第八章材料力學組合變形

FF軸向拉壓MM扭轉(zhuǎn)平面彎曲FAB第八章組合變形及連接件的計算§8.1概述材料力學1中南大學土木建筑學院當幾種變形的影響相近時再用簡單模型計算，將會引起較大的誤差。事實上，簡單變形不過是簡化模型，只有在一種變形特別突出，其余變形可以忽略不計的情況下才有可能發(fā)生。材料力學2中南大學土木建筑學院ABPFAxFAyFFyFx壓+彎一、組合變形同時發(fā)生兩種或兩種以上的簡單變形。材料力學3中南大學土木建筑學院彎曲+扭轉(zhuǎn)材料力學4中南大學土木建筑學院拉+彎立柱內(nèi)力軸力，彎矩材料力學5中南大學土木建筑學院偏心壓縮材料力學6中南大學土木建筑學院拉伸+扭轉(zhuǎn)材料力學7中南大學土木建筑學院彎+彎+扭

計算簡圖材料力學8中南大學土木建筑學院拉+彎+彎+扭材料力學9中南大學土木建筑學院組合變形的形式有無窮多種，本章學習四種典型形式。1、斜彎曲；2、彎扭組合；3、拉（壓）彎組合；4、偏心拉壓。應注意通過這四種典型組合變形的學習，學會計算一般組合變形強度的原理和方法。材料力學10中南大學土木建筑學院二、組合變形強度計算方法方法：疊加法前提條件：1、材料服從虎克定律；2、小變形?；静襟E：1、分解:目標——幾種簡單變形；2、分別計算:內(nèi)力計算（畫內(nèi)力圖——確定危險截面）應力計算——確定危險點3、疊加：危險點應力疊加；（注意應力作用面）4、強度計算：選擇適當?shù)膹姸壤碚摗２牧狭W11中南大學土木建筑學院三、連接件鉚釘、鍵、螺栓、銷釘?shù)绕鸬竭B接作用的構(gòu)件。

FFFFFFmmFFFF材料力學12中南大學土木建筑學院材料力學13中南大學土木建筑學院M鍵連接材料力學14中南大學土木建筑學院FFlammnnl材料力學15中南大學土木建筑學院榫齒連接材料力學16中南大學土木建筑學院一、概念外力：作用線不與形心主慣性軸重合；內(nèi)力:彎矩矢不與形心主慣性軸重合（可分解成兩個形心主慣性軸方向的分量）；變形：撓曲線不與載荷共面。§8.2相互垂直平面內(nèi)的彎曲－斜彎曲F1F2F4F3F5材料力學17中南大學土木建筑學院平面彎曲qF1F斜彎曲材料力學18中南大學土木建筑學院二、斜彎曲的正應力強度條件例：分析圖示斜彎曲的應力計算方法xyzF1F2F3F41、外力分解將梁上所有外力向梁的形心主慣性平面分解。材料力學19中南大學土木建筑學院xyz分解后得計算簡圖2、內(nèi)力計算形心主慣性平面內(nèi)的y向外力計算Mz，z向外力計算My，兩向彎矩均按絕對值計算。xyzMzMy彎矩用矢量表示如圖M為合成彎矩yzMzMyMjC且材料力學20中南大學土木建筑學院3、應力計算其中Mz橫截面上的正應力由兩部分疊加正應力是坐標的線性函數(shù)。疊加得yzMzMyMjCMy注意：式中的彎矩均取正值，y、z是代數(shù)值。若y、z為正時引起的應力為壓應力，則式子前面加負號。材料力學21中南大學土木建筑學院yzMzMyMjC4、中性軸的位置正應力等于零的點的連線為中性軸。設中性軸上一點的坐標為（y0、z0）中性軸方程由以上方程可知y0、z0正負相反或為零。即中性軸過形心，且位于2、4象限內(nèi)。M作用面中性軸a中性軸與y軸的夾角材料力學22中南大學土木建筑學院5、截面上的最大正應力離中性軸最遠的點正應力最大。作與中性軸平行并與截面邊界相切的兩條直線，切點分別為最大拉應力點和最大壓應力點。①矩形及矩形組合截面（有棱角）最大正應力在離形心最遠的棱角上。yzMC常見截面形式y(tǒng)zMzMyMjCM作用面中性軸a材料力學23中南大學土木建筑學院D1D2危險點處于單向應力狀態(tài)，因此

材料力學24中南大學土木建筑學院材料力學25中南大學土木建筑學院中性軸與彎矩作用面垂直，且彎矩作用面與截面的兩個交點即為最大正應力點。最大拉應力作用點坐標：yz②圓形截面jMCM作用面j圓截面Iy=Iz=I且Mz=Msinj,

My=McosjMzMy中性軸與y軸的夾角中性軸材料力學26中南大學土木建筑學院圓截面梁矩形截面梁矩形截面梁如圖。已知b=50mm,h=75mm，求梁內(nèi)的最大正應力。如改為d=65mm的圓截面，最大正應力為多少？1.5kN1kN1m1mxyzbh材料力學27中南大學土木建筑學院解：作計算簡圖,將自由端截面B上的集中力沿兩主軸分解為

在xoz主軸平面內(nèi)的彎矩圖(y軸為中性軸)

在xoy主軸平面內(nèi)的彎矩圖

(z軸為中性軸)20a號工字鋼懸臂梁承受均布荷載q和集中力F=qa/2

作用。已知鋼的許用彎曲正應力[s]=160MPa,a=1m。試求梁的許可荷載集度[q]。

yqzaa40°FOCBA0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM圖(Nm)0.617aADCBMz圖0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)FyzqaaABCDFzyxO材料力學28中南大學土木建筑學院危險截面：由彎矩圖，可確定A、D兩截面為危險截面

按疊加法，在xoz主軸平面內(nèi)、xoy主軸平面內(nèi)的彎曲正應力，在x方向疊加A、D截面在xoz、xoy平面的彎曲截面系數(shù)，可查表得截面A截面D材料力學29中南大學土木建筑學院

可見，梁的危險點在截面A的棱角處。危險點處是單軸應力狀態(tài)，強度條件為

即解得

材料力學30中南大學土木建筑學院圖所示簡支梁由22a工字鋼構(gòu)成，許用應力[s

]=140MPa。求該梁的許用載荷[F]，圖中長度l=1000mm。材料力學31中南大學土木建筑學院解：查附錄可得

Wz=309cm3，Wy=40.9cm3對A截面，由強度條件有B截面，由強度條件有取梁的許用載荷[F]=6KN材料力學32中南大學土木建筑學院圖所示由工字鋼制造的檁條傾斜地安裝在屋架上，檁條受有從屋面?zhèn)鱽淼你U直載荷作用。已知j=300，檁條跨度l=5m，均布載荷q=4KN/m，檁條的許用應力[s

]=160MPa。試選擇工字鋼的型號。解：圖中所有外載荷雖在同一平面但并不位于梁的形心主慣性平面內(nèi)，所以是斜彎曲。將均布載荷q向形心主慣性軸分解為qy=qcosj，qz=qsinj

在檁條跨中處彎矩最大，其值為材料力學33中南大學土木建筑學院檁條的強度條件為

由于工字鋼的型號未知，所以Wz和Wy均是未知的，但對于工字鋼，Wz∕Wy

之值通常在8～10之間。故解此題時，可暫設Wz∕Wy

=8。所以，將強度條件改寫為由于所有外載荷在同一平面內(nèi)，各截面的合成彎矩矢量M均與外載荷垂直，且與z軸的夾角亦為j，于是Mz=Mcosj

，My=Msinj

。其中M為合成彎矩，Mmax=ql2/8。材料力學34中南大學土木建筑學院由型鋼表試選25a工字鋼，查得25a工字鋼的Wz=401.88cm3，Wy=48.283cm3，自重q1=0.37KN/m?？紤]原載荷和自重共同引起的最大彎矩為，于是，強度條件為可見選25a工字鋼不能滿足強度條件，于是，再改選大一號的25b工字鋼。由附錄查得查得25b工字鋼的Wz=422.72cm3，Wy=52.423cm3，自重q1=0.41KN/m。所以，強度條件為檁條可以選用型號為25b的工字鋼。材料力學35中南大學土木建筑學院F§8.3彎曲與扭轉(zhuǎn)－彎扭組合材料力學36中南大學土木建筑學院80oF2zyxF1150200100ABCD150200100ABCDF1MxzxyF2zF2yMx一、外力向形心簡化并分解材料力學37中南大學土木建筑學院二、內(nèi)力計算每種外力分量對應的內(nèi)力圖T、

My、

Mz由My

、Mz

作合成彎矩M圖T圖My圖Mz圖合成彎矩M材料力學38中南大學土木建筑學院三、危險點應力分析x四、強度條件圖示二向應力狀態(tài)材料力學39中南大學土木建筑學院圓截面WP=2W

圓截面桿強度條件的簡化st同理材料力學40中南大學土木建筑學院解得空心圓軸，內(nèi)徑d=24mm，外徑D=30mm，B輪直徑D1=400mm，D輪直徑D2=600mm，F(xiàn)1=600N，[s]=100MPa，用第三強度理論校核此軸的強度。80oF2zyxF1150200100ABCD解：①外力分析150200100ABCDF1MxzxyF2zF2yMx材料力學41中南大學土木建筑學院T(Nm)My(Nm)12068.6403.17.1ABCDMz(Nm)②內(nèi)力計算合成彎矩M(Nm)68.740.6③應力分析安全材料力學42中南大學土木建筑學院直徑d=78mm的傳動軸AB由功率為45KW，轉(zhuǎn)速n=710rpm的電機通過皮帶輪C傳動。C處皮帶輪作用著水平方向的力，直徑D1=400mm，自重W1=0.4KN。D處皮帶輪作用著鉛垂方向的力，直徑D2=600mm，自重W2=0.9KN，用第四強度理論校核軸的強度。軸的許用應力[s]=80MPa。解：外力的分析和簡化電機通過帶輪C傳給軸的扭矩為將作用在皮帶輪上的外力向傳動軸簡化，得到作用于軸上的一對外力偶和水平與鉛垂方向的力，見圖所示。外力偶矩和力的大小分別為同樣，對帶輪D有材料力學43中南大學土木建筑學院FCz

=－3F1=－9.09kNFCy=W1=0.4kN，F(xiàn)Dy=W2+3F2=6.96kN（2）作內(nèi)力圖（3）強度校核計算相當應力該軸滿足強度條件。材料力學44中南大學土木建筑學院解：拉扭組合,危險點應力狀態(tài)如圖A直徑d=0.1m的圓桿受力如圖，Me=7kNm，F(xiàn)=50kN，[s]=100MPa,試按第三強度理論校核此桿的強度。FAFMeMe材料力學45中南大學土木建筑學院薄壁截面的切應力流與彎曲中心一、切應力流h彎曲切應力流C1、薄壁截面上的切應力平行于截面周邊切線，形成切應力流。2、切應力沿壁厚方向視為均勻分布。材料力學46中南大學土木建筑學院非對稱截面彎曲特點盡管外力作用在形心上，截面彎曲同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)二、彎曲中心材料力學47中南大學土木建筑學院彎曲中心：薄壁截面梁彎曲時，位于截面內(nèi)的分布力系的合力作用點。xyzCFe材料力學48中南大學土木建筑學院向C點化簡主矢FS主矩T=Fh+FSe′CFFFS主矢FS主矩T彎曲切應力流hCbd向A點化簡主矢就是合力FS主矩T=Fh-FSe=0CFFFS合力FS彎曲中心：梁橫截面上彎曲切應力合力作用點。彎曲中心作用：外力作用在彎曲中心上，桿件只彎不扭。非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力作用在與形心主慣性平面平行的平面內(nèi)，且必須過彎曲中心。eA材料力學49中南大學土木建筑學院如何確定彎曲中心的位置腹板上的切應力翼緣上的切應力材料力學50中南大學土木建筑學院由積分可求得作用在翼緣上的合力F為CFFFS彎曲中心處，主矩T=Fh－FSe＝0設彎曲中心到腹板中線的距離為e，則彎曲中心位置與外力大小和材料的性質(zhì)無關，是截面圖形的幾何性質(zhì)之一合力FSeA材料力學51中南大學土木建筑學院根據(jù)切應力流確定彎曲中心位置圖示截面梁有無彎曲中心？若有，在何處？AAA材料力學52中南大學土木建筑學院§8.4拉伸(壓縮)與彎曲－拉彎組合一、概念外力：軸向與橫向外力內(nèi)力：軸力，彎矩，剪力（忽略）當構(gòu)件承受軸向力作用的同時，還作用著位于形心主慣性平面內(nèi)的橫向力;這時便產(chǎn)生拉伸或壓縮與平面彎曲的組合變形。Fjl材料力學53中南大學土木建筑學院FFeFeFe=+FF材料力學54中南大學土木建筑學院1、分解FNFcosj危險截面：A:FN=Fcosj，M=Flsinj危險點：A截面上緣，單向應力狀態(tài)2、分別計算：作內(nèi)力圖;3、強度條件：MFlsinj二、強度計算FljABFcosjlAB＋=FsinjlAB材料力學55中南大學土木建筑學院

120kN

30kN

200

150

h圖示立柱，欲使截面上的最大拉應力為零，求截面尺寸h及此時的最大壓應力。解：（1）內(nèi)力分析

（2）最大拉應力為零的條件

解得

h=240mm

材料力學56中南大學土木建筑學院解：兩柱均為壓應力MFNFdF300200200①F200200②圖示力F=350kN，求出兩柱內(nèi)絕對值最大的正應力。材料力學57中南大學土木建筑學院解：由于截面m－n處有缺口，因而外力F對該截面形成偏心拉伸作用，如圖b。設偏心距為e，其值為：由平衡方程可求得截面m-n的軸力FN和彎矩M分別為：FN=F=120kN，M=Fe=720N·m帶有缺口的鋼板如圖所示，已知拉力F=120KN，板寬b=80mm，板厚d

=15mm，缺口深t=12mm，許用應力[s]=150MPa。不考慮應力集中的影響，試校核鋼板的強度。材料力學58中南大學土木建筑學院m－n截面的上邊緣將產(chǎn)生最大拉應力為：由此可見，鋼板強度不足。

若在鋼板上與再切一缺口并使兩缺口對稱，如圖c所示。這時對截面m－n而言，只有軸向拉伸沒有偏心載荷作用，于是最大拉應力為：避免偏心載荷是提高構(gòu)件承載能力的一項有效措施。材料力學59中南大學土木建筑學院AxFFAy

作折桿的受力圖,折桿及受力對稱，只需分析一半即桿AC，將FA分解,得桿的軸力FN、彎矩M(x)ABCmmfgFBx10kN解：由平衡條件BFFA一折桿由兩根無縫鋼管焊接而成，已知兩鋼管的外徑均為140mm，壁厚均為10mm。試求折桿危險截面上的最大拉應力和最大壓應力。

ABCa1.6m1.6m1.2m10kN最大彎矩在C處的m-m橫截面，m-m截面為危險截面材料力學60中南大學土木建筑學院

按疊加原理，最大拉應力st和最大壓應力sc分別在桿下邊緣的f點和上邊緣的g點處，其值分別為根據(jù)已知的截面尺寸

ABCmmfgFBx10kNAxFFAy代入應力表達式得材料力學61中南大學土木建筑學院解：橫梁處于壓縮和平面彎曲的組合變形，梁跨中截面為危險截面，其軸力和彎矩值分別為FN=－Fcos300=－26kN對工字鋼，在梁中間截面的上邊緣的絕對值最大，并且為單向應力狀態(tài)。所以強度條件為懸臂式吊車架由工字型橫梁BC和拉桿DC組成，最大起重量F=30kN，跨度l=3.6m。已知工字鋼的許用應力[s]=100MPa，試從強度方面選擇橫梁工字鋼的型號。材料力學62中南大學土木建筑學院

由于梁是主要承受彎曲的構(gòu)件，所以先不考慮軸力FN的影響，只根據(jù)彎曲強度初選工字鋼型號，然后再按拉壓與彎曲組合的強度條件進行強度校核。由彎曲正應力強度條件得查附錄型鋼表，選取22a工字鋼，W=309cm3，A=42cm2。將以上數(shù)據(jù)代入拉壓與彎曲組合的強度條件得所以，選取22a工字鋼滿足強度條件。材料力學63中南大學土木建筑學院一般情況荷載F——設為正；作用點：（yF,zF）設為正荷載平行于軸線但不位于形心主慣性平面內(nèi)。1、應力計算三偏心壓縮xyzFC（yF,zF）xyzFCMyMzFN

=F,My

=FzF,Mz=FyF①截面內(nèi)力內(nèi)力正負號：FN、

My、Mz

均設為正，引起某點的應力為壓應力時前面加負號。材料力學64中南大學土木建筑學院A點應力②分別計算xyzFCMyMzA(x,y)yzFCA(x,y)+xyzCMzA(x,y)+xyzCMyA(x,y)材料力學65中南大學土木建筑學院A作變換得③疊加單向應力狀態(tài)材料力學66中南大學土木建筑學院中性軸方程④中性軸（1）不過形心直線；中性軸的特性：偏心點（yF,zF）yzC中性軸ayaz截距（2）中性軸與偏心荷載作用點位于形心兩側(cè)；（3）中性軸位置與荷載大小無關；（4）荷載靠近形心時，中性軸遠離形心。材料力學67中南大學土木建筑學院（yF,zF）yzC中性軸ayazD1(y1

,z1)：最大壓應力D2(y2

,z2)：最大拉應力危險點scmaxstmaxD1(y1,z1)D2(y2,z2)

⑤強度材料力學68中南大學土木建筑學院截面形心附近的一個區(qū)域，荷載作用在此區(qū)域內(nèi)時，中性軸移出截面之外，截面內(nèi)正應力同號，這個區(qū)域稱為截面核心。2、截面核心z（yF,zF）y中性軸ayazCzz·（yF,zF）（yF,zF）y中性軸C材料力學69中南大學土木建筑學院當壓力F作用在截面核心內(nèi)時，整個截面上只產(chǎn)生壓應力。研究意義①工程中的混凝土柱或磚柱，其抗拉性很差，要求構(gòu)件橫截面上不出現(xiàn)拉應力；②地基受偏心壓縮，不允許其上建筑物某處脫離地基。

zz·（yF,zF）（yF,zF）y中性軸C材料力學70中南大學土木建筑學院確定截面核心步驟①作截面的形心主慣性軸；②作截面外凸點的直線代替內(nèi)凹輪廓線；③確定邊界上切線的截距ay、az；④由公式確定偏心壓力作用點的位置；⑤連接偏心壓力作用點得到的封閉曲線就是截面核心。材料力學71中南大學土木建筑學院切線①作為中性軸，其對應的偏心壓力作用點為1點（yF1，zF1

）。切線③作為中性軸，其對應的偏心壓力作用點為3點（yF3，zF3

）。中性軸①從繞B點轉(zhuǎn)到③的過程中的任一位置②，其對應的偏心壓力作用點（yF2，zF2）的位置必在1與3點的直線上。材料力學72中南大學土木建筑學院矩形截面的截面核心bhyz材料力學73中南大學土木建筑學院圓形截面的截面核心ryzAa材料力學74中南大學土木建筑學院一、連接件的失效形式1、剪斷剪切面螺栓在兩側(cè)與鋼板接觸面的壓力F作用下，將沿剪切面被剪斷?！?.5連接件的實用計算材料力學75中南大學土木建筑學院材料力學76中南大學土木建筑學院FFFF2、擠壓3、拉斷螺栓與鋼板在相互接觸面上因擠壓而使連接松動；鋼板在受螺栓孔削弱的截面處被拉斷。材料力學77中南大學土木建筑學院1、假定破壞面上應力均勻分布;2、模擬實驗結(jié)果按假定的應力分布確定許用應力。假定計算二、實用強度計算原理FF壓潰(塑性變形)FF擠壓面剪切面擠壓面材料力學78中南大學土木建筑學院3、內(nèi)力剪力FS

（可用平衡條件求出）2、變形特點

剪切面兩側(cè)相對錯動。上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面三、剪切強度實用計算1、受力特點外力等值、反向、作用線相距很近；材料力學79中南大學土木建筑學院4、強度條件一個剪切面FS材料力學80中南大學土木建筑學院雙剪二個剪切面QQFSFS材料力學81中南大學土木建筑學院兩個剪切面FFFF一個剪切面一個剪切面材料力學82中南大學土木建筑學院材料力學83中南大學土木建筑學院強度條件FSFSFS材料力學84中南大學土木建筑學院名義切應力式中

FS

——剪力;

t——切應力，方向同F(xiàn)S;

A——剪切面面積;[t

]=

tb——剪斷時剪切面上平均切應力;

nb——安全因數(shù);材料力學85中南大學土木建筑學院解：取構(gòu)件B和安全銷為研究對象，其受力為

由平衡條件

剪力為剪切面積為圖示的銷釘連接中，構(gòu)件A通過安全銷C將力偶矩傳遞到構(gòu)件B。已知荷載F=2kN，加力臂長l=1.2m，構(gòu)件B的直徑D=65mm，銷釘?shù)臉O限切應力u=200MPa。試求安全銷所需的直徑d。FFdDACBlODOFSSFeM材料力學86中南大學土木建筑學院

當安全銷橫截面上的切應力達到其極限值時，銷釘被剪斷，即剪斷條件為解得可取d=15mm材料力學87中南大學土木建筑學院

在螺栓連接中，在螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上，將發(fā)生彼此間的局部承壓現(xiàn)象，稱為擠壓。在接觸面上的壓力，稱為擠壓力Fbs擠壓力過大，可能引起螺栓壓扁或鋼板在孔緣壓皺，從而導致連接松動而失效

實際接觸面直徑投影面

分析受力、確定擠壓面:實際的擠壓面是半個圓柱面，而在實用計算中用其直徑平面Abs來代替。bs四、擠壓的實用計算bs—bearingstressFF材料力學88中南大學土木建筑學院1、計算擠壓面計算擠壓面為實際擠壓面在垂直于擠壓力平面上的投影。Abs=dd實際擠壓面計算材料力學89中南大學土木建筑學院2、擠壓強度條件材料力學90中南大學土木建筑學院在連接件中通常同時出現(xiàn)擠壓應力和切應力但二者有明顯區(qū)別AB剪力FS擠壓力FbsA向剪力作用面積B向擠壓力計算面積Abs擠壓應力計算面積——實際擠壓面在垂直擠壓力

方向上的投影。

材料力學91中南大學土木建筑學院A向剪力作用面積AB剪力FS擠壓力FbsB向擠壓力計算面積Abs注意：實際擠壓面是半圓柱切應力—

①計算面積是剪力的真實作用區(qū)。

②名義切應力是真實的平均切應力。擠壓應力—

①計算面積不一定是擠壓力真實作用區(qū)。

②名義擠壓應力不一定是平均擠壓應力。

材料力學92中南大學土木建筑學院試件沖頭FSFFddt沖床Fmax=400kN，沖頭[s]=400MPa，鋼板的tb=360MPa。求：沖頭最小直徑d和鋼板最大厚度t。解:1、按沖頭壓縮強度2、按鋼板剪切強度材料力學93中南大學土木建筑學院外載集度p=2MPa,角鋼厚t=12mm,長L=150mm,寬b=60mm，螺栓直徑d=15mm。求螺栓切應力和螺栓與角鋼間的擠壓應力。（忽略角鋼與工字鋼之間的摩擦力）解：(1)角鋼承受的總載荷F=pbL（2）每個螺栓的剪力（3）螺栓所受的切應力（4）單個螺栓與角鋼間的擠壓力（5）螺栓與角鋼間的擠壓應力材料力學94中南大學土木建筑學院解：鍵的受力分析如圖齒輪與軸由平鍵(b=16mm，h=10mm)連接，它傳遞的扭矩M=1600Nm，鍵的許用切應力為[]=80MPa，許用擠壓應力為[bs]=240MPa，軸的直徑d=50mm。試設計鍵的長度。MMdFbhL對于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計。材料力學95中南大學土木建筑學院綜上切應力和擠壓應力的強度條件MdFbhL材料力學96中南大學土木建筑學院如圖螺釘，已知：[t]=0.6[s]，求其d:h的合理比值。解hFd

當s，t