理論力學(xué)講義

理論力學(xué)(I)Saturday,February4,2023第二部分運(yùn)動(dòng)學(xué)第八章剛體的平面運(yùn)動(dòng)1行星齒輪機(jī)構(gòu)行星輪作什么運(yùn)動(dòng)？2§8-1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解§8-2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的方法§8-3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度的方法第八章剛體的平面運(yùn)動(dòng)3

一、平面運(yùn)動(dòng)的特征§8-1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解

在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變，或者說剛體上任一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。4沿直線軌道滾動(dòng)的車輪56二、平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S

在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。三、平面運(yùn)動(dòng)方程線段AB的位置如何確定？可見，平面圖形S的位置完全由這三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)決定。7若平面圖形S上A點(diǎn)不動(dòng)，若平面圖形S上

角不變，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。則剛體作平面平移。8

四、平面運(yùn)動(dòng)的分解9車輪對(duì)于定系Oxy的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）

動(dòng)系O'x'

y'（車廂）相對(duì)定系的平移（牽連運(yùn)動(dòng)）車輪相對(duì)動(dòng)系O'x'

y'（車廂）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）+=平移坐標(biāo)系O'x'y'

基點(diǎn)三種運(yùn)動(dòng)？？10車輪的平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)的平移繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)+=11一般的平面運(yùn)動(dòng)：結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)

的轉(zhuǎn)動(dòng)?；c(diǎn)可任選基點(diǎn)平移坐標(biāo)系O'x'y'

12平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，即同一瞬時(shí)平面圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的、都相同。

平面圖形隨基點(diǎn)平移的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選取有關(guān)。13

§8-2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的方法一、速度合成法（基點(diǎn)法）動(dòng)點(diǎn)：B點(diǎn)動(dòng)系：Ax'y'

定系：地面應(yīng)用點(diǎn)的速度合成定理

取A點(diǎn)為基點(diǎn),并固結(jié)動(dòng)系。三種運(yùn)動(dòng)？大小?方向?14即：平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。試一試：畫出AB上各點(diǎn)的速度分量?！c(diǎn)法15二、速度投影法沿AB投影：即：平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影（大小和正負(fù)號(hào)）相等?！俣韧队岸ɡ?6

OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B作平移，AB作平面運(yùn)動(dòng)。[例8-1]曲柄—滑塊機(jī)構(gòu)解：已知:曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。，。求:當(dāng)=60o時(shí)，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。（1）基點(diǎn)法研究AB，以A為基點(diǎn)，則大小方向r?

OA

AB水平AB

AB?17

研究連桿AB：能否求出AB?（2）速度投影法由速度投影定理，有轉(zhuǎn)向？?=v滑塊B18如何解釋這種現(xiàn)象？

離車輪與地面的接觸處近的鋼絲看得較清楚，而離得遠(yuǎn)的鋼絲則模糊不清，甚至看不見。19

若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，則求解速度問題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化，同時(shí)也能求出圖形的角速度。

基點(diǎn)法

速度投影法優(yōu)點(diǎn)：既能求速度，也能求

。

缺點(diǎn):

計(jì)算比較繁瑣。優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便，快捷。缺點(diǎn):

無(wú)法直接求角速度

。A為基點(diǎn)20

1.速度瞬心的概念

只要

，任一瞬時(shí)平面圖形上都唯一存在一個(gè)速度等于零的點(diǎn)。證明:（1）過點(diǎn)A作直線。選A為基點(diǎn)，則上任一點(diǎn)M的速度因此，在AL上必唯一存在一點(diǎn)P

，其速度為零。

定理

三、速度瞬心法21

某一瞬時(shí)平面圖形上速度等于零的點(diǎn)，稱為圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心。唯一性：

瞬時(shí)性：

在某一瞬時(shí)，圖形只有一個(gè)速度瞬心。在不同瞬時(shí)，圖形具有不同的速度瞬心。證畢！（2）過點(diǎn)A的其它直線上的點(diǎn)

，因和不共線，故速度均不為零。

定義

22

2.平面圖形上各點(diǎn)的速度方向：選取速度瞬心P為基點(diǎn)，則平面圖形上任一點(diǎn)B的速度

由此可見，只要已知平面圖形在某一瞬時(shí)的速度瞬心位置和角速度，就可求出該瞬時(shí)圖形上各點(diǎn)的速度。大?。築P，指向與轉(zhuǎn)向相一致。形繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。等于該點(diǎn)隨圖——速度瞬心法23過速度瞬心P的任一直線上各點(diǎn)的速度分布有何特點(diǎn)？就速度分布而言，平面圖形的運(yùn)動(dòng)可視為繞該瞬時(shí)速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有何區(qū)別？[思考]24[例8-2]用速度瞬心法解例8-1已知:曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。，。求:當(dāng)=60o時(shí)，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。?連桿AB的速度瞬心?25

3.速度瞬心位置的確定

①

已知平面圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度。速度瞬心P：

過點(diǎn)A作的垂線，并取。速度瞬心P：

過A、B兩點(diǎn)分別作速度、的垂線，兩垂線之交點(diǎn)。

②

已知平面圖形上任意兩點(diǎn)A、B的速度方位。26[思考]若A、B兩點(diǎn)的速度指向異側(cè)，則點(diǎn)P

還是圖形的速度瞬心嗎？為什么？27

③

已知平面圖形沿固定面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)（純滾動(dòng)）。速度瞬心P：

平面圖形上與固定面的接觸點(diǎn)。28行星齒輪機(jī)構(gòu)29

過A、B兩點(diǎn)分別作速度、的垂線，兩垂線之交點(diǎn)即為連桿AB的速度瞬心P。

曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B作平移，連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)。[例8-2]用速度瞬心法解例8-1解：已知:曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。，。求:當(dāng)=60o時(shí)，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。研究連桿AB：30（1）速度瞬心可以位于平面圖形之上，也可以位于平面圖形邊界之外（延長(zhǎng)部分上）。[討論]（）=v滑塊B31研究連桿AB：（2）當(dāng)=90o時(shí)，滑塊B的速度及連桿AB的角速度為多少？P？

該瞬時(shí)，連桿AB的速度瞬心P在無(wú)窮遠(yuǎn)處，。選A為基點(diǎn)，則連桿AB上任一點(diǎn)M的速度該瞬時(shí)AB上各點(diǎn)的速度相等。可見，該瞬時(shí)圖形上各點(diǎn)的速度分布如同圖形作平移時(shí)的一樣。各點(diǎn)加速度是否相等?故圖形在該瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)稱為瞬時(shí)平移。32確定速度瞬心第2種方法之特例：特例1

兩垂線平行不共線。速度瞬心P

在無(wú)窮遠(yuǎn)處，

。特例2

兩垂線平行且共線。P?若兩點(diǎn)的速度大小相等，則速度瞬心又在哪里？33[例8-3]沿直線軌道作純滾動(dòng)的車輪求:輪緣上點(diǎn)A、B、C、D的速度。已知:車輪半徑為R，輪心O點(diǎn)的速度為。解：車輪作平面運(yùn)動(dòng)。車輪與軌道的接觸點(diǎn)A為速度瞬心。車輪的角速度為（）（1）更加體會(huì)到速度瞬心法的計(jì)算簡(jiǎn)便；（2）直觀了解了車輪上各點(diǎn)的速度分布。各點(diǎn)的速度方向如圖所示。通過此例34現(xiàn)在，你能解釋這種現(xiàn)象了嗎？

離車輪與地面的接觸處近的鋼絲看得較清楚，而離得遠(yuǎn)的鋼絲則模糊不清，甚至看不見。35[思考]如果車輪在地面上既滾又滑，則接觸點(diǎn)

P

還是車輪的速度瞬心嗎？為什么?36？37取A點(diǎn)為基點(diǎn)固結(jié)平移坐標(biāo)系，一、基點(diǎn)法

§8-3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度的方法三種運(yùn)動(dòng)？選B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)用牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理已知:平面圖形S上點(diǎn)A的加速度和圖形的,（某一瞬時(shí)）。求:該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。38其中：方向沿AB，指向A點(diǎn)。方向AB，指向與一致；即:平面圖形上任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。試一試：畫出AB上各點(diǎn)的加速度分量。39二、加速度投影法沿AB投影：若某瞬時(shí)

=0（瞬時(shí)平移）：40已知：車輪半徑為R，輪心O點(diǎn)的速度為，加速度為。用基點(diǎn)法求解大小方向？？OPPO因此，應(yīng)先求出車輪的角速度

和角加速度

。求：車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度。分析：？？以輪心O為基點(diǎn)，則[例8-4]沿直線軌道作純滾動(dòng)的車輪41解：車輪作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心。（）因上式在任何瞬時(shí)都成立，且輪心O作直線運(yùn)動(dòng)，故有（）（1）求車輪、（2）求接觸點(diǎn)P的加速度以輪心O為基點(diǎn)，則42作出加速度矢量圖如圖示。且方向相反其中：大小方向？？OPPO43結(jié)論：當(dāng)車輪沿固定直線軌道純滾動(dòng)時(shí)，速度瞬心P處加速度并不等于零，且加速度指向輪心。44思考：若，分析輪緣上各點(diǎn)的加速度分布。輪心O為加速度瞬心45

思考：加速度瞬心存在

？加速度瞬心法

？加速度瞬心存在，但不如速度瞬心那樣容易確定，故雖然加速度瞬心法也存在，但一般不用。一般情況下，加速度瞬心與速度瞬心不在同一個(gè)點(diǎn)。因此，求平面圖形上各點(diǎn)的加速度一般采用基點(diǎn)法。46已知：滾輪半徑R=15cm，OA的

轉(zhuǎn)速n=60r/min，OA=R。

求：當(dāng)=60o時(shí)（OAAB），滾輪的B、B。要想求出滾輪的B、B，先要求出vB

、aB。解：OA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB桿和輪B作平面運(yùn)動(dòng)。P１為其速度瞬心。[例8-5]

曲柄滾輪（純滾動(dòng)）機(jī)構(gòu)分析：（1）研究AB桿先用速度瞬心法求vBP147P1（）以A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為再用基點(diǎn)法求aB48大小方向？水平OA2AO？ABw

AB2ABBA并將上式向BA投影，得作出加速度矢量圖如圖所示，其中：49P2為其速度瞬心）（）（（2）研究輪BP250剛體平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題課3.剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。隨基點(diǎn)平移的規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。

1.剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)其上任一點(diǎn)到某固定平面的距離保持不變。2.剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

剛體平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為平面圖形在自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平移是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特例。51

4.速度瞬心

（1）任一瞬時(shí)，平面圖形或其擴(kuò)展部分上速度為零的點(diǎn)；（2）速度瞬心具有唯一性和瞬時(shí)性；（3）當(dāng)=0時(shí)，速度瞬心位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，各點(diǎn)速度相同，剛體作瞬時(shí)平移（瞬時(shí)平移與平移不同）。5.求平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法（1）基點(diǎn)法：（2）速度投影法：（3）速度瞬心法：A為基點(diǎn)P為速度瞬心方向BP，指向與轉(zhuǎn)向相一致。52

6.求平面圖形上任一點(diǎn)加速度的方法（1）基點(diǎn)法：A為基點(diǎn)（2）加速度投影法：只有當(dāng)=0即瞬時(shí)平移時(shí)才可用

7.平面運(yùn)動(dòng)方法與合成運(yùn)動(dòng)方法的應(yīng)用條件平面運(yùn)動(dòng)方法用于研究同一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的速度、加速度之間的關(guān)系以及任意一點(diǎn)的速度、加速度與圖形的角速度、角加速度之間的關(guān)系。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法常用來(lái)確定兩個(gè)物體相重合點(diǎn)處的速度、加速度之間的關(guān)系。53已知：R、

r、o

，輪A作純滾動(dòng)。求：。解：輪O不動(dòng)，桿OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪A作平面運(yùn)動(dòng)。）（[例1]

行星齒輪機(jī)構(gòu)P為速度瞬心。研究輪A：用速度瞬心法54已知楔塊：

=30o，v=12cm/s；盤：r=4cm，與楔塊間無(wú)滑動(dòng)。求：圓盤、軸O速度及B點(diǎn)速度。解：桿OC、楔塊M均作平移，圓盤作平面運(yùn)動(dòng)。）（[例2]

平面機(jī)構(gòu)研究圓盤：由A、O兩點(diǎn)的速度方向可確定其速度瞬心為P

。用速度瞬心法55）（56每個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，在每一瞬時(shí)都有自己的速度瞬心和角速度。注意：比較例1和例2可以看出，不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時(shí)，接觸點(diǎn)就是速度瞬心。只有在接觸面是固定面時(shí)，則圓輪上接觸點(diǎn)才是速度瞬心。57解：OA、O1D均作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平面運(yùn)動(dòng)。圖示位置AB作瞬時(shí)平移，故有[例4]

導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu)（1）研究AB桿求：該瞬時(shí)桿O1D的角速度。已知：曲柄OA=r

，勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿AB的中點(diǎn)C處連一滑塊C，可沿導(dǎo)槽O1D滑動(dòng)，AB=l。圖示瞬時(shí)O、A、O1三點(diǎn)在同一水平線上，且OAAB，=30o。

58選取動(dòng)點(diǎn)：AB桿的C動(dòng)系：O1D桿定系：基座由大小方向??O1D沿O1D作出速度平行四邊形如圖示。r（2）用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法求O1D桿上與滑塊C相重合點(diǎn)的速度59

這是一個(gè)需要聯(lián)合應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)理論求解的綜合性問題。

）（若要求該瞬時(shí)桿O1D的角加速度，則又如何求？思考：60已知：圖示瞬時(shí)，O點(diǎn)在AB中點(diǎn)，=60o，AB=20cm，vA=16cm/s，BCAB，O、C在同一水平線上。求：該瞬時(shí)AB、BC兩桿的角速度及滑塊C的速度。解：輪A、桿AB和桿BC均作平面運(yùn)動(dòng)，套筒O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊C平移。（1）應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方