第五章極限定理

第五章極限定理隨機(jī)變量的大數(shù)定律體現(xiàn)了n個(gè)隨機(jī)變量的平均值的一種穩(wěn)定性。即如果大量地重復(fù)觀察一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，它將體現(xiàn)出某些規(guī)律。中心極限定理主要研究n個(gè)隨機(jī)變量之和在什么條件下當(dāng)時(shí)極限會(huì)服從正態(tài)分布。

定義5.1.1：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，若對(duì)每一個(gè)都是相互獨(dú)立的,則稱是相互獨(dú)立的.

第一節(jié)大數(shù)定律

1.大數(shù)定律的定義定義5.1.2：設(shè)為一隨機(jī)變量序列，存在，令如果對(duì)任意的，有

則稱服從大數(shù)定律。定理5.1.1(切比雪夫大數(shù)定理)假設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn，…相互獨(dú)立，并具有相同的期望和方差：則對(duì)于任意的正數(shù)

＞0，有

即，相同期望與方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列算術(shù)平均的極限是它們共同的數(shù)學(xué)期望定理5.1.2(伯努里大數(shù)定理)假設(shè)隨機(jī)事件A

在一次試驗(yàn)中發(fā)生概率是p，以nA

記n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)里A

發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)于任意的正數(shù)

＞0都有：伯努利定理說(shuō)明概率可以利用頻率來(lái)近似，它是“概率的頻率定義”的理論基礎(chǔ)。lim

n→∞P

{|—–p

|<

}=1

nA

n為什么頻率的極限是概率證明.定理的證明根據(jù)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)以及切比雪夫不等式完成。由于X1，X2，…是具有相同期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，根據(jù)Xn

的定義顯然有：

E

Xn

=,DXn

=—;

因此利用切比雪夫不等式，

P

(|Xn–

|≤

)≥1–——

1?！?/p>

2

n

2n2

例5.1.3:設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，記若每個(gè)，問(wèn)在當(dāng)時(shí)依概率收斂于何值？寫出極限表達(dá)式

定義5.1.4：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，若對(duì)任意，有

則稱依概率收斂于a,記為。其等價(jià)形式可表為

記為依概率收斂的定義第二節(jié)中心極限定理

定理5.2.1(林德伯格-萊維定理或獨(dú)立同分布的中心極限定理)

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，同分布，且具有期望和方差：，則當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，也就是其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)。注：標(biāo)準(zhǔn)化部分和(規(guī)范和)對(duì)隨機(jī)變量序列X1，X2，…，定義部分和序列

Sn

=X1+X2+…+Xn

，則它的標(biāo)準(zhǔn)化部分和序列是指標(biāo)準(zhǔn)化部分和的期望是0，方差是1。

例5.2.1:P143例5.2

定理5.2.2(棣莫佛-拉普拉斯定理)

設(shè)隨機(jī)變量服從B(n,p),

則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,成立

其中：q=1-p

注：由于的分布近似于N(0,1)正態(tài)分布從而的分布近似于N(np,npq)分布，由于

服從二項(xiàng)分布B(n,p)，所以上述斷言也稱為二項(xiàng)分布的正態(tài)近似。而式(1)稱為二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布，它有助于計(jì)算出二項(xiàng)分布隨機(jī)變量落入某范圍內(nèi)的概率的近似值。

例5.2.2：設(shè)某車間有400臺(tái)同類型的機(jī)器，每臺(tái)的電功率均為Q千瓦.設(shè)每臺(tái)機(jī)器開動(dòng)時(shí)間為總工作時(shí)間的3/4且每臺(tái)機(jī)器的開與停是相互獨(dú)立的.為了保證以0.99的概率有足夠的電力，問(wèn)車間應(yīng)供應(yīng)多大的電功率？

例5.2.3:某市保險(xiǎn)公司開辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，被保險(xiǎn)人每年需交付保險(xiǎn)費(fèi)160元，若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，其本人或家屬可獲2萬(wàn)元賠金。已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)在5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn)，問(wèn)保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此業(yè)務(wù)所得的總收益在20萬(wàn)到40萬(wàn)之間的概率是多少？

如何理解大數(shù)定律與中心極限定理①大數(shù)定律與中心極限定理討論的都是隨機(jī)變量序列部分和的極限問(wèn)題②大數(shù)定律說(shuō)明，在一定的條件下部分和Sn的算術(shù)平均的極限是一個(gè)常數(shù)(共同的期望)。中心極限定理說(shuō)明，在一定的條件下部分和

Sn的極限分布是正態(tài)分布(標(biāo)準(zhǔn)化部分和的

極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)。

③考慮獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，…，Xn，

定義這些隨機(jī)變量的平均序列

Yn

=—————

X1+…+Xn

n大數(shù)定律只能告訴我們平均序列的極限是多少，而中心極限定理還可以給出平均序列與這個(gè)極限的偏差有多大。例如，獨(dú)立地拋擲一枚均勻骰子，以Xk

記第k

次拋擲出來(lái)的點(diǎn)數(shù)。n

次拋擲的平均點(diǎn)數(shù)：

Yn

=—————

X1+…+Xn

n

因?yàn)閄k

的期望是3.5，方差35/12，當(dāng)n

很大(即拋擲次數(shù)足夠多)時(shí)，從大數(shù)定律我們知道平均點(diǎn)數(shù)Yn很接近3.5，或者是n

次拋擲的點(diǎn)數(shù)總和Sn

=n

Yn

很接近3.5n。而中心極限定理的含義是：|Sn

–3.5n|≤x(35n/12)0.5

的概率接近2(x)–1取n=1000、x=1，則我們可以肯定點(diǎn)數(shù)總和在3450~3550之間的概率大約是0.68，如果x=0.6744，則1000次拋擲的點(diǎn)數(shù)總和在區(qū)間3500±36之內(nèi)與在這個(gè)區(qū)間之外的可能大致相等。

④

“極限”的含義不同大數(shù)定律里的極限是指概率意義上的極限，