第七章方差分析

第七章方差分析方差分析的基本原理單因素實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差分析兩因素實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差分析2023/2/41現(xiàn)有5種治療蕁麻疹的新藥，為了比較其療效，將30個(gè)病人隨機(jī)分成5組，每組6人。讓同一組使用同一種新藥，各病人治愈天數(shù)如7-1表所示:

表7.1

5種治療蕁麻疹新藥治愈病人天數(shù)問(wèn)：5種藥物的療效是否存在顯著差異？若存在顯著差異，差異體現(xiàn)在那些藥物之間？2023/2/42案例

五種新藥的療效一樣嗎藥物治愈天數(shù)A16877108A2466356A3644523A4746635A5945776一、方差分析的主要概念二、案例的直觀分析三、統(tǒng)計(jì)模型與基本假定四、離差平方和與自由度的分解2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組3第一節(jié)方差分析的基本原理

方差分析：

是一種檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等的統(tǒng)計(jì)方法。方差分析主要用來(lái)研究一個(gè)定量因變量與一個(gè)或多個(gè)定性自變量的關(guān)系。試驗(yàn)因素：

試驗(yàn)的設(shè)計(jì)者希望考察的試驗(yàn)條件，或者說(shuō)就是方差分析研究的對(duì)象，簡(jiǎn)稱(chēng)因素，也可稱(chēng)為自變量，如案例中的藥物。因素水平：

試驗(yàn)因素的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱(chēng)為因素水平，簡(jiǎn)稱(chēng)水平，實(shí)際上就是因素的不同表現(xiàn)。如案例中的5種藥物。若方差分析只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行，則稱(chēng)為單因素方差分析。若方差分析同時(shí)針對(duì)兩個(gè)因素進(jìn)行，則稱(chēng)為雙因素方差分析。2023/2/44一、方差分析的主要概念試驗(yàn)指標(biāo)：

衡量試驗(yàn)結(jié)果好壞程度的指標(biāo)，也可稱(chēng)為因變量，其不同

的取值常稱(chēng)為觀察值或試驗(yàn)數(shù)據(jù)。在本章案例中，治愈天

數(shù)就是試驗(yàn)指標(biāo)。處理：

按照因素的給定水平對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象所做的操作。這種操作就

是對(duì)因素劃類(lèi)或確定數(shù)量等級(jí)，形成因素的不同水平。因

素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。每個(gè)處理可看作一個(gè)試驗(yàn)條

件或一個(gè)總體。試驗(yàn)單元

接受處理的實(shí)驗(yàn)對(duì)象稱(chēng)為試驗(yàn)單元，簡(jiǎn)稱(chēng)單元。如案例中

接受治療的患者，一個(gè)患者就是一個(gè)試驗(yàn)單元。

2023/2/45一、方差分析的主要概念2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組6一、方差分析的主要概念2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組7一、方差分析的主要概念2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組8二、案例的直觀分析·····治愈天數(shù)A1A2A3A4A51.從散點(diǎn)圖上可以看出

不同藥物的治愈天數(shù)是有明顯差異的同一個(gè)藥物不同患者的治愈天數(shù)也明顯不同2.藥物與治愈天數(shù)之間有一定的關(guān)系如果藥物與治愈天數(shù)之間沒(méi)有關(guān)系，那么患者被治

愈的天數(shù)應(yīng)該差不多相同，在散點(diǎn)圖上所呈現(xiàn)的模

式也就應(yīng)該很接近，不同藥物的平均治愈天數(shù)就幾

乎應(yīng)該在一條水平線上。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組9二、案例的直觀分析3.僅從散點(diǎn)圖上觀察還不能提供充分的證據(jù)證明不同藥物的治愈天數(shù)之間有顯著差異。4.需要有更準(zhǔn)確的方法來(lái)檢驗(yàn)這種差異是否顯著，也就是進(jìn)行方差分析。所以叫方差分析，因?yàn)殡m然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時(shí)則需要借助于方差。5.不同藥物的治愈天數(shù)之間的差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也有可能是系統(tǒng)性影響因素造成的。6.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)誤差來(lái)源的分析，判斷不同總體的均值是否相等。2023/2/410二、案例的直觀分析數(shù)據(jù)誤差的來(lái)源分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。1.隨機(jī)誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異。比

如，同一藥物下不同患者的治愈天數(shù)是不同的。這種差異

可以看成是隨機(jī)因素影響的結(jié)果，稱(chēng)為隨機(jī)誤差。2.系統(tǒng)誤差

因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間存在差異。比如，不同藥物的治愈時(shí)間之間的差異。這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于藥物本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。2023/2/411三、數(shù)據(jù)誤差的來(lái)源2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組12四、統(tǒng)計(jì)模型與方差分析的基本假定處理觀測(cè)值合計(jì)平均A1……A2……………………………Ai……………………………Ak…合計(jì)——————方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（以單因素方差分析為例）：因素A的第i個(gè)處理的第j次觀測(cè)值：第i個(gè)處理的n個(gè)觀測(cè)值之和：全部觀測(cè)值的總和：第i個(gè)處理平均數(shù)：全部觀測(cè)值的總平均數(shù)2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組131.符號(hào)定義方差分析中的統(tǒng)計(jì)模型，用來(lái)描述因素A的第i個(gè)處理的第j次觀測(cè)值的形成機(jī)理。結(jié)合本章案例，假設(shè)在第i個(gè)處理下的第j次觀測(cè)是患者張三，則張三的治愈天數(shù)應(yīng)該為：

張三治愈天數(shù)=張三所在處理組的平均天數(shù)+

隨機(jī)因素對(duì)張三治愈天數(shù)的影響（可正可負(fù)）

=總平均天數(shù)+張三所在組平均天數(shù)與總平均天數(shù)之差+隨機(jī)因素對(duì)治愈天數(shù)的影響2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組142.統(tǒng)計(jì)模型這個(gè)差值說(shuō)明了什么？設(shè)張三所在組的平均治愈天數(shù)為，總平均治愈天數(shù)為，隨機(jī)因素的影響為，張三所在組的平均治愈天數(shù)與總平均治愈天數(shù)之差為，則張三的治愈天數(shù)可表達(dá)為：2023/2/4152.統(tǒng)計(jì)模型(1)每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。(2)各個(gè)總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的(3)觀察值是獨(dú)立的各觀測(cè)值彼此之間相互不影響在上述假定條件下，判斷藥物對(duì)治愈天數(shù)是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的五個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組163.方差分析的基本假定結(jié)合本章案例，方差分析要回答的問(wèn)題就是5種不同的藥物對(duì)治愈天數(shù)是否有顯著影響，實(shí)際上就是檢驗(yàn)五種藥物的平均治愈天數(shù)是否相等。所建立的假設(shè)為：

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組174.方差分析中假設(shè)的建立方差分析檢驗(yàn)多個(gè)總體的均值是否相等，或是否存在顯著差異，是從對(duì)數(shù)據(jù)差異來(lái)源的分析入手的。從本章案例中可以看出，試驗(yàn)數(shù)據(jù)的差異存在于如下三個(gè)方面：全部觀測(cè)值存在差異各水平（處理）內(nèi)部觀測(cè)值存在差異各水平（處理）之間觀測(cè)值存在差異上述各種差異產(chǎn)生的原因只有兩個(gè)方面，即系統(tǒng)性因素與隨機(jī)性因素。數(shù)據(jù)差異源分析，就是通過(guò)構(gòu)造反映數(shù)據(jù)差異的統(tǒng)計(jì)量即離差平方和，并對(duì)其進(jìn)行分解，確定數(shù)據(jù)差異的原因。2023/2/418五、數(shù)據(jù)差異源分析——離差平方和及其分解總離差平方和反映全部觀測(cè)值總變異的程度?？傋儺惪赡苁请S機(jī)因素與系統(tǒng)因素（試驗(yàn)因素）共同影響形成的。2023/2/4191.總離差平方和SST處理內(nèi)（組內(nèi)）離差平方和反映各處理內(nèi)觀測(cè)值的變異程度。組內(nèi)離差平方和是某一特定處理下試驗(yàn)數(shù)據(jù)的差異程度，與試驗(yàn)因素（系統(tǒng)因素）的變化無(wú)關(guān)，所以該離差平方和反映了隨機(jī)因素所導(dǎo)致的數(shù)據(jù)差異，也稱(chēng)誤差平方和。2023/2/4202.處理內(nèi)（組內(nèi)）離差平方和SSE處理間（組間）離差平方和反映重復(fù)n次的處理間觀測(cè)值的變異程度。組間離差平方和既與試驗(yàn)因素（系統(tǒng)因素）的變化有關(guān)，也與隨機(jī)因素有關(guān)，所以該離差平方和反映了試驗(yàn)因素（系統(tǒng)因素）與隨機(jī)因素共同所導(dǎo)致的數(shù)據(jù)差異。2023/2/4213.處理間（組間）離差平方和SSA2023/2/4224.三項(xiàng)離差平方和之間的關(guān)系SST＝SSA＋SSE

總離差平方和因素A及隨機(jī)因素導(dǎo)致的變差隨機(jī)因素導(dǎo)致的變差組間離差平方和組內(nèi)離差平方和前述的各離差平方和的絕對(duì)值的大小受到處理的重復(fù)數(shù)的影響，為了消除重復(fù)數(shù)對(duì)離差平方和的影響，并實(shí)現(xiàn)各離差平方和之間的可比，需要將離差平方和改造為誤差均方（也可稱(chēng)方差）。誤差均方是將各離差平方和與其對(duì)應(yīng)的自由度相除所得的結(jié)果。各離差平方和的自由度如下：2023/2/4235.誤差均方離差平方和自由度SSTSSESSA(1)組內(nèi)均方（組內(nèi)方差）(2)組間均方（組間方差）如果原假設(shè)成立，則表明沒(méi)有系統(tǒng)誤差，組間均方與組內(nèi)均方差異就不會(huì)太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說(shuō)明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差，判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小。2023/2/4245.誤差均方2023/2/4255.誤差均方組間離差平方和組內(nèi)離差平方和組間方差組內(nèi)方差受因素A和隨機(jī)

因素的影響只受隨機(jī)

因素的影響通過(guò)比較組間均方與組內(nèi)均方之間的大小，來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等，是方差分析的基本思想。如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說(shuō)明各水平(總體)之間的差異不僅受隨機(jī)因素，還有系統(tǒng)因素的影響，試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著的影響；反之，若兩者很接近，說(shuō)明各水平(總體)之間的差異僅有隨機(jī)因素的影響，試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無(wú)顯著的影響。根據(jù)這一思想，可以構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。2023/2/426六、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如果因素A的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，兩個(gè)方差的比值會(huì)接近1。如果不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有影響，組間方差就會(huì)大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會(huì)大于1。當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說(shuō)不同水平之間存在顯著差異，或者說(shuō)因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響。2023/2/427六、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如果，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為各水平均值之間存在顯著差異，反之，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為各水平均值之間沒(méi)有顯著差異。2023/2/428六、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量a

F(k-1,nk-k)

0拒絕H0不能拒絕H0F變差來(lái)源離差平方和SS自由度df均方MSF值組間SSAk-1MSAMSA/MSE組內(nèi)SSEnk-kMSE總和SSTnk-1——2023/2/429七、方差分析表方差分析表（單因素）一般形式1.為什么要進(jìn)行多重比較在方差分析中，不拒絕原假設(shè)，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足，分析終止；當(dāng)原假設(shè)被拒絕時(shí)，我們可以確定至少有兩個(gè)總體的均值有顯著差異。但要進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)男┚抵g有顯著差異還需要采用多重比較的方法進(jìn)行分析。2.什么是多重比較多重比較是同時(shí)對(duì)各個(gè)總體均值進(jìn)行的兩兩比較。方法很多，如Fisher最小顯著差異（LeastSignificantDifference，LSD）方法、Tukey的誠(chéng)實(shí)顯著差異（HSD）方法或Bonferroni的方法等。這里我們只介紹最小顯著差異方法。2023/2/430八、多重比較2023/2/431八、多重比較（最小顯著差異檢驗(yàn)法的步驟）(1)提出假設(shè)

(2)計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(3)決策如果或則拒絕H0。2023/2/432八、多重比較（最小顯著差異檢驗(yàn)法的步驟）實(shí)際應(yīng)用中，也可以按下列規(guī)則決策：首先計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其次計(jì)算檢驗(yàn)臨界值：最后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策：若，則拒絕原假設(shè)；反之不拒絕。1.提出假設(shè)2.計(jì)算各離差平方和及其自由度3.計(jì)算均方和F統(tǒng)計(jì)量4.列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)5.對(duì)原假設(shè)進(jìn)行決策。若拒絕原假設(shè)，則進(jìn)行多重比較2023/2/433九、方差分析的步驟根據(jù)安排的試驗(yàn)因素的多少，方差分析分為單因素方差分析、兩因素方差分析和多因素方差分析。單因素方差分析根據(jù)各處理內(nèi)重復(fù)數(shù)是否相等，分為重復(fù)數(shù)相等與重復(fù)數(shù)不等的方差分析兩種情況。上節(jié)討論的是重復(fù)數(shù)相等的情況，而重復(fù)數(shù)不等的方差分析的基本原理與重復(fù)數(shù)相等時(shí)的過(guò)程是一致的，只是各離差平方和、自由度的計(jì)算，以及多重比較中標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算略有不同。2023/2/434第二節(jié)單因素方差分析2023/2/435一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析（例）根據(jù)本章案例介紹過(guò)程。1.建立假設(shè)：2.計(jì)算各均值、各離差平方和、各均方、F統(tǒng)計(jì)量，列方差分析表。這類(lèi)計(jì)算比較麻煩，可借助相關(guān)軟件完成。2023/2/436一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析（例）差異源SSdfMSFP-valueFcrit組間47.47411.875.55

0.002452.76組內(nèi)53.5252.14總計(jì)100.9829--

----

--

方差分析表2023/2/437一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析（例）3.統(tǒng)計(jì)決策：從臨界值來(lái)看，由于，所以拒絕原假設(shè)；從P值來(lái)看，由于，所以拒絕原假設(shè)；4.進(jìn)行多重比較在顯著性水平時(shí)，由于所以，水平1和水平2的均值之間存在顯著差異。余此類(lèi)推【例】為了對(duì)幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，某市消費(fèi)者協(xié)會(huì)對(duì)該地的旅游業(yè)、居民服務(wù)業(yè)、公路客運(yùn)業(yè)和保險(xiǎn)業(yè)分別抽取了不同數(shù)量的企業(yè)。每個(gè)行業(yè)中的這些企業(yè)在服務(wù)內(nèi)容、服務(wù)對(duì)象、企業(yè)規(guī)模等方面基本相同。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，最近一年消費(fèi)者對(duì)這23家企業(yè)投訴的次數(shù)資料如表7-7所示，消費(fèi)者協(xié)會(huì)想知道:這幾個(gè)行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異？如果有，究竟是在哪些行業(yè)之間？如果能找出哪些行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量最差，就可以建議對(duì)消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)法中該行業(yè)的某些條款作出修正。2023/2/438二、各處理重復(fù)數(shù)不相等的方差分析2023/2/439例題數(shù)據(jù)

某地消費(fèi)者對(duì)四個(gè)行業(yè)的投訴次數(shù)觀測(cè)序列旅游業(yè)A1居民服務(wù)業(yè)A2公路客運(yùn)業(yè)A3保險(xiǎn)業(yè)A4157625170255495968346604863445545569554564760653557473.多重比較中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：4.其余操作與單因素方差分析過(guò)程一致。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組40分析過(guò)程2023/2/441計(jì)算與決策解:(1)建立假設(shè)H0:μ1=μ2=…=μm；H1:μ1，

μ2，…，

μm不

全相等

(2)計(jì)算有關(guān)均值及平方和

ST=1175.913，SE=422，SA=753.913

方差來(lái)源離差平方和S自由度均方離差F值組間SA=753.9133251.3043F=11.315組內(nèi)SE=4221922.21053總差異ST=1175.91322方差分析表(3)統(tǒng)計(jì)決策對(duì)于顯著性水平=0.05，F(xiàn)0.05(3.19)=3.1274由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=11.315>F0.05(3.19)

，所以拒絕原假設(shè)H0

，即有95%的把握認(rèn)為不同的行業(yè)之間投訴的差異顯著。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組42計(jì)算與決策(1)點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)分析項(xiàng)；(2)在分析工具框中連擊“單因素方差分析”；(3)在對(duì)話框的“數(shù)據(jù)區(qū)域”框中鍵入A3：C6； 在α框中保持0.05不變（也可根據(jù)需要變?yōu)?.01）； 在“輸出選項(xiàng)”中鍵入D3； 選擇“確定”，輸出結(jié)果如表7-9所示：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組43Excel中方差分析的計(jì)算步驟2023/2/444對(duì)四個(gè)行業(yè)的均值進(jìn)行多重比較（=0.05）由題意及計(jì)算可知，k1=7，k2=6，k3=k4=5;第一步：提出假設(shè)假設(shè)1:H0:μ1=μ2;假設(shè)2:H0:μ1=μ3;假設(shè)3:H0:μ1=μ4假設(shè)4:H0:μ2=μ3;假設(shè)5:H0:μ2=μ4;假設(shè)6:H0:μ3=μ42023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組45第二步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值第三步：計(jì)算LSD。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組45對(duì)四個(gè)行業(yè)的均值進(jìn)行多重比較（=0.05）2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組46第四步：進(jìn)行決策2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組46由以上計(jì)算可知，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,,的值分別小于LSD1、LSD2、LSD4的值，顯示旅游業(yè)與居民服務(wù)業(yè)的投訴次數(shù)之間、旅游業(yè)與公路客運(yùn)業(yè)投訴次數(shù)之間、居民服務(wù)業(yè)與公路客運(yùn)業(yè)投訴次數(shù)之間沒(méi)有顯著差異；,,的值分別大于LSD3、LSD5、LSD6的值，顯示旅游業(yè)與保險(xiǎn)業(yè)的投訴次數(shù)之間、公路客運(yùn)業(yè)與保險(xiǎn)業(yè)投訴次數(shù)之間有顯著差異。對(duì)四個(gè)行業(yè)的均值進(jìn)行多重比較（=0.05）一、無(wú)交互作用的雙因素方差分析若記一因素為因素A，另一因素為因素B，對(duì)A與B同時(shí)進(jìn)行分析，就屬于雙因素方差分析，即判斷是否有某一個(gè)或兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，兩個(gè)因素結(jié)合后是否有新效應(yīng)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中將各個(gè)因素的不同水平的搭配所產(chǎn)生的新的影響稱(chēng)為交互作用。我們先討論無(wú)交互作用的雙因素方差分析問(wèn)題，對(duì)于有交互作用的雙因素方差分析問(wèn)題稍后再討論。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組47第三節(jié)雙因素方差分析假定因素A有r個(gè)水平：A1,A2,…,Ar

；因素B有s個(gè)水平：B1,B2,…,Bs

。在A的r個(gè)水平與B的s個(gè)水平的每種組合下作一次試驗(yàn)，可得無(wú)交互作用的雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)下表所示：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組48數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)因素B因素AB1B2…BS平均值A(chǔ)1x11x12…x1sA2x21x22…x2s………………Arxr1xr2…xrs平均值…

判斷因素A的影響是否顯著等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：

H01:μ1.=μ2.

=…=μi.

判斷因素B的影響是否顯著等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：H02:μ.1=μ.2

=…=μ.j

其中，μr

表示A的第i個(gè)水平所構(gòu)成的總體均值，

μs表示的B第j個(gè)水平所構(gòu)成的總體均值。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組49假設(shè)建立分解總離差平方和與單因素情況類(lèi)似，能夠證明下列公式成立：

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組50自由度

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以證明：當(dāng)時(shí)與單因素情況類(lèi)似，可以證明ST、SA

、SB和SE的自由度分

別為2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組51平方和分解定理平方和分解定理：設(shè)Q服從自由度為n的分布，又Q1+Q2+…+Qk=Q，其中，Q（i=1,2,3,…,k）是秩為fi的非負(fù)二次型，則Q相互獨(dú)立，并且服從自由度為fi的分布的充要條件是f1+f2+…+fk=n(這里不做證明，證明參見(jiàn)有關(guān)數(shù)理教材)。顯然，ST、SA

、SB和SE滿足平方和分解定理?xiàng)l件。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組52檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由于SA反映因素A的各水平之間的差異，SB反映因素B的各水平之間的差異，SE反映在交互作用不顯著時(shí)試驗(yàn)本身隨機(jī)誤差的大小。因此，可用以下統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組53雙因素（無(wú)交互作用）方差分析表方差來(lái)源方差S自由度f(wàn)均方MSF值A(chǔ)的影響fA=r-1MSA=SA/fAFA=MSA/MSEB的影響fB=s-1MSB=SB/fBFB=MSB/MSE誤差fE=(r-1)(s-1)MSE=SE/fE總和fT=rs-12023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組54【例】為提高某種產(chǎn)品的合格率，考察原料用量和來(lái)源地對(duì)其是否有影響。原料來(lái)源地有三個(gè)：甲、乙、丙；原料用量有三種：現(xiàn)有量、增加5%、增加8%。每個(gè)水平組合各作一次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表下所示。試分析原料用量和來(lái)源地對(duì)產(chǎn)品合格率的影響是否顯著？2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組55例題例題數(shù)據(jù)原料用量原料來(lái)源地現(xiàn)有量B1增加5%B1增加8%B1甲地A1597066乙地A2637470丙地A36166712023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組56例題分析解:(1)建立假設(shè)H01:μ1.=μ2.=μ3.H02:μ.1=μ.2=μ.3

(2)計(jì)算相應(yīng)的均值和平方和：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組57(3)列方差分析表

方差分析表方差來(lái)源方差S自由度f(wàn)均方MSF值因素ASA=26fA=2MSA=26/2=13FA=13/7=1.86因素BSB=146fB=2MSB=146/2=73FB=73/7=10.43誤差SE=28fE=4MSE=28/4=7總和ST=200fE=82023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組58例題分析(4)統(tǒng)計(jì)決策

對(duì)于顯著性水平=0.05，查表得臨界值F0.05(2,4)=6.94，

因?yàn)镕A=1.86<F0.05(2,4)，故不能拒絕H01;FB=1.86<F0.05(2,4)，故拒絕H02.

即根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，有95%的把握可以推斷原料來(lái)源地對(duì)產(chǎn)品合格率的影響不大，而原料用量對(duì)合格率有顯著影響。由于，說(shuō)明B2

為最優(yōu)水平。既然原料來(lái)源地對(duì)產(chǎn)品合格率的影響不顯著，在保證質(zhì)量的前提下，可以選擇運(yùn)費(fèi)最省的地方作為原料來(lái)源地選擇時(shí)的首選。如果丙地的運(yùn)費(fèi)最省，則最優(yōu)方案為B2A3。

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組59例題分析以例7.2為例，設(shè)數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表的區(qū)域?yàn)锳2:C4，再按以下步驟進(jìn)行：(1)點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)分析項(xiàng)。(2)分析工具框中連擊“方差分析：無(wú)重復(fù)的雙因素方差分

析”。(3)在對(duì)話框的“數(shù)據(jù)區(qū)域”框中鍵入B3：D5；在框中保持0.05不變（也可根據(jù)需要變?yōu)?.01）；在“輸出選項(xiàng)”中

鍵入E2；選擇“確定”，輸出結(jié)果如表7-14所示：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組60Excel應(yīng)用無(wú)重復(fù)雙因素分析方差分析結(jié)果

方差分析：無(wú)重復(fù)雙因素分析SUMMARY觀測(cè)數(shù)求和平均方差行131956531行232076931行331986625列13183614列232107016列33207697方差分析差異源SSdfMSFP-valueFcrit行262131.85710.26896.9443列14627310.42860.02596.9443誤差2847總計(jì)2008

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組61交互作用，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是不同因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的復(fù)合作用，因素A和B的綜合效應(yīng)不是二因素效應(yīng)的簡(jiǎn)單相加。為了能分辨出兩個(gè)因素的交互作用，一般每組試驗(yàn)至少作兩次。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：設(shè)因素A有r個(gè)水平：A1,A2,…,Ar;因素B有s個(gè)水平：B1,B2,…,Bs;則共有rs個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合（試驗(yàn)條件）重復(fù)t次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)結(jié)果用xijk（i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,t）表示，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表7-15所示：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組62二、有交互作用的雙因素方差分析表7-15有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)B1B2…BsA1x111,x112,…,x11tx121,x122,…,x12t…x1s1,x1s2,…,x1stA2x211,x212,…,x21tx221,x222,…,x22t…x2s1,x2s2,…,x2st……………Arxr11,xr12,…,xr1txr21,xr22,…,xr2t…xrs1,xrs2,…,xrst2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組632．建立假設(shè)設(shè)xijk~N（μijk，σ2），各xijk相互獨(dú)立，μijk和σ2均為未知參數(shù)，于是有xijk=μijk+εijkεijk~N（0，σ2

），各εijk相互獨(dú)立，并記：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組64我們稱(chēng)i為水平Ai的效應(yīng)，j為水平Bj的效應(yīng)，rij為水平Ai和Bj的交互效應(yīng)，μ為平均數(shù)。顯然有：獨(dú)立。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組65以上為雙因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。對(duì)這一模型可設(shè)如下三個(gè)假設(shè)：

H01:σ1=σ2=…=σr=0 H02:1=2=…=s=0 H03:γ11=γ12=…=γrs=02023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組663．方差分析

與單因素方差分析的平方和分解類(lèi)似，有2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組672023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組68數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以證明：因此可用如下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)H01，H02，H03進(jìn)行檢驗(yàn)：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組69表7.16雙因素（有交互作用）方差分析表方差來(lái)源方差S自由度f(wàn)均方MSF值因素ASAfA=r-1MSA=SA/fAFA=MSA/MSE因素BSBfB=s-1MSB=SB/fBFB=MSB/MSE因素A*BSA*BfA*B=(r-1)(s-1)MSA*B=SA/fA*BFA*B=MSA*B/MSE誤差SEfE=rs(t-1)MSE=SE/fE總和STfE=rst-12023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組70

例7.3某公司想將橡膠、塑料和軟木的板材沖壓成密封墊片出售。市場(chǎng)上有兩種不同型號(hào)的沖壓機(jī)可供選擇。為了能對(duì)沖壓機(jī)每小時(shí)所生產(chǎn)的墊片數(shù)進(jìn)行比較，并確定哪種機(jī)器使用何種材料生產(chǎn)墊片的能力更強(qiáng)，該公司使用每臺(tái)機(jī)器對(duì)每一種材料分別運(yùn)行三段時(shí)間，得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)（每小時(shí)生產(chǎn)的墊片數(shù)）如表7-16所示，試運(yùn)用方差分析確定最優(yōu)方案。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組71表7.17墊片材料和沖壓機(jī)的數(shù)據(jù)資料單位：千個(gè)

墊片材料沖壓機(jī)橡膠B1塑料B2軟木B3A13.364.014.313.423.944.273.483.894.4A23.913.483.943.83.533.813.853.423.992023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組72解：建立假設(shè)：

H01:σ1=σ2=…=σr=0 H02:1=2=…=s=0 H03:γ11=γ12=…=γrs=0

(2)計(jì)算相應(yīng)的均值和平方和：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組73

表7.18結(jié)構(gòu)均值表2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組74j=1j=2j=3i=13.8978i=2

=3.47673.63673.71174.12

=3.42

=3.9467

=4.3267

=3.8533

=3.9133(3)列方差分析表（7-19）表7.19方差分析表方差來(lái)源方差S自由度f(wàn)均方MSF值因素ASA=0.10125fA=1MSA=0.10125FA=MSA/MSE=23.01因素BSB=0.8118fB=2MSB=0.4059FB=MSB/MSE=92.25因素A*BSA*B=0.768fA*B=2MSA*B=0.389FA*B=MSA*B/MSE=88.41誤差SE=0.05273fE=12MSE=0.0044總和ST=1.734fE=172023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組75(4)統(tǒng)計(jì)決策 由于FA=23.01>F0.05(2,12)=3.89,FB=92.25>F0.05(2,12)=3.89,FA*B=88.41>F0.05(2,12)=3.89

說(shuō)明不僅沖壓機(jī)的型號(hào)和墊片材料對(duì)墊片數(shù)量有顯著影響，而且其交互作用也是顯著的。 由結(jié)構(gòu)均值表可知，在沖壓機(jī)中,第一種的均值較大；墊片材料中,木的均值較大，故最優(yōu)方案是A1B3。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組76

以例7.3為例，將數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表的區(qū)域?yàn)锽2:D7，沖壓機(jī)的二個(gè)水平A1、A2在第一列，墊片材料的水平B1、B2、B3在第一行。再按以下步驟進(jìn)行：(1)點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)分析項(xiàng)。(2)分析工具框中連擊“方差分析：可重復(fù)雙因素方差分析”。(3)在對(duì)話框的“數(shù)據(jù)區(qū)域”框中鍵入A1:D7；在“每一樣本的行數(shù)”框中鍵入3。 在框中保持=0.05不變（也可根據(jù)需要變?yōu)?.01）； 在“輸出選項(xiàng)”中鍵入空白地方，如F2； 選擇“確定”，輸出結(jié)果如表7-20所示：2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組77有交互作用的雙因素方差分析中的Excel應(yīng)用7-20有重復(fù)雙因素方差分析結(jié)果SUMMARY橡膠B1塑料B2軟木B3總計(jì)A1

觀測(cè)數(shù)3339求和10.2611.8412.9835.08平均3.423.9466674.3266673.897778方差0.00360.0036330.0044330.158394A2

觀測(cè)數(shù)3339求和11.5610.4311.7433.73平均3.8533333.4766673.9133333.747778方差0.0030330.0030330.0086330.045694總計(jì)

觀測(cè)數(shù)666求和21.8222.2724.72平均3.6366673.7116674.12方差0.0589870.0689370.05648方差分析差異源SSdfMSFP-valueFcrit樣本0.1012510.1012523.040460.0004344.747225列0.81194420.40597292.383065.15E-083.885294交互0.76803320.38401787.386857.03E-083.885294內(nèi)部0.052733120.004394總計(jì)1.73396117

由表7-20于檢驗(yàn)行因素沖壓機(jī)A（Excel表中為“樣本”）、用于檢驗(yàn)列因素墊片材料B、用于檢驗(yàn)沖壓機(jī)A和墊片材料B交互作用A*B的p值均小于0.05，故不僅因素A和B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，而且其交互作用也是顯著的。由于A1的試驗(yàn)指標(biāo)均值大于A2的試驗(yàn)指標(biāo)均值，B3的試驗(yàn)指標(biāo)均值大于B1和B2的試驗(yàn)指標(biāo)均值，故最優(yōu)方案應(yīng)為A1B3，買(mǎi)第一種型號(hào)的沖壓機(jī)、采用軟木材料，這種組合的單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的墊片最多。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組79一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的概念和設(shè)計(jì)原則試驗(yàn)設(shè)計(jì)有三個(gè)基本原則：重復(fù)性、隨機(jī)化和區(qū)組化。(1)重復(fù)性原則：重復(fù)性是指對(duì)一項(xiàng)試驗(yàn)要在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行若干次。只有進(jìn)行多次的試驗(yàn)，才能掌握其規(guī)律性。(2)隨機(jī)化原則：隨機(jī)化是指試驗(yàn)材料和試驗(yàn)地點(diǎn)都要隨機(jī)地確定。這樣進(jìn)行試驗(yàn)得出的結(jié)論才具有客觀性和普遍性，且每次進(jìn)行的試驗(yàn)都可認(rèn)為是相互獨(dú)立的。(3)區(qū)組化原則：一組試驗(yàn)，試驗(yàn)者總希望在相同或近似相同的條件下進(jìn)行，以便在相互比較中得出正確的結(jié)論。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組80第四節(jié)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步第一、盡量減少試驗(yàn)誤差。在試驗(yàn)時(shí)，要盡可能使對(duì)試驗(yàn)產(chǎn)生影響的其他因素達(dá)到理論中要求的精確程度，這樣我們?cè)趯?duì)目的指標(biāo)進(jìn)行測(cè)算時(shí)才能達(dá)到較為客觀的結(jié)果。在一項(xiàng)試驗(yàn)中誤差是必然存在的，我們的目的就是要盡量減少該誤差。第二、盡量減少試驗(yàn)次數(shù)。試驗(yàn)的次數(shù)越多，進(jìn)行試驗(yàn)所耗費(fèi)的人力、物力也就會(huì)相應(yīng)地增多，最佳的試驗(yàn)就是用盡可能少的費(fèi)用來(lái)獲得最有效的試驗(yàn)結(jié)果。第三、所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)要便于對(duì)指標(biāo)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。影響一個(gè)事件的指標(biāo)是多樣的，在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)要選擇比較容易測(cè)算且對(duì)事件影響較大的指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組81在安排試驗(yàn)時(shí)需要注意三點(diǎn)：

在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素通常有很多個(gè)，要考察它們就涉及多因子的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題。多因子試驗(yàn)中一個(gè)很困難的問(wèn)題就是因子數(shù)較多，而又需要進(jìn)行多次的試驗(yàn)。例如，有10個(gè)因子對(duì)某一指標(biāo)有顯著影響，而每個(gè)因子取兩個(gè)水平進(jìn)行比較，那么就有210=1024個(gè)不同的水平組合，即每個(gè)水平組合作一次試驗(yàn)，就需要進(jìn)行1024次試驗(yàn)，耗費(fèi)的人力、財(cái)力可想而知，這在實(shí)際中是不可行的。因此，需要按照一定的方法從中選擇一部分進(jìn)行試驗(yàn)。常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、參數(shù)設(shè)計(jì)法、回歸設(shè)計(jì)法、均勻設(shè)計(jì)法、混料設(shè)計(jì)法等。限于篇幅，這里僅介紹正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，其他方法請(qǐng)讀者自行閱讀試驗(yàn)設(shè)計(jì)的有關(guān)書(shū)籍。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組82

在多因子試驗(yàn)中，各因子又有不同的水平數(shù)，我們的目的是要從這些因子不同的水平組合中，找出一組或幾組組合使所要求的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。下面以一個(gè)二因子的例子來(lái)具體認(rèn)識(shí)一下多因子試驗(yàn)問(wèn)題。例7.4為提高合金鋼的強(qiáng)度，同時(shí)考慮碳(C)含量(因子)及鈦(Ti)與鋁(AL)的含量(因子)對(duì)強(qiáng)度Y的影響，希望找出最佳的含量組合，使強(qiáng)度Y達(dá)到最大（表7-21）。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組83二、多因子試驗(yàn)問(wèn)題2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組84表7-21合金鋼的試驗(yàn)數(shù)據(jù)2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組85

一個(gè)因子的水平好壞或好壞的程度受另一個(gè)因子水平制約的情況，稱(chēng)為因子A和B的交互作用，記作或AB。因子A和B的交互作用可以用圖形較為直觀地表示。

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組86三、交互作用2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組87

因子間的交互作用會(huì)隨著因子個(gè)數(shù)的增加而增加。如四個(gè)因子A，B，C，D間的交互作用有以下幾類(lèi)：(1)二級(jí)交互作用有6個(gè)：AB，

AC，

AD，

BC，

BD，

CD；(2)三級(jí)交互作用有4個(gè)：ABC，

ABD，

ACD，

BCD；(3)四級(jí)交互作用有1個(gè)：ABCD。交互作用共有11個(gè)，比因子個(gè)數(shù)還多。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，多數(shù)交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不計(jì)的，一般我們主要考慮部分二級(jí)交互作用，但具體考察哪些二級(jí)交互作用還要根據(jù)下面的方法來(lái)決定。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組88

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法是利用正交表科學(xué)地挑選試驗(yàn)條件，合理安排試驗(yàn)的方法，是研究與處理多因素試驗(yàn)的一種科學(xué)方法。正交設(shè)計(jì)有兩個(gè)重要的特點(diǎn)：（1）任意一對(duì)因子（也稱(chēng)因素）的任一水平組合必在試驗(yàn)中出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相同；（2）總試驗(yàn)次數(shù)比全面試驗(yàn)（所有因子的任一水平組合都進(jìn)行搭配）要少許多次。例如，對(duì)7個(gè)二水平因子進(jìn)行全面試驗(yàn)要進(jìn)行27=128次，而用正交表安排試驗(yàn)只需要作8次。用正交表合理地安排試驗(yàn)，可以做到省時(shí)、省力、省錢(qián)，還能得到令人滿意的檢驗(yàn)效果，因此這種方法在改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量、研究采用新工藝、試制新產(chǎn)品、了解設(shè)備工藝性能以及改進(jìn)技術(shù)管理等方面都有廣泛的應(yīng)用。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組89四、正交表及其類(lèi)型

正交表是正交設(shè)計(jì)的工具，是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)理論在正交拉丁方的基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種規(guī)格化表格，符號(hào)為：其中，L為正交表符號(hào)；

n為正交表的行數(shù)(試驗(yàn)次數(shù)，試驗(yàn)方案數(shù))；

j為正交表中每一列因子的水平個(gè)數(shù)；

i為正交表的列數(shù)(試驗(yàn)因子的個(gè)數(shù))。

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組901．正交表及其特性

例如，表示一張8行7列，每列有兩個(gè)水平的正交表（表7-22），它表示在這個(gè)試驗(yàn)中，要作8次不同條件的試驗(yàn)，共有7個(gè)影響因素，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，我們稱(chēng)這張表為兩水平的正交表。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組912023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組92

正交表具有正交性，這是指它有如下兩個(gè)特征：（1）每列中不同的數(shù)字重復(fù)的次數(shù)相同。在表7.22中，每列有兩個(gè)不同的數(shù)字：1，2，每一個(gè)各出現(xiàn)4次。（2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么任意可能數(shù)對(duì)重復(fù)的次數(shù)相等。在

中，任意兩列有4種可能數(shù)對(duì)：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，每一對(duì)各出現(xiàn)2次。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組932023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組942．正交表的分類(lèi)正交表安排試驗(yàn)的步驟如下：（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考察的試驗(yàn)指標(biāo)。（2）確定要考察的因子和因子的水平。（3）選用合格的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。（4）根據(jù)試驗(yàn)號(hào)的安排進(jìn)行試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)指標(biāo)的具體數(shù)據(jù)。（5）數(shù)據(jù)分析。對(duì)一個(gè)正交表形式的試驗(yàn)設(shè)計(jì)通常有三種分析方法：一是用極差分析各因子對(duì)指標(biāo)影響程度的大小，這是一種較為簡(jiǎn)單的直觀分析方法；二是用方差分析進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；三是貢獻(xiàn)率分析法。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組95五、無(wú)交互作用情況下的設(shè)計(jì)例7.5某化工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的收率較低，為此希望通過(guò)試驗(yàn)提高收率。在試驗(yàn)中考察如下三個(gè)因子三個(gè)水平（表7-23）：表7-23因子水平表

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組96解由于所考察的因子是三水平的，因此選用三水平正交表，又現(xiàn)在只考察三個(gè)因子，故選擇安排試驗(yàn)。選定了正交表后把因子放在正交表的列上去，稱(chēng)為表頭設(shè)計(jì)。在例7.5中將三個(gè)因子置于前三列，將它寫(xiě)成如下的表頭設(shè)計(jì)形式：

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組97九次試驗(yàn)的結(jié)果——收率(%)分別是：516158726959878584(一)用極差分析各因子對(duì)指標(biāo)影響程度的大小1．用直觀分析表對(duì)該試驗(yàn)進(jìn)行分析為方便起見(jiàn)，把試驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)在正交表的右邊一列上，并分別用表示，所有計(jì)算可以在表上進(jìn)行。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組98

首先來(lái)看第一列，該列中的1，2，3分別表示因子的三個(gè)水平，按水平號(hào)將數(shù)據(jù)分為三組：“1”對(duì)應(yīng)，“2”對(duì)應(yīng)，“3”對(duì)應(yīng)。在第二列，該列中的1，2，3分別表示因子B的三個(gè)水平，按水平號(hào)將數(shù)據(jù)分為三組：“1”對(duì)應(yīng)，“2”對(duì)應(yīng)，“3”對(duì)應(yīng)。同理我們可以從圖中得到第三列的情況。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組99

分別對(duì)每一列每個(gè)水平的數(shù)據(jù)進(jìn)行相加，得到這個(gè)水平下該因子對(duì)應(yīng)指標(biāo)值的和，例如，2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組100

同理我們可以得到對(duì)應(yīng)C水平的T1，T2，T3的值，用每個(gè)水平得出的Ti的值去除以3就得到其均值。由以上計(jì)算可知，每個(gè)因子下間的差異反映了這個(gè)因子三個(gè)水平間的差異；分別對(duì)三個(gè)因子的各個(gè)水平進(jìn)行數(shù)值大小比較：因子A的三個(gè)水平均值差異較大，其第三個(gè)水平的均值最大，故因子A的三水平最好。對(duì)第二、三列進(jìn)行類(lèi)似地分析，可知因子B的第二個(gè)水平好，因子C的第二個(gè)水平好。

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組101對(duì)第四列也可以進(jìn)行上述分析，按其中的1，2，3分別將數(shù)據(jù)分為三組，但三組的水平組合相同，因此該列僅反映誤差。綜上可知，使指標(biāo)達(dá)到最佳的水平組合是，即反應(yīng)溫度為90度、加堿量為48公斤、選取乙類(lèi)催化劑可以使轉(zhuǎn)化率達(dá)到最大。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組102

一個(gè)因子的極差是該因子各水平均值的最大值與最小值之差，如果該值大，則說(shuō)明改變這一因子的水平會(huì)對(duì)指標(biāo)造成較大的變化，所以該因子對(duì)指標(biāo)的影響大，反之，則影響小。極差最大的列所對(duì)應(yīng)的因子是最主要因子。當(dāng)要求指標(biāo)愈高愈好時(shí)，可選R行中最大者，所對(duì)應(yīng)的水平為優(yōu)水平；當(dāng)要求指標(biāo)愈低愈好時(shí)，可選R行中最小者其所對(duì)應(yīng)的水平為優(yōu)水平。2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1032．用極差分析各因子對(duì)指標(biāo)影響程度的大小在例7.5中各個(gè)因子的極差分別是：它們被置于表7-24的最下方一行。從三個(gè)因子的極差可知因子A的影響最大，其次是C，而因子B的影響則最小，通常記為

2023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組1042023/2/4版權(quán)所有BY統(tǒng)計(jì)學(xué)課程組105表7-24例7.5的直觀分析計(jì)算表

用方差分析方法來(lái)說(shuō)明影響指標(biāo)的因子的分析步驟如下：1．建