第十五講 聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型識別

§4.3聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的識別

TheIdentificationProblem

一、識別的概念二、從定義出發(fā)識別模型三、結(jié)構(gòu)式識別條件四、簡化式識別條件五、實際應(yīng)用中的經(jīng)驗方法一、識別的概念⒈為什么要對聯(lián)立模型進行識別？聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型是由多個方程組成的，對方程之間的關(guān)系有嚴(yán)格的要求，否則模型（參數(shù)）就可能無法估計。所以，在對聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型進行估計之前，必須判斷它是否可以估計，也就是必須對模型進行識別。

看一個例子：有如下3個方程構(gòu)成的簡單宏觀經(jīng)濟模型：t=1,2,…,n其中C為消費總額，包括居民消費和政府消費；I為投資總額；Y為國內(nèi)生產(chǎn)總值。在假定進出口平衡的情況下，國內(nèi)生產(chǎn)總值為消費總額與投資總額之和。模型中消費總額與投資總額都用國內(nèi)生產(chǎn)總值解釋，在經(jīng)濟學(xué)上也是可以接受的。所以，如果該模型可以估計，不失為一個描述消費總額、投資總額和國內(nèi)生產(chǎn)總值關(guān)系的總量宏觀經(jīng)濟模型。

消費方程是包含C、Y和常數(shù)項的直接線性方程；投資方程和國內(nèi)生產(chǎn)總值方程的某種線性組合（消去I）所構(gòu)成的新方程也是包含C、Y和常數(shù)項的直接線性方程。但是，分析發(fā)現(xiàn)：如果利用C、Y的樣本觀測值并進行參數(shù)估計后，很難判斷得到的是消費方程的參數(shù)估計量還是新組合方程的參數(shù)估計量。于是，我們只能認為原模型中的消費方程是不可估計的。這種情況被稱為不可識別。只有可以識別的方程才是可以估計的。

⒉識別的定義

在不同的教科書中，分別給出了識別的3種定義：“如果聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別?！薄叭绻?lián)立方程模型中某些方程的線性組合可以構(gòu)成與某一個方程相同的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。”“根據(jù)參數(shù)關(guān)系體系，在已知簡化式參數(shù)估計值時，如果不能得到聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程的確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，則稱該方程為不可識別?！睉?yīng)該以是否具有確定的統(tǒng)計形式作為識別的基本定義。換句話說，所謂識別，是指判斷聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型中某個結(jié)構(gòu)方程是否具有確定的統(tǒng)計形式。

所謂“統(tǒng)計形式”，是指某個結(jié)構(gòu)方程所包含的變量及變量之間的關(guān)系式。

所謂“具有確定的統(tǒng)計形式”，是指模型系統(tǒng)中其它方程或所有方程的任意線性組合所構(gòu)成的新的方程都不再具有這種統(tǒng)計形式。顯然，如果某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，那么根據(jù)參數(shù)關(guān)系體系，在已知簡化式模型參數(shù)估計值時，就不能得到該結(jié)構(gòu)方程的確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，該結(jié)構(gòu)方程也就是不可識別的。⒊模型的識別

上述識別的定義是針對結(jié)構(gòu)方程而言的。模型中每個需要估計其參數(shù)的隨機方程都存在識別問題。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是可以識別的。反過來，如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是不可以識別的。恒等方程由于不存在參數(shù)估計問題，所以也不存在識別問題。但是，在判斷隨機方程的識別性問題時，應(yīng)該將恒等方程考慮在內(nèi)。

⒋恰好識別(JustIdentification)與過度識別

(Overidentification)我們講“某一個隨機方程，當(dāng)給定有關(guān)變量的樣本觀測值時，其參數(shù)具有確定的估計量”，包括兩種情況：一是只有一組參數(shù)估計量；二是具有有限組參數(shù)估計量。

如果某一個隨機方程只具有一組參數(shù)估計量，稱其為恰好識別；如果某一個隨機方程具有多組參數(shù)估計量，稱其為過度識別。

二、從定義出發(fā)識別模型例：判斷模型1的可識別性。

（1）消費方程不可識別。因為第2與第3個方程的線性組合得到的新方程具有與消費方程相同的統(tǒng)計形式。（2）投資方程也不可識別。因為第1與第3個方程的線性組合得到的新方程具有與投資方程相同的統(tǒng)計形式。（3）所以，該模型系統(tǒng)不可識別。

模型1

t=1,2,…,n解：實際上，該模型的簡化式模型為：在該參數(shù)關(guān)系體系中，包含一個矛盾方程（方程1、2相加，右端等于方程3的右端，而左端并不一定相等，形成矛盾方程）。從3個方程中剔除一個矛盾方程后，利用剩下的2個方程不能求得4個結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定值。所以也證明消費方程與投資方程都是不可識別的。

參數(shù)關(guān)系體系為：例：判斷下列模型2的可識別性。

模型2

t=1,2,…,n解：模型2是在模型1的投資方程中增加解釋變量Yt-1后形成的。這時，消費方程可以識別，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。但是，投資方程仍然是不可識別的，因為第1、第2與第3個方程的線性組合（消去C）構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。于是，該模型系統(tǒng)仍然不可識別。注意：與模型1相比，在模型2的投資方程中增加了1個變量，消費方程就變成可以識別的了。例：判斷下列模型3的可識別性。

模型3

t=1,2,…,n解：

模型3是在模型2的消費方程中增加解釋變量Ct-1后形成的。這時，消費方程仍然是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。而且，投資方程也是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。于是，該模型系統(tǒng)是可以識別的。注意：與模型2相比，在模型3的消費方程中增加了1個變量，投資方程也變成可以識別的了。例：判斷下列模型4的可識別性。

（1）模型4是在模型3的消費方程中增加解釋變量前一年的價格指數(shù)Pt-1后形成的。（2）這時，消費方程和投資方程仍然是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它們相同的統(tǒng)計形式。（3）于是，該模型系統(tǒng)是可以識別的。

模型4

t=1,2,…,n解：

注意，該模型的簡化式模型為：

參數(shù)關(guān)系體系為：

上述參數(shù)關(guān)系體系由12個方程組成，其中包含4個矛盾方程。剔除4個矛盾方程，在已知簡化式參數(shù)估計值時，由8個方程能夠求得所有7個結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定估計值。所以，也證明消費方程和投資方程都是可以識別的。在求解線性代數(shù)方程組時，如果方程數(shù)目大于未知數(shù)數(shù)目，被認為無解；如果方程數(shù)目小于未知數(shù)數(shù)目，被認為有無窮多解。但是在這里，無窮多解意味著沒有確定值，所以，如果參數(shù)關(guān)系體系中有效方程數(shù)目小于未知結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量數(shù)目，被認為不可識別；如果參數(shù)關(guān)系體系中有效方程數(shù)目大于未知結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量數(shù)目，那么每次從中選擇與未知結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量數(shù)目相等的方程數(shù)，可以解得一組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，換一組方程，又可以解得一組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，這樣就可以得到多組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，被認為可以識別，但不是恰好識別，而是過度識別。

需要特別指出的是：如何修改模型使不可識別的方程變成可以識別？或者在其它方程中增加變量；或者在該不可識別方程中減少變量。但必須保持經(jīng)濟意義的合理性。三、結(jié)構(gòu)式識別條件從識別的概念出發(fā)，完全可以對聯(lián)立方程模型的識別狀態(tài)進行判斷，實際中也是這樣做的。但從理論的角度出發(fā)，人們總希望有一些規(guī)范的判斷方法。其中，一種直接從待判斷的結(jié)構(gòu)方程出發(fā)，對聯(lián)立方程模型的識別狀態(tài)進行判斷的方法，稱為結(jié)構(gòu)式識別條件。

⒈結(jié)構(gòu)式識別條件直接從結(jié)構(gòu)式模型出發(fā)一種規(guī)范的判斷方法每次用于1個隨機方程具體描述為：

設(shè)聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的結(jié)構(gòu)式為

模型系統(tǒng)包含的內(nèi)生變量和先決變量（含常數(shù)項）的數(shù)目分別用g和k表示。

如果其中的第i個結(jié)構(gòu)方程包含gi個內(nèi)生變量和ki個先決變量（含常數(shù)項），第i個方程中未包含的變量（包括內(nèi)生變量和先決變量）在其它g-1個方程中對應(yīng)系數(shù)所組成的矩陣為(B00)，那么，判斷第i個結(jié)構(gòu)方程識別狀態(tài)的結(jié)構(gòu)式條件為：

一般將該條件的前一部分稱為秩條件（RankCondition），用以判斷結(jié)構(gòu)方程是否識別；將后一部分稱為階條件（OrderConditon），用以判斷結(jié)構(gòu)方程恰好識別或者過度識別。

注意：與某個結(jié)構(gòu)方程對應(yīng)的矩陣(B00)，實際上就是矩陣(B)除去該結(jié)構(gòu)方程參數(shù)所在的行和該行中非0元素（對應(yīng)于該結(jié)構(gòu)方程包含的元素）所在的列之后剩下的元素按照原次序排列而得到的。先寫出矩陣(B)，然后再從中得到與所判斷的方程對應(yīng)的矩陣(B00)，既簡單，又不容易出錯。

我們看幾個例子。⒉例題例1用結(jié)構(gòu)式條件判斷下列聯(lián)立方程模型的可識別性。

t=1,2,…,n解：

該模型包含g=3個內(nèi)生變量：Ct、It、Yt

；k=4個先決變量：X0（常數(shù)項）、Yt-1、Ct-1、Pt-1。

該模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為：（內(nèi)生）CtItYt

X0Yt-1Ct-1Pt-1

（先決）（1）對于第1個結(jié)構(gòu)方程，有

所以，該方程可以識別。所以，第1個結(jié)構(gòu)方程為恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。

又因為有：k=4，k1=3，g1=2

（2）對于第2個結(jié)構(gòu)方程，有所以，該方程可以識別。所以，第2個結(jié)構(gòu)方程為過度識別的結(jié)構(gòu)方程。

又因為有：k=4，k2=2，g2=2

（3）第3個方程是平衡方程，不存在識別問題。（4）綜合以上結(jié)果，該聯(lián)立方程模型是可以識別的。例2：用結(jié)構(gòu)式條件判斷下列聯(lián)立方程模型的可識別性。

t=1,2,…,n解：

該模型包含g=3個內(nèi)生變量：Ct、It、Yt

；k=2個先決變量：X0（常數(shù)項）、Yt-1

。該模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為：CtItYtX0Yt-1

（1）對于第1個結(jié)構(gòu)方程，有所以，該方程可以識別。又因為有：k=2，k1=1，g1=2所以，第1個結(jié)構(gòu)方程為恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。

（2）對于第2個結(jié)構(gòu)方程，有所以，第2個結(jié)構(gòu)方程為不可識別的結(jié)構(gòu)方程。

（3）綜合以上結(jié)果，該聯(lián)立方程模型不可以識別。

四、簡化式識別條件⒈簡化式識別條件如果已經(jīng)知道聯(lián)立方程模型的簡化式模型參數(shù)，那么可以通過對簡化式模型的研究達到判斷結(jié)構(gòu)式模型是否識別的目的。由于需要首先估計簡化式模型參數(shù)，所以在實踐中應(yīng)用很少。⒉例題

需要識別的結(jié)構(gòu)式模型

已知其簡化式模型參數(shù)矩陣為判斷第1個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以該方程是可以識別的。所以該方程是恰好識別的。又因為判斷第2個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以該方程是可以識別的。所以該方程是過度識別的。又因為判斷第3個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以該方程是不可識別的。

所以該模型是不可識別的?？梢詮臄?shù)學(xué)上嚴(yán)格證明，簡化式識別條件和結(jié)構(gòu)式識別條件是等價的。

《計量經(jīng)濟學(xué)—方法與應(yīng)用》（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第104—107頁。五、實際應(yīng)用中的經(jīng)驗方法當(dāng)一個聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型系統(tǒng)中的方程數(shù)目比較多時，無論是從識別的概念出發(fā)，還是利用規(guī)范的結(jié)構(gòu)式或簡化式識別條件，對模型進行識別，困難都是很大的，或者說是不可能的。理論上很嚴(yán)格的方法在實際中往往是無法應(yīng)用的，在實際中應(yīng)用的往往是一些經(jīng)驗方法。關(guān)于聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的識別問題，實際上不是等到理論模型已經(jīng)建立了之后再進行識別，而是在建立模型的過程中設(shè)法保證模型的可識別性。為此，在建立聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型時，要遵循如下原則：“在建立某個結(jié)構(gòu)方程時，要使該方程包含前面每一個方程中都不包含的至少1個變量（內(nèi)生或先決變量）；同時使前面每一個方程中都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同。”該原則的前一句話是保證該方程的引入不破壞前面已有方程的可識別性。只要新引入方程包含前面每一個方程中都不包含的至少1個變量，那么它與前面方程的任意線性組合都不能構(gòu)成與前面方程相同的統(tǒng)計形式，原來可以識別的方程仍然是可以識別的。該原則的后一句話是保證該新引入方程本身是可以識別的。只要前面每個方程都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同，那么所有方程的任意線性組合都不能構(gòu)成與該方程相同的統(tǒng)計形式。在實際建模時，將每個方程所包含的變量記錄在如下表所示的表式中，將是有幫助的。例如，在建立第4個方程時，必須包含變量1、2、3、4、5、6之外的至少一個變量；同時需要檢查方程1、2、3是否都存在至少1個方程4所未包含的變量，且互不相同。這里可以認為方程1中的變量1、方程2中的變量4和5、方程3中的變量6滿足要求。于是，所建立的方程4是可以識別的。重要不論你在什么時候開始，重要的是開始之后就不要放棄。不論你在什么時候結(jié)束，重要的是結(jié)束之后就不要悔恨?！?.4聯(lián)立方程模型的單方程估計方法

Single-EquationEstimationMethods一、聯(lián)立方程模型的兩大類估計方法二、聯(lián)立方程模型單方程估計方法的特點三、狹義的工具變量法（IV）四、間接最小二乘法(ILS)五、二階段最小二乘法(2SLS)六、簡單宏觀經(jīng)濟模型單方程估計方法實例演示一、聯(lián)立方程模型的兩大類估計方法聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。所謂聯(lián)立方程模型的單方程估計方法，是指每次只估計模型系統(tǒng)中的一個方程，依次逐個估計。如間接最小二乘法、狹義的工具變量法、二階段最小二乘法、有限信息最大似然法、最小方差比方法等。所謂聯(lián)立方程模型的系統(tǒng)估計方法，是指同時對全部方程進行估計，同時得到所有方程的參數(shù)估計量。如三階段最小二乘法、完全信息最大似然法等。二、聯(lián)立方程模型單方程估計方法的特點聯(lián)立方程模型單方程估計方法解決了哪些問題？主要解決聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中每一個方程中的隨機解釋變量問題，同時盡可能地利用單個方程中沒有包含的、而在模型系統(tǒng)中包含的變量樣本觀測值的信息；沒有考慮模型系統(tǒng)方程之間的相關(guān)性對單個方程參數(shù)估計量的影響。聯(lián)立方程模型的單方程估計方法不同于單方程模型的估計方法。單方程模型只有一個方程，其估計只需根據(jù)方程自身的信息，沒有其它與之相關(guān)的信息；而對于聯(lián)立方程模型，由于內(nèi)生變量之間相互依存，作為被解釋變量的內(nèi)生變量同時又是其他方程的解釋變量，其單方程估計方法除根據(jù)所估計方程自身的信息之外，還需要考慮該方程內(nèi)生變量在其他方程中與之相關(guān)的信息。三、狹義的工具變量法

（IV，InstrumentalVariables）⒈什么是狹義的工具變量法？

方法思路：對于聯(lián)立方程模型BY+X=N中的第i個結(jié)構(gòu)方程，有（gi-1）個內(nèi)生解釋變量，ki個先決解釋變量。如果該方程是恰好識別的，則有（gi-1）=（k-ki）。于是，可以選擇該方程所不包含的（k-ki）個先決變量作為其包含的（gi-1）個內(nèi)生解釋變量的工具變量。所以，所謂狹義的工具變量法，是指對于聯(lián)立方程模型BY+X=N中的第i個結(jié)構(gòu)方程，為克服隨機解釋變量問題，選擇該方程中沒有包含的（k-ki）個先決變量作為方程中包含的（gi-1）個內(nèi)生解釋變量的工具變量。其方法原理與單方程模型的IV方法相同。狹義的工具變量法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。問題：工具變量與先決變量的對應(yīng)經(jīng)濟解釋⒉狹義工具變量法參數(shù)估計量的統(tǒng)計特性一般情況下，工具變量法的參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是漸近無偏的。四、間接最小二乘法

(ILS,IndirectLeastSquares)⒈方法思路聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程中包含有內(nèi)生解釋變量，不能直接采用OLS估計其參數(shù)。但是對于簡化式方程，可以采用OLS直接估計其參數(shù)。所謂間接最小二乘法，是指先對關(guān)于內(nèi)生變量的簡化式方程采用OLS法估計簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計量。間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計。因為只有恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，才能從參數(shù)關(guān)系體系中得到唯一一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量。

2.間接最小二乘法參數(shù)估計量的統(tǒng)計特性對于簡化式模型應(yīng)用OLS法得到的參數(shù)估計量具有線性、無偏性和有效性。通過參數(shù)關(guān)系體系進一步計算得到的結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量，在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。也就是說，采用間接最小二乘法得到的結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量，在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。問題：求解過程的局限性，結(jié)構(gòu)方程的相關(guān)檢驗不足。五、二階段最小二乘法

(2SLS,TwoStageLeastSquares)⒈二階段最小二乘法（2SLS）是應(yīng)用最多的單方程估計方法狹義的工具變量法和間接最小二乘法一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。在實際的聯(lián)立方程模型中，恰好識別的結(jié)構(gòu)方程很少出現(xiàn)，一般情況下結(jié)構(gòu)方程都是過度識別的。為什么？2SLS是一種既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程的單方程估計方法。

⒉二階段最小二乘法的具體步驟第一階段：從結(jié)構(gòu)方程導(dǎo)出簡化式方程，用普通最小二乘法進行估計，然后用簡化式方程求出結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量的估計值。第二階段：用所求出的內(nèi)生解釋變量的估計值替換結(jié)構(gòu)方程中該內(nèi)生解釋變量的樣本觀測值，再對結(jié)構(gòu)方程用普通最小二乘法進行估計，所求出的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量即為二階段最小二乘法參數(shù)估計量。⒊二階段最小二乘法參數(shù)估計量的統(tǒng)計特性

采用二階段最小二乘法得到的參數(shù)估計量，在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。特點：求解過程簡潔，條件寬松（只要求結(jié)構(gòu)方程是可識別就行），能夠?qū)崿F(xiàn)對結(jié)構(gòu)方程的所有檢驗，利用了結(jié)構(gòu)模型全體方程的相關(guān)性息。六、簡單宏觀經(jīng)濟模型單方程估計方法實例演示⒈模型

消費方程是恰好識別的；投資方程是過度識別的；模型是可以識別的。⒉數(shù)據(jù)⒊用狹義的工具變量法估計消費方程

用Gt作為Yt的工具變量用Gt作為Yt的工具變量估計消費方程的結(jié)果⒋用間接最小二乘法估計消費方程C的簡化式模型估計結(jié)果Y的簡化式模型估計結(jié)果⒌用兩階段最小二乘法估計消費方程

比較上述消費方程的3種估計結(jié)果，證明這3種方法對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程是等價的。估計量的差別只是很小的計算誤差。代替原消費方