2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1。2.3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(一)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1。理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。2。理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：設(shè)兩個(gè)函數(shù)分別為f(x）和g(x),(1）[f(x）±g(x)]′＝f′（x）±g′(x)；（2）[f(x)·g（x）］′＝f′(x)g(x)＋f（x）g′(x）；（3）［eq\f（fx,gx)］′＝eq\f（f′xgx－fxg′x，g2x）（g（x）≠0)．[情境導(dǎo)學(xué)]前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．對于由四則運(yùn)算符號連接的兩個(gè)或兩個(gè)以上基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何求,正是本節(jié)要研究的問題．探究點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則思考1我們已經(jīng)會(huì)求f(x)＝5和g（x)＝1。05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么怎樣求f(x)與g（x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)？答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．思考2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)有哪些注意點(diǎn)？答（1）要準(zhǔn)確判斷函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合適的公式和法則；（2）求導(dǎo)前可以先對解析式適當(dāng)化簡變形，以利于求導(dǎo);（3）在兩個(gè)函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中，不要出現(xiàn)［f（x)·g(x)］′＝f′（x)·g′（x）以及eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(fx,gx)))′＝eq\f（f′x，g′x）的錯(cuò)誤;(4）注意區(qū)分兩個(gè)函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的異同,積的導(dǎo)數(shù)公式中是“＋”，而商的導(dǎo)數(shù)公式中分子上是“－"；（5)要注意區(qū)分參數(shù)與變量，例如［a·g(x)]′＝a·g′（x），運(yùn)用公式時(shí)要注意a′＝0.例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝x3－2x＋3；（2）y＝(x2＋1）（x－1);（3)y＝3x－lgx.解（1）y′＝（x3)′－(2x）′＋3′＝3x2－2。（2）∵y＝（x2＋1）（x－1)＝x3－x2＋x－1∴y′＝（x3)′－(x2）′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.（3）函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f(x)＝3x與函數(shù)g(x）＝lgx的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′（x)＝3xln3，g′（x)＝eq\f(1，xln10），利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得（3x－lgx）′＝f′(x）－g′(x）＝3xln3－eq\f(1,xln10).反思與感悟本題是基本函數(shù)和(差）的求導(dǎo)問題，求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）y＝eq\f(\r（x5)＋\r(x7）＋\r（x9),\r（x)）;(2)f（x）＝2－2sin2eq\f（x，2)。解（1）∵y＝eq\f(\r(x5）＋\r(x7）＋\r（x9）,\r(x))＝x2＋x3＋x4,∴y′＝（x2）′＋(x3)′＋（x4)′＝2x＋3x2＋4x3.(2)∵f(x）＝2－2sin2eq\f(x，2)＝1＋cosx,∴f′(x）＝－sinx。例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）f(x）＝x·tanx；(2)f（x）＝eq\f（x－1,x＋1）.解（1）f′（x)＝(x·tanx)′＝(eq\f(xsinx，cosx))′＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f（sinx＋xcosxcosx＋xsin2x，cos2x）＝eq\f（sinxcosx＋x,cos2x）.（2)∵f(x）＝eq\f（x－1,x＋1)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f（2，x＋1)，∴f′（x）＝(1－eq\f（2,x＋1)）′＝（－eq\f（2,x＋1）)′＝－eq\f(2′x＋1－2x＋1′，x＋12）＝eq\f（2,x＋12).反思與感悟本題是基本函數(shù)積（商）的求導(dǎo)問題，對于不屬于基本函數(shù)的函數(shù)通過變形轉(zhuǎn)化成基本初等函數(shù)，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝x(1＋eq\f(2,x)＋eq\f(2,x2));（2）y＝1＋sineq\f（x，2）coseq\f(x,2）；(3)y＝(eq\r（x）＋1)(eq\f(1,\r(x)）－1)．解（1)y＝x（1＋eq\f（2，x)＋eq\f（2，x2)）＝x＋2＋eq\f(2，x),∴y′＝1－eq\f(2，x2）。（2)y＝1＋sineq\f（x,2)coseq\f（x,2）＝1＋eq\f（1,2）sinx，∴y′＝eq\f（1,2）cosx。（3）∵y＝(eq\r（x)＋1)（eq\f(1,\r(x))－1)＝－eq\r（x）＋eq\f（1,\r（x））,∴y′＝(－eq\r（x）)′＋(eq\f(1，\r(x)）)′＝＝－eq\f(1,2\r(x）)（1＋eq\f（1,x）)．探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3(1）曲線y＝xex＋2x＋1在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為________________．答案3x－y＋1＝0解析y′＝ex＋xex＋2,則曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線的斜率為k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切線方程為y－1＝3x,即3x－y＋1＝0。（2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內(nèi),已知曲線C在點(diǎn)P處的切線斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案(－2，15）解析設(shè)P(x0，y0）(x0<0)，由題意知，k＝3xeq\o\al（2，0）－10＝2，∴xeq\o\al（2,0）＝4?！鄕0＝－2,∴y0＝15.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，15）．（3）已知某運(yùn)動(dòng)著的物體的運(yùn)動(dòng)方程為s（t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2(位移單位:m,時(shí)間單位:s)，求t＝3s時(shí)物體的瞬時(shí)速度．解∵s(t)＝eq\f(t－1，t2)＋2t2＝eq\f（t,t2)－eq\f（1,t2）＋2t2＝eq\f(1，t)－eq\f(1,t2）＋2t2，∴s′(t）＝－eq\f(1，t2）＋2·eq\f(1,t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1，9)＋eq\f（2,27)＋12＝eq\f（323，27),即物體在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\f(323，27)m/s.反思與感悟本題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)一步強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義：函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y＝f（x)在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率,即k＝f′（x0);瞬時(shí)速度是位移函數(shù)s(t）對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即v＝s′(t0)．跟蹤訓(xùn)練3求滿足下列條件的f（x）的解析式：（1)f（x)是三次函數(shù),且f（0)＝3，f′（0)＝0，f′（1）＝－3，f′（2)＝0；（2）f′（x）是一次函數(shù)，x2f′(x）－（2x－1)f（x）＝1。解(1)依題意，可設(shè)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0），則f′(x）＝3ax2＋2bx＋c.由f(0)＝3，得d＝3,由f′（0)＝0,得c＝0.由f′(1）＝－3，f′（2）＝0，可建立方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝－3，,12a＋4b＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝－3，))∴f(x)＝x3－3x2＋3。（2）由f′（x)為一次函數(shù)，知f（x)為二次函數(shù)．設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0),則f′(x)＝2ax＋b。將f（x），f′（x）代入方程得x2（2ax＋b)－(2x－1）(ax2＋bx＋c）＝1，即（a－b）x2＋(b－2c)x＋c－1＝0。要使方程對任意x都成立,則需要a＝b，b＝2c，c＝1.解得a＝2，b＝2,c＝1.∴f（x)＝2x2＋2x＋1。1．設(shè)y＝－2exsinx，則y′等于（）A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex（sinx＋cosx）．2．函數(shù)y＝eq\f(cosx，1－x）的導(dǎo)數(shù)是（)A。eq\f(－sinx＋xsinx,1－x2） B。eq\f(xsinx－sinx－cosx，1－x2）C。eq\f(cosx－sinx＋xsinx，1－x2） D。eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(cosx,1－x）)）′＝eq\f（－sinx1－x－cosx·－1，1－x2)＝eq\f（cosx－sinx＋xsinx，1－x2)。3．已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1)＝4，則a的值是（)A.eq\f(19,3）B。eq\f（16，3）C。eq\f(13，3）D.eq\f(10,3）答案D解析∵f′（x)＝3ax2＋6x，∴f′（－1)＝3a－6＝4,∴a＝eq\f(10，3).4．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)(1,1），且在點(diǎn)（2，－1）處與直線y＝x－3相切,求a、b、c的值．解因?yàn)閥＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)(1,1）,所以a＋b＋c＝1。因?yàn)閥′＝2ax＋b,所以曲線在點(diǎn)(2，－1）處的切線的斜率為4a＋b＝1。又曲線過點(diǎn)（2，－1）,所以4a＋2b＋c＝－1。 由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋b＋c＝1，,4a＋b＝1，，4a＋2b＋c＝－1,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝3,，b＝－11，,c＝9。）)所以a、b、c的值分別為3、－11、9.［呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律］求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確