無(wú)窮小量,極限運(yùn)算法則

高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（1）第五講無(wú)窮小量與無(wú)窮大量極限的運(yùn)算授課教師：王利平主要內(nèi)容一.無(wú)窮小量及其運(yùn)算性質(zhì)二.

無(wú)窮大量三.

極限的運(yùn)算法則一、無(wú)窮小量及其運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)言之,在某極限過(guò)程中,以0為極限的量稱(chēng)該極限過(guò)程中的一個(gè)無(wú)窮小量.例1在任何一個(gè)極限過(guò)程中,

常值函數(shù)y=0均為無(wú)窮小量.1.無(wú)窮小量的定義定義2.函數(shù)的極限與無(wú)窮小量的關(guān)系分析反之亦然.由以上的分析,你可得出什么結(jié)論?由此可看出,尋找函數(shù)極限運(yùn)算法則可歸結(jié)為尋找無(wú)窮小量的運(yùn)算法則.定理同一個(gè)極限過(guò)程中的有限個(gè)無(wú)窮小量之和仍是一個(gè)無(wú)窮小量.

同一個(gè)極限過(guò)程中的有限個(gè)無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量.

3.無(wú)窮小量的運(yùn)算法則常數(shù)與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量.在某極限過(guò)程中,以極限不為零的函數(shù)除無(wú)窮小量所得到商仍為一個(gè)無(wú)窮小量.在某一極限過(guò)程中,無(wú)窮小量與有界量之積仍是一個(gè)無(wú)窮小量.證明：在某極限過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮小量之和仍是一個(gè)無(wú)窮小量.證證明:在某一極限過(guò)程中,無(wú)窮小量與有界量的積仍是一個(gè)無(wú)窮小量.證例2證證明有界量與無(wú)窮小量的乘積例3解二.無(wú)窮大量定義1.無(wú)窮大量的定義例4例5無(wú)窮大量是否一定是無(wú)界量?在某極限過(guò)程中,無(wú)界量是否一定是無(wú)窮大量?當(dāng)

x時(shí),

函數(shù)sinx、cosx,是否為無(wú)窮大量？因?yàn)閟inx、cosx

是有界函數(shù),

所以在任何極限過(guò)程中它們都不是無(wú)窮大量.(iii),(iv)自己畫(huà)畫(huà)圖會(huì)更清楚.在某一極限過(guò)程中定理2.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系無(wú)窮大量一定是同一極限過(guò)程中的無(wú)界量.反之不真3.無(wú)窮大量的運(yùn)算性質(zhì)在某極限過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮大量之積仍是一個(gè)無(wú)窮大量.在某極限過(guò)程中,無(wú)窮大量與有界量之和仍為無(wú)窮大量.不是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量例7兩個(gè)無(wú)窮大量的和是否仍為無(wú)窮大量?考察例8有界量與無(wú)窮大量的乘積是否一定為無(wú)窮大量？不著急,看個(gè)例題:結(jié)論:在某個(gè)極限過(guò)程中,無(wú)窮大量一定是無(wú)界量,但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.兩個(gè)無(wú)窮大量的和不一定是無(wú)窮大量.

無(wú)窮大量與有界量之積不一定是無(wú)窮大量.極限運(yùn)算法則的理論依據(jù)依據(jù)無(wú)窮小量的運(yùn)算法則定理法則三.

極限運(yùn)算法則由此你能不能寫(xiě)出極限四則運(yùn)算公式？1.

極限運(yùn)算法則

設(shè)在某極限過(guò)程中,函數(shù)f(x)、g(x)

的極限

lim

f(x)、lim

g(x)

存在,則

2.復(fù)合函數(shù)的極限有什么問(wèn)題沒(méi)有？定理注意這個(gè)條件,缺了它定理不一定成立.解例1求

求有理分式函數(shù)xx0

的極限時(shí),若分母不等于零,則可直接代值計(jì)算.???解例2因式分解解例3初等展開(kāi)解例4有理化解例5*并由此證明其中,n,mN.求第二問(wèn)怎么做？令則當(dāng)x0

時(shí),y0,故下面證明.變量代換例6證明原式由即得所證.證解例7這是兩個(gè)無(wú)窮大量相減的問(wèn)題.我們首先進(jìn)行通分運(yùn)算,設(shè)法去掉不定因素,然后運(yùn)用四則運(yùn)算法則求其極限.(通分)解例8*有理化解例9或者用下面的方法利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系涉及到兩個(gè)無(wú)窮大量的差解例10所以,由復(fù)合函數(shù)求極限法則這類(lèi)復(fù)合函數(shù)的極限通?？蓪?xiě)成解例11*這是求