina得到目錄③形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩；2.主軸方位：①利用主軸的定義—慣性積等于零進(jìn)行求解；②主軸與x軸的夾角:

③由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分別對(duì)應(yīng)于一對(duì)相垂直的主軸x0、y0；4.5主慣性軸、主慣性矩1.主軸的相關(guān)概念：①主軸(主慣性軸)：慣性積等于零的一對(duì)正交軸；

②形心主軸：過(guò)圖形形心的主軸，圖形的對(duì)稱軸就是形心主軸第四章截面的幾何性質(zhì)/主慣性軸、主慣性矩目錄

②與主軸方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系：求a0時(shí)只取主值|2a0|≤p/2)，若Ix>Iy，則由x軸轉(zhuǎn)過(guò)a0到達(dá)x0軸時(shí)，有；若Ix<Iy，則。注意，a0為正值時(shí)應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。③任何具有三個(gè)或三個(gè)以上對(duì)稱軸的平面圖形，所有形心軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。

④求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對(duì)過(guò)該點(diǎn)主軸的兩個(gè)主慣性矩。3.主慣性矩大小：①

第四章截面的幾何性質(zhì)/主慣性軸、主慣性矩目錄12010101070例4.6計(jì)算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩IIIIIIICxyy0x0a0圖形的對(duì)稱中心C為形心，在C點(diǎn)建立坐標(biāo)系xCy如圖將整個(gè)圖形分成I、II、III三個(gè)矩形，如圖整個(gè)圖形對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積分別