導(dǎo)數(shù) 壓軸題訓(xùn)練

導(dǎo)數(shù)壓軸題訓(xùn)練1.(2014湖南).22.(2014湖南)..巳知常數(shù)a>°，函數(shù)/(x)=In(1+。1)--^.x+2⑴討論/(x)在區(qū)間(°，+8)上的單調(diào)性；(2)若/(x)存在兩個極值點氣,x2,且/(x1)+/(x2)>°，求。的取值范圍.【答案】(1)詳見解析【解析】解：(1)對函數(shù)/(x)求導(dǎo)可得()a4 a(x+2)2—4(1+ax) ax2—4(1—a)廣(x)=商一叫2= (1+ax)(x+2》=(1+ax)(x+2》'因為(1+ax)(x+2)22Ja(1-a))I單調(diào)遞減，在>°，所以當(dāng)1-aV°時,即a21時,/'(x)2°恒成立，則函數(shù)2Ja(1-a))I單調(diào)遞減，在遞增，當(dāng)aV1時遞增，當(dāng)aV1時，/'(x)=°nx=±單調(diào)遞增的.2」a(1-a) +8單調(diào)遞增的.aV 7⑵解：(1)對函數(shù)/(x)求導(dǎo)可得,()_a4 _a(x+2)2-4(1+ax) ax2-4(1-a)(1+ax)(x+2)2>°，所以當(dāng)E〈0時，即a21遞增，當(dāng)a<1時，廣(x(1+ax)(x+2)2>°，所以當(dāng)E〈0時，即a21遞增，當(dāng)a<1時，廣(x)=°nx=±—-~~—-，則函數(shù)/(x)在區(qū)間0,時,/'(x)2°恒成立，則函數(shù)f(x)在(°,+8)單調(diào)2Ja(1-a)) I單調(diào)遞減,a單調(diào)遞增的.?崩搜"洗顧Q.EJW嶙： ?崩搜"洗顧Q.EJW嶙： 蜘間知⑴時⑴而tifflB甫皿.偶）用:W娜醐?（【）『mJ些3業(yè)±l.⑴

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解：(1)因為f3)=ex_QX2_bx_1所以g(x)=f\x)=ex-2ax-b又g'(x)=一21因為ie［O,l］,l<ex<e所以：1若a<~,則2a<lfg'(x)=ex-2a>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［04］±單增，g(x)=g(0)=l-Z?min1 e 1c若—<a<-，則1v2”<e,于是當(dāng)0<x<ln(2。)時g'(x)=公一2i<0,當(dāng)ln(2。)<x<1時g'(x)=ex-2a>0?所以函數(shù)g3)在區(qū)間［0,ln(2a)］上單減，在區(qū)間［ln(2o),l］上單增，g(x)=g［ln(2?)］=2a-2aln(2tz)-bmin若則2a>efgr(x)=ex-2a<0所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［°，1］上單減，g3)=gW=e-2a-bminTOC\o"1-5"\h\z1Z 11-/?, a<-,2

1 e綜上：g(x)在區(qū)間［0,1］±的最小值為8miM=］2a-2a\n(2a)-b,-<?<-,J Ae-2a-b, a>—,2（2）由f（l）=0^e-a-b-l=Q^b=e-a-l）又f（0）=0若函數(shù)f3）在區(qū)間（°』）內(nèi)有零點，貝I函數(shù)f3）在區(qū)間（°，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間1e f由（1）知當(dāng)5或時，函數(shù)g（*）即了3）在區(qū)間［°』】上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求。1 €若一—,則g（x）=2a-2aln（2a）-b=3a-2aln（2a）-e-12 2、min令h(x)=—令h(x)=—x—jcInjc—c—12(l<x<e)TOC\o"1-5"\h\z則h\x)-——Inxo由h\x)-——lnx>0^>x<Ve2 2所以h(x)在區(qū)間(l,7e)上單增，在區(qū)間(JZ,e)上單減3L Lh(jt)= —e—1= —e—1<0即8(/)<。恒成立max 2 minPg(O)=2—e+i>。 [a>e-2于是，函數(shù)f3)在區(qū)間(°』)內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間—〈,1、[g(l)=—o+l〉0[a<l1 e c1又—<^<y所以e-2<a<l綜上，。的取值范圍為何一2,1)3.(2014陜西卷).(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f3)Tn(l+i),g(i)=V'3)/>0,其中f'⑴是3)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=g(x),g3)=g(g(x)\neN,求g3)的表達(dá)式；

1 n+l n + n若f(x)aS(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；設(shè)久一七比較g(D+g⑵++g(")與n_f(n)的大小,并加以證明.解由距設(shè)得.度盆）=出（L）由已知宓印危）=月盤】⑴）=］；+*=職〔7=］氏'’\可每*5）=E^-下面用數(shù)學(xué)歸姻法證明.①當(dāng)時=1時.島〔藥=薦姑論成立.匐假設(shè)m=也酎結(jié)論成立，即廉包）=t-^-.跑iN^ir尸*+i時,砰」8）=莒①」））=7^5=7^^=1+U4-1V即靖論成立.21 由①②可瘟!,結(jié)袍對噸立?（fl］已知f{x）事叩0）化成江石 工?A「亍丁￡成上設(shè)叭q=ln（l+工）…苦丁Gm勇，當(dāng)hM1時,/（?『）2。（但當(dāng)J：=Om壬十硼霽壓班立'二"在低+3」.:隼調(diào)遞增?又網(wǎng)⑴=?二拭1〕＞。在工口?十8）上恒成;交,/.gl呵，1MJ+.』＞代%拒成宣（儀尚可一D時等號成立）一當(dāng)”＞］時.對工￡（Q?d一I二有矽⑵＜。，二3）在〔口2—H上單典遂堿-?*?tp（a—I）V即（0＞—0.Ef［i?＞［恥-物：rA。，使?fàn)頕V。,故知ItiH―?。┬l(wèi)芒；/H也成立，蹤上可知M的取值范圃卸-52（m）由霆沒知mi〉一占奇》—卜§3）=*p號—,7^7、M—f（.n）=h—Infn-Li）,比較結(jié)果為泌 心）＞?-ln（n-1）.證明如下,證法J 上述系■等癢抑f于*飛令4…斗日月VInS+l)，在3】中耿口一1.可得IhCI十工)>吉也，上>。-金工 則一 <1口萱口.n 舞十In下面曲數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)Ft=1時.*V成.結(jié)論成也⑶佩設(shè)當(dāng)H=&時結(jié)論成立,即/+&+…+日五<防靜+1》一那么，當(dāng)H=出十1時，*+*十+占］；+k+2<蛔*十D+由<I瑚十I)十切=In以十2)t即結(jié)論成立.囹但?曲］?結(jié)論肘itE成立，證法二 上述不等式等價于*工!+“,嚀土<Ln(n+1Luij HLJ在3)中取白='證將1試1+上)>>0.令h=上。*E*-，則In*卜'> ?:n 用：n+J.故有In3-Ini>*,|礙一InZ>才■就舞+】)—Ifm?>―-~r,上述卷式相加可的頑十L)A方+冬j?+~Y■結(jié)論矜證.證法三加閣，:岸如是m曲裁.Y=廣.T—M及.T輒所％I成的曲邊拂雅的面如，旅*+…十古是咨中所示各矩形的海積頊，二!+-3《1■->■>［一丹=&=(1 -)d.T=n—InCn+1),EA nH-lJfir4-1Taj：?*-1靖論得涯.E卷誼擇題答案I.L2+CXB4,C&D W出 7,D 8.A土BUhA4.【2014年重慶卷(理20)】已知函數(shù)f3)=ae2x—be-2x—ex(a,b,cgR)的導(dǎo)函數(shù)廣(x)為偶函數(shù)，且曲線》=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4—c.確定a，b的值；若c=3，判斷f(x)的單調(diào)性；若f(x)有極值，求c的取值范圍.

解：(1)f'(x)=2ae2x+2be-2x—c，由f'(-x)=廣(x)恒成立知：2ae2x+2be-2x-c=2ae-2x+2be2x-cn(2a-2b)e4x+(2b-2a)=0，故a=b另夕卜f'(0)=2a+2b-c=4-cna+b=2聯(lián)立解出a=b=1此時f'(x)=2e2x+2e-2x-3=2(ex-e-x)2+1>0，故f(x)單調(diào)遞增。等價于f'(x)=2e2x+2e-2x-c=0有非最值解，設(shè)t=e2x>0,則等價于?2 . — . .一一2一.、萬程2t+—=c在t>0時有非最值解，由雙鉤函數(shù)知：2t+—e[4,+8)t t所以c>4，故c的取值范圍為(4,+8)e=2.71828是自/)e=2.71828是自5.(2014山東).(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)fx=玉―k(^*lnx)(k為常數(shù)，然對數(shù)的底數(shù))(I)然對數(shù)的底數(shù))(I)(II)解：當(dāng)k<0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)f(x)在(°，2)內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍。ex-x2一2xex 2 1(1)f(x)= 一k(-—+—)x2x(x一2)(ex-⑶(x>0)x3當(dāng)k<0時，kx<0,二ex-kx>0令f(x)=0,貝次=2/?當(dāng)xe(0,2)時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(2,+8)時，f(x)單調(diào)遞增。(2)令g(x)=ex-kx則g'(x)=ex-k:.ex=k,x=Inkg(0)=1-kV0,g(0)=1>0g'(2)=e2-k>0,g(2)=e2-2k>0k<三gGnk)=eink-kInk<0..Ink>1..k>e綜上:e的取值范圍為(e,幺)。2bex-1曲線y=f(x)在點(1,6..(2014年課標(biāo)I)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(曲線y=f(x)在點(1,xf(1))處的切線為y=e(x—i)+2.(I)求a,b；(ii)證明：f(x)>1.請考生從第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。.【解析】(I)設(shè)F(c,0) ，由條件知'=4^，得c=湛3 又'=~~c3 a2

. 一 X2 一所以a=2,b2=a2-c2=1,故E的方程彳+y2=1.(II)依題意當(dāng)/上x軸不合題意一一 X2 一將y=kx-2代入—+y2=1故設(shè)直線i：y=kx-2，設(shè)P(氣,y「，Q(x(II)依題意當(dāng)/上x軸不合題意一一 X2 一將