第四章-環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)方法

第四章環(huán)境規(guī)劃與管理的

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二節(jié)最優(yōu)化分析方法第三節(jié)常用決策分析方法第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法一、數(shù)據(jù)的表示方法列法表：將數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對(duì)應(yīng)起來，它通常是整理數(shù)據(jù)的第一步，能為標(biāo)繪曲線圖或整理成數(shù)學(xué)公式打下基礎(chǔ)。圖示法：將數(shù)據(jù)用圖形表示出來，它能用更加直觀和形象的形式將復(fù)雜的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來，可以直觀地看出數(shù)據(jù)變化的特征和規(guī)律，為后一步數(shù)學(xué)模型的建立提供依據(jù)。插值法計(jì)算數(shù)值。1.列表法例:研究電阻的阻值與溫度的關(guān)系時(shí)，測(cè)試結(jié)果如下：測(cè)量序號(hào)溫度(t)/℃電阻(R)/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．672.圖示法圖示法的第一步就是按列表法的要求列出因變量y與自變量x相對(duì)應(yīng)的yi與xi數(shù)據(jù)表格。作曲線圖時(shí)必須依據(jù)一定的法則，只有遵守這些法則，才能得到與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)位置偏差最小而光滑的曲線圖形。坐標(biāo)紙的選擇：常用的坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，包括笛卡爾坐標(biāo)系（又稱普通直角坐標(biāo)系）、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系和對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。篩下累計(jì)頻率（Fi）粒徑（dp）/μm3.插值法計(jì)算數(shù)值例：用分光光度法測(cè)定溶液中鐵的含量,測(cè)得標(biāo)準(zhǔn)曲線數(shù)據(jù)如下：Fe濃度/（μg·mL-1）24681012吸光度（A）0.0970.2000.3040.4080.5100.613測(cè)得未知液的吸光度為0.413，試求未知液中鐵的含量。（1）作圖插值法

在圖的縱坐標(biāo)上0.413處找到直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)，讀出其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)數(shù)值8.122即為未知液中鐵的含量。此式即為比例法內(nèi)插公式，從圖上可看出，因?yàn)橛脃c代替了yd，產(chǎn)生了的誤差。（2）比例法所以（3）牛頓內(nèi)插公式

一般的非線性函數(shù)都可以展開為多項(xiàng)式:例：制作y=2+x+x3

的差分表。表中△y表示y的依次差值，△2y表示y的差值的差值，以此類推。xy△y△2y△3y△4y02

142

21286

33220126

47038186051326224606224923060

在上面的例子中，x的差值為1，實(shí)際上x的差值可以為任意恒量，令此恒量為h，做出差分表的通式。xy△y△2y△3y△4yaa+ha+2ha+3h

a+4h...yaya+hya+2hya+3hya+4h...△ya△ya+h△ya+2h△ya+3h...△2ya△2ya+h△2ya+2h...△3ya△3ya+h...△4ya...表中：△ya=ya+h-ya△2ya=△ya+h-△ya△3ya=△2ya+h-△2ya△4ya=△3ya+h-△3ya……可以推得：△nya=△n-1ya+h-△n-1ya（二）數(shù)據(jù)特征

數(shù)據(jù)特征是對(duì)環(huán)境總體狀況進(jìn)行估計(jì)判斷的基礎(chǔ)，是認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)理論特性的基本出發(fā)點(diǎn)，通常可分為以下三類：位置特征數(shù):表示數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)或刻畫頻數(shù)分布圖中心位置的特征數(shù)；離散特征數(shù):用來描述數(shù)據(jù)分散程度；分布形態(tài)特征數(shù):刻劃了根據(jù)所獲數(shù)據(jù)繪制的分布曲線圖的形態(tài)。1.位置特征數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)：式中：x1，x2，…，xn為樣本個(gè)體數(shù)據(jù)，n為樣本個(gè)數(shù)。（2）加權(quán)平均數(shù)：如果樣本個(gè)體數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn取值因頻數(shù)不同或?qū)傮w重要性有所差別，則常采取加權(quán)平均方法。式中：wi是個(gè)體數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)，或是因該個(gè)體對(duì)樣本貢獻(xiàn)不同而取的不同的數(shù)值。

（4）調(diào)和平均數(shù)：（3）幾何平均數(shù)：（5）中位數(shù)

環(huán)境數(shù)據(jù)有時(shí)顯得比較分散，甚至個(gè)別的數(shù)據(jù)離群偏遠(yuǎn)，難以判斷去留，這時(shí)往往用到中位數(shù)。樣本數(shù)據(jù)依次排列（從大到小或者從小到大），居中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)為正中兩個(gè)數(shù)的平均值。只有當(dāng)數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)才代表這組數(shù)據(jù)的中心趨向，近似于真值。環(huán)境統(tǒng)計(jì)中常常用到幾何平均數(shù)。不同的平均值都有各自適用場(chǎng)合，選擇的平均數(shù)指標(biāo)應(yīng)能反映數(shù)據(jù)典型水平，并非隨意采用。幾何平均直徑:（1）級(jí)差（全距）：

（2）差方和，樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差差方和：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：（3）變異系數(shù)：2.離散特征數(shù)

3.分布形態(tài)特征數(shù)

刻劃數(shù)據(jù)分布形態(tài)的特征數(shù)有兩個(gè)：偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)。（1）偏態(tài)系數(shù)

主要描述數(shù)據(jù)頻率分布對(duì)稱特征，反映數(shù)據(jù)是對(duì)稱分布或偏向某方向。（2）峰態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)描述數(shù)據(jù)分布陡峭程度。式中：s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。二、異常數(shù)據(jù)的剔除

在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)候，我們常常會(huì)遇到個(gè)別數(shù)據(jù)偏離預(yù)期或大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)果的情況，如果我們把這些數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)放在一起進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可能會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性，如果把這些數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單地剔除，又可能忽略了重要的實(shí)驗(yàn)信息。這里重要的問題是如何判斷異常數(shù)據(jù)，然后將其剔除。判斷和剔除異常數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理中的一項(xiàng)重要任務(wù)，目前的一些方法還不是十分完善，有待進(jìn)一步研究和探索。

目前人們對(duì)異常數(shù)據(jù)的判別與剔除主要采用物理判別法和統(tǒng)計(jì)判別法兩種方法。物理判別法就是根據(jù)人們對(duì)客觀事物已有的認(rèn)識(shí)，判別由于外界干擾、人為誤差等原因造成實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)偏離正常結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)過程中隨時(shí)判斷，隨時(shí)剔除。統(tǒng)計(jì)判別法是給定一個(gè)置信概率，并確定一個(gè)置信限，凡超過此限的誤差，就認(rèn)為它不屬于隨機(jī)誤差范圍，將其視為異常數(shù)據(jù)剔除。

剔除異常數(shù)據(jù)實(shí)質(zhì)上是區(qū)別異常數(shù)據(jù)由偶然誤差還是系統(tǒng)誤差造成的問題。若是人為因素的偶然誤差就應(yīng)剔除，如果沒有足夠的理由證實(shí)是偶然過失造成的時(shí)候，應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，采用一定的檢驗(yàn)方法來決定取舍。本節(jié)著重介紹統(tǒng)計(jì)判別法。1.拉依達(dá)準(zhǔn)則

則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，至于選擇3s還是2s與顯著性水平α有關(guān)，顯著性水平α表示的是檢驗(yàn)出錯(cuò)的幾率為α，或檢驗(yàn)的可置信度為1－α。3s相當(dāng)于顯著水平＝0.01，2s相當(dāng)于顯著水平＝0.05。

若可疑數(shù)據(jù)xp與樣本數(shù)據(jù)之算術(shù)平均值的偏差的絕對(duì)值大于3倍（或2倍）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：2.格拉布斯準(zhǔn)則

用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)xp時(shí)，選取一定的顯著性水平α，若：

則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，稱為格拉布斯檢驗(yàn)臨界值，可查相關(guān)表格得到。

以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當(dāng)數(shù)據(jù)偏離正態(tài)分布,特別是測(cè)量次數(shù)很少時(shí)，則判斷的可靠性就差。因此，對(duì)粗大誤差除用剔除準(zhǔn)則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心。另外,要保證測(cè)量條件穩(wěn)定，防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。3.狄克遜（dixon）法

狄克遜法是采用極差比的方法，經(jīng)嚴(yán)密推算和簡(jiǎn)化而得到的準(zhǔn)則。

狄克遜研究了n次測(cè)量結(jié)果，按其數(shù)值大小排列成如下次序：x(1)≤x(2)≤…≤x(n)

當(dāng)xi服從正態(tài)分布時(shí)，用不同的公式求得下表中的f值，再經(jīng)過查表，得到相應(yīng)的臨界值，進(jìn)行比較,若計(jì)算值>f(n,α)視為異常值，舍棄；再對(duì)剩余數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，直到?jīng)]有異常值為止。狄克遜通過模擬實(shí)驗(yàn)認(rèn)為：n≤7，使用f10；8≤n≤10，用f11；11≤n≤13，用f21；n≥14，用f22效果好。nf(n,α)f的計(jì)算公式α=0.01α=0.05x(1)可以時(shí)可以時(shí)30.9880.94140.8890.76550.7800.64260.6980.56070.6370.50780.6830.55490.6350.512100.5970.447110.6790.576120.6420.546130.6150.521140.6410.546150.6160.525160.5950.507170.5770.490180.5610.475190.5470.462200.5350.450210.5240.440220.5140.430230.5050.421240.4970.413250.4890.406例題

用狄克遜法判斷下列測(cè)試數(shù)據(jù)(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否應(yīng)舍棄？解：將數(shù)據(jù)排列，取α=0.0540.0240.1340.1540.1640.20因?yàn)椋?.611＜0.642所以40.02應(yīng)保留。三、數(shù)據(jù)的誤差分析（一）幾種誤差的基本概念絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差＝觀測(cè)值-真值。絕對(duì)誤差反映了觀測(cè)值偏離真值的大小。通常所說的誤差一般是指絕對(duì)誤差。相對(duì)誤差：相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差和真值的比值，常用百分?jǐn)?shù)表示。算術(shù)平均誤差可以反映一組數(shù)據(jù)的誤差大小。標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱均方根誤差或標(biāo)準(zhǔn)偏差，它常用來表示觀測(cè)數(shù)據(jù)的精密度，能明顯地反映出較大的個(gè)別誤差，標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，說明數(shù)據(jù)精密度越好。例題:滴定的體積誤差V絕對(duì)誤差相對(duì)誤差20.00mL0.02mL0.1%2.00mL0.02mL1.0%（二）誤差的來源及分類1.隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是在一定條件下以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差。這些偶然因素是操作者無法嚴(yán)格控制的，故無法完全避免隨機(jī)誤差。但它的出現(xiàn)一般具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，大多服從正態(tài)分布。2.系統(tǒng)誤差

3.過失誤差過失誤差是由于操作人員不仔細(xì)、操作不正確等原因引起的，它是完全可以避免的。系統(tǒng)誤差是指由某個(gè)或某些不確定的因素所引起的誤差。當(dāng)條件一旦確定，系統(tǒng)誤差就是一個(gè)客觀上的恒定值，它不能通過多次測(cè)量取平均值的方法來消除，只能根據(jù)儀器的性能、環(huán)境條件或個(gè)人偏差等進(jìn)行校正，使之降低。（三）誤差分析

誤差可能是由于隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差單獨(dú)造成的，還可能是兩者的疊加。誤差分析中，常采用精密度、正確度和準(zhǔn)確度來表示誤差的性質(zhì)。精密度反映了隨機(jī)誤差大小的程度，是指在相同條件下，對(duì)被測(cè)對(duì)象進(jìn)行多次反復(fù)測(cè)量，測(cè)量值之間的一致(符合)程度。

正確度指測(cè)量值與其“真值”的接近程度。對(duì)于一組數(shù)據(jù)來說，精密度高并不意味著正確度也高；反之，精密度不好，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)相當(dāng)多時(shí)，有時(shí)也會(huì)得到好的正確度。準(zhǔn)確度指被測(cè)對(duì)象測(cè)量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。準(zhǔn)確度、正確度和精密度的關(guān)系四、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理

在大批的環(huán)境統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，當(dāng)數(shù)據(jù)的物理量不同、單位或量值差別較大時(shí)，常常會(huì)給下一步分析帶來困難，這時(shí)就有必要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，從而提高計(jì)算的精度。環(huán)境管理與規(guī)劃中，常采用下面的公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：式中：uij為xij標(biāo)準(zhǔn)化后對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，xij(i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n)為一批數(shù)據(jù)中第i個(gè)因子的第j個(gè)數(shù)據(jù)，si、分別為第i個(gè)因子標(biāo)準(zhǔn)差和平均值。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法

一、線性規(guī)劃二、非線性規(guī)劃三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃一、線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃管理中，線性規(guī)劃常常用來解決兩類優(yōu)化問題：一是如何優(yōu)化資源配置使產(chǎn)值最大或利潤(rùn)最高，二是如何統(tǒng)籌安排以便消耗最少的資源或排放最少的污染物。

≤（=≥）

≤（=≥）

≤（=≥）

≥0一般線性規(guī)劃問題的求解，最常用的算法是單純形法。線性規(guī)劃從數(shù)學(xué)上說，線性規(guī)劃問題可以描述為：1）通過一組未知量表示規(guī)劃的待定方案，這組未知量的確定值代表了一個(gè)具體方案。未知量的取值是非負(fù)2）對(duì)于規(guī)劃的對(duì)象，存在若干限制條件，限制條件以未知量的線性等式或不等式約束表達(dá)3）存在一個(gè)目標(biāo)要求，這個(gè)目標(biāo)由未知量的線性函數(shù)來描述。線性規(guī)劃的一般表達(dá)式max(min)f=cxAx≤(=,≥)b

式中：，由n個(gè)決策變量構(gòu)成的向量，即規(guī)劃問題的備選方案；c=，由目標(biāo)函數(shù)中決策變量的系數(shù)構(gòu)成的向量；A是由線性規(guī)劃問題的m個(gè)約束條件中關(guān)于決策變量的系數(shù)組成的矩陣；，由m個(gè)約束條件的常數(shù)構(gòu)成的向量。例子在一個(gè)小區(qū)有三個(gè)排放總懸浮顆粒物（TSP）的點(diǎn)源，其中兩個(gè)是燃煤發(fā)電廠，另一個(gè)是水泥廠的窯爐。發(fā)電廠每燒1t煤排放95kgTSP，水泥廠每生產(chǎn)1t水泥排放85kgTSP。水泥廠的產(chǎn)量為250000t/a,兩個(gè)發(fā)電廠燃煤量分別是400000和300000t/a。下表給出污染控制方法及費(fèi)用?，F(xiàn)在要求將TSP的總量削減80%，寫出最佳的控制方法的LP模型?？刂品椒ㄈコ剩?）1.隔板沉淀槽592.多級(jí)除塵器743.長(zhǎng)錐除塵器844.噴霧洗滌器945.靜電除塵器97可行控制方法的費(fèi)用（美元/t）控制方法發(fā)電廠1發(fā)電廠2水泥廠1.隔板沉淀槽1.001.401.102.多級(jí)除塵器----1.203.長(zhǎng)錐除塵器----1.504.噴霧洗滌器2.002.203.005.靜電除塵器2.803.00--求解過程本例中的決策變量定義為Xij——點(diǎn)源 i（i=1,2,3)采用控制方法j（j=0,1,…5）的量（t/a）。ji=1i=2i=30X10X20X301X11X21X312__X323__X334X14X24X345X15X25_采用年總費(fèi)用（美元/t）作為目標(biāo)函數(shù)：minZ=1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31+1.2X32+1.5X33+3.0X34發(fā)電廠和水泥廠的TSP排放量：i1=400000*95=38000000kg/ai2=300000*95=28500000kg/ai3=250000*85=21250000kg/a總計(jì)=87750000kg/a，削減80%后的總量為17550000kg/a。用排污系數(shù)和去除效率計(jì)算實(shí)際的TSP總排放量。發(fā)電廠1燃燒1t煤的排放量是：95X10+95*0.41X11+95*0.06X14+95*0.03X15=95X10+39X11+5.7X14+2.9X15則整個(gè)小區(qū)大氣污染控制目標(biāo)的限制為（95X10+39X11+5.7X14+2.9X15）+（95X20+39X21+5.7X24+2.9X25）+（85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34)≤17550000發(fā)電廠燃煤量和水泥廠產(chǎn)量的質(zhì)量平衡X10+X11+X14+X15=400000X20+X21+X24+X25=300000X30+X31+X32+

X33+X34=250000目標(biāo)函數(shù)minZ=1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31+1.2X32+1.5X33+3.0X34控制變量：（95X10+39X11+5.7X14+2.9X15）+（95X20+39X21+5.7X24+2.9X25）+（85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34)≤17550000X10+X11+X14+X15=400000X20+X21+X24+X25=300000X30+X31+X32+

X33+X34=250000Xij≥0線性規(guī)劃的求解問題一般線性規(guī)劃問題求解，最常用的算法是單純形法，也可采用對(duì)偶單純形法和兩階段法求解。

如果線性規(guī)劃問題的部分或全部變量的取值有整數(shù)的限制要求，這類特殊的線性規(guī)劃稱為整數(shù)規(guī)劃。要求全為非負(fù)數(shù)的稱為純整數(shù)規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃中一類特殊的情況是0—1規(guī)劃，它的決策變量取值僅限于0或1。整數(shù)規(guī)劃用于污水處理設(shè)施數(shù)量或環(huán)境規(guī)劃方案的取舍等污染控制系統(tǒng)規(guī)劃的決策問題。求解整數(shù)規(guī)劃分支定界法割平面法針對(duì)0—1規(guī)劃的隱枚舉法二、非線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃與管理中，某些問題的決策模型可能會(huì)出現(xiàn)下面的情況：①目標(biāo)函數(shù)非線性，約束條件為線性；②目標(biāo)函數(shù)為線性，約束條件非線性；③目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為非線性函數(shù)。上述情況均屬于非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型的一般形式是：

≥0上頁式中：（x1，x2，…，xn

）T為n維歐氏空間En中的向量，它代表一組決策變量。如果需目標(biāo)函數(shù)最大，可由=-轉(zhuǎn)換為求-的最小問題。當(dāng)某約束為，則可用不等式約束代替。

數(shù)值求解非線性規(guī)劃的算法大體分為兩類：一是采用逐步線性逼近的思想，通過一系列非線性函數(shù)線性化的過程，利用線性規(guī)劃獲得非線性規(guī)劃的近似最優(yōu)解；二是采用直接搜索的思想，根據(jù)部分可行解或非線性函數(shù)在局部范圍內(nèi)的某些特性，確定迭代程序，通過不斷改進(jìn)目標(biāo)值的搜索計(jì)算，獲得最優(yōu)或滿足需要的局部最優(yōu)解。三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃管理中，經(jīng)常遇到多階段最優(yōu)化問題，即各個(gè)階段相互聯(lián)系，任一階段的決策選擇不僅取決于前一階段的決策結(jié)果，而且影響到下一階段活動(dòng)的決策，從而影響到整個(gè)決策過程的優(yōu)化問題。這類問題通常采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。

基本原理為：作為多階段決策問題，其整個(gè)過程的最優(yōu)策略應(yīng)具有這樣的性質(zhì)，即無論過去的狀態(tài)和決策如何，對(duì)前面的決策所形成的狀態(tài)而言，其后一系列決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策?？梢园讯嚯A段決策問題分解成許多相互聯(lián)系的小問題，從而把一個(gè)大的決策過程分解成一系列前后有序的子決策過程，分階段實(shí)現(xiàn)決策的“最優(yōu)化”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“總體最優(yōu)化”方案。為使最后決策方案獲得最優(yōu)決策效果，動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解可用下列遞推關(guān)系式表示：任何多階段決策問題的最優(yōu)決策序列，都有一共同的基本性質(zhì)，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的最優(yōu)化原理（優(yōu)化貝爾曼原理）。即：一個(gè)多階段決策問題的最優(yōu)決策序列，對(duì)其任一決策，無論過去的狀態(tài)和決策如何，若以該決策導(dǎo)致的狀態(tài)為起點(diǎn)，其后任一決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策序列。這種決策一般采用逆序求解的方法建立模型。式中：k—階段數(shù)，k=n-1，…，3，2，1xk—第k階段的狀態(tài)變量，即k－1階段決策的結(jié)果。第k階段所有狀態(tài)成一狀態(tài)集；—第k階段的決策變量，它代表第k階段處于狀態(tài)xk時(shí)的選擇，即決策；—第k階段從狀態(tài)xk轉(zhuǎn)移到下一階段狀態(tài)uk(xk)時(shí)的階段效果。第三節(jié)常用決策分析方法

決策是指通過對(duì)解決問題備選方案的比較，從中選出最好的方案。決策貫穿于環(huán)境管理與規(guī)劃的各個(gè)方面，是管理與規(guī)劃的核心。技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析中的決策，是指對(duì)多方案進(jìn)行評(píng)價(jià)與擇優(yōu)，從而選定一個(gè)最滿意的方案。決策的分類按決策的條件確定型、非確定型、風(fēng)險(xiǎn)型按決策的對(duì)象宏觀、微觀按決策在企業(yè)組織中的地位分類高層決策、中層決策、基層決策決策技術(shù)一、決策樹法含義：決策樹是把方案的一系列因素按它們的相互關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示出來，再按一定程序進(jìn)行優(yōu)選和決策的技術(shù)方法。優(yōu)點(diǎn)：（1）便于有次序、有步驟、直觀而又周密地考慮問題；（2）便于集體討論和決策；（3）便于處理復(fù)雜問題的決策。決策樹圖形

—表示決策點(diǎn)，從它引出的分枝稱為策略方案分枝，分枝樹反映可能的方案數(shù)；—表示策略方案節(jié)點(diǎn)，其引出的分枝稱為概率分枝，分枝數(shù)目反映可能的自然狀態(tài)數(shù)；—表示事件節(jié)點(diǎn)，又稱末梢。決策樹圖形

適用對(duì)象：多階段決策、前一階段的決策影響后續(xù)階段的結(jié)構(gòu)和決策的項(xiàng)目。方法：用決策樹的形式列出決策問題的邏輯結(jié)構(gòu)。從決策樹的末梢向決策點(diǎn)倒退，計(jì)算出不同決策方案下的期望值，將未占優(yōu)的方案去掉，直到得出初始的決策方案。運(yùn)用決策樹技術(shù)的步驟：（1）繪制決策樹圖；（2）預(yù)計(jì)可能事件（可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)）及其發(fā)生的概率；（3）計(jì)算各策略方案的損益期望值；（4）比較各策略方案的損益期望值，進(jìn)行擇優(yōu)決策。若決策目標(biāo)是效益，應(yīng)取期望值大的方案；若決策目標(biāo)是費(fèi)用或損失，應(yīng)取期望值小的方案。例題：

（參考書目：環(huán)境管理學(xué)-楊賢智編著）

有一石油化工企業(yè)，對(duì)一批廢油渣進(jìn)行綜合利用。它可以先做實(shí)驗(yàn)，然后決定是否綜合利用；也可以不做實(shí)驗(yàn)，只憑經(jīng)驗(yàn)決定是否綜合利用。做實(shí)驗(yàn)的費(fèi)用每次為3000元，綜合利用費(fèi)每次為10000元。若做出產(chǎn)品，可收入40000元；做不出產(chǎn)品，沒有收入。各種不同情況下的產(chǎn)品成功概率均已估計(jì)出來，都標(biāo)在圖1上。試問欲使收益期期望值為最大，企業(yè)應(yīng)如何作出決策。根據(jù)圖中給出數(shù)據(jù)求解。決策樹采用逆順序計(jì)算法。

1．計(jì)算事件點(diǎn)②、③、④的期望值1234①試驗(yàn)概率為0.6②綜合利用△-3000△-10000產(chǎn)品成功概率為0.85產(chǎn)品不成功概率為0.15不綜合利用0040000③④圖1決策樹產(chǎn)品成功概率為0.1產(chǎn)品成功概率為0.55產(chǎn)品不成功概率為0.9產(chǎn)品不成功概率為0.45不綜合利用不綜合利用00004000040000不試驗(yàn)概率為0.4綜合利用綜合利用△-10000△-10000好不好─決策點(diǎn)─決策（事件）點(diǎn)─支出符號(hào)②40000×0.85＋0×0.15＝34000③40000×0.10＋0×0.90＝4000④40000×0.55＋0×0.45＝22000原決策樹根據(jù)以上算出的期望值可簡(jiǎn)化為圖2a：2.在決策點(diǎn)2、3、4作出決策2按max[（34000－10000），0]＝24000，決定綜合利用。3按max[（4000－10000），0]＝0，決定不綜合利用。4按max[（22000－10000），0]＝12000，決定綜合利用。決策樹繼續(xù)簡(jiǎn)化為圖2b：

圖2決策樹3.計(jì)算狀態(tài)點(diǎn)①的期望值：24000×0.6＋0×0.4＝144004.在決策1作出決策。5.最后得出整個(gè)問題的決策序列為：不做實(shí)驗(yàn)、直接綜合利用，收入期望值為12000元。

二、決策矩陣

決策矩陣又稱為損益矩陣，它是利用損益的期望值進(jìn)行決策，常用于有限條件下資源分配的最優(yōu)化決策問題。方案自然狀態(tài)s1(P1)…sj(Pj)…sn(Pn)1V11…V1j…V1n………………iVi1…Vij…Vin………………mVm1…Vmj…Vmn

1，2，…，m是滿足決策目標(biāo)要求的m個(gè)可行的獨(dú)立備選方案，所有方案構(gòu)成的集合A={1，2，…，m}稱為決策空間，決策者在此范圍內(nèi)選擇最終方案；S1，S2，…，Sn是每一種方案都可能遇到的外部條件，所有外部條件的集合S={S1，S2，…，Sn}稱為狀態(tài)空間；P1，P2，…，Pn是各種外部狀態(tài)可能發(fā)生的概率，其發(fā)生的概率總和為1，即：，決策矩陣的矩陣元素Vij表示第i個(gè)方案在第j種外部條件下所產(chǎn)生的收益或損失。三、多目標(biāo)決策方法

在環(huán)境管理與規(guī)劃問題中,同時(shí)存在著多個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)都要求達(dá)到其最優(yōu)值，并且各目標(biāo)之間往往存在著沖突和矛盾，這類問題就是多目標(biāo)決策問題。解決這類決策問題的方法就是多目標(biāo)決策方法。

目標(biāo)規(guī)劃模型的形式為：式中：，是2m維行向量；—對(duì)應(yīng)項(xiàng)的權(quán)數(shù)，（i=1，2，…，2m）；D=(

)T，是2m維列向量；X，A，R，B—分別是n維決策向量，X的系數(shù)矩陣m×2m階矩陣，m維約束常數(shù)項(xiàng)組成的列向量。第四節(jié)環(huán)境數(shù)學(xué)模型

一、數(shù)學(xué)模型概述二、模型的建立三、模型參數(shù)的估算方法四、模型的檢驗(yàn)一、數(shù)學(xué)模型概述

環(huán)境數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。它是建立在對(duì)環(huán)境系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的觀察研究，通過實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)，取得大量的有關(guān)信息和數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)所研究的系統(tǒng)行為動(dòng)態(tài)、過程本質(zhì)和變化規(guī)律有了較深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)演繹而得出的一些數(shù)學(xué)表達(dá)式，這些表達(dá)式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變量及其參數(shù)間的關(guān)系。

數(shù)學(xué)模型主要應(yīng)用于環(huán)境規(guī)劃與管理、環(huán)境影響評(píng)價(jià)和環(huán)境質(zhì)量預(yù)測(cè)幾個(gè)方面，其類型主要包括大氣擴(kuò)散模型、水文與水動(dòng)力模型、水質(zhì)模型、土壤侵蝕模型、沉積物遷移模型和物種棲息地模型等，每一類模型又可按模型的空間維數(shù)、時(shí)間相關(guān)性、數(shù)學(xué)方程特征等來進(jìn)行分類。按空間維數(shù)分類零維模型一維模型二維模型三維模型按時(shí)間相關(guān)性分類動(dòng)態(tài)模型穩(wěn)態(tài)模型按數(shù)學(xué)方程特征分類按模型是否含隨機(jī)變量分類按模型中變量階次分類按模型所屬數(shù)學(xué)分支分類代數(shù)模型微分方程模型函數(shù)方程模型不等式模型隨機(jī)模型確定性模型線性模型非線性模型初等數(shù)學(xué)模型幾何模型圖論模型馬氏鏈模型規(guī)劃模型按數(shù)學(xué)方法分類按建模目的分類描述模型分析模型預(yù)報(bào)模型優(yōu)化模型決策模型控制模型

白箱模型黑箱模型灰箱模型按對(duì)模型結(jié)構(gòu)了解程度分類二、模型建立建立數(shù)學(xué)模型的步驟了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征。根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步，建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡(jiǎn)單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。1.建模準(zhǔn)備2.模型假設(shè)1.圖解法采用點(diǎn)和線組成的用以描述系統(tǒng)的圖形稱為圖模型，可用于描述自然界和人類社會(huì)中大量事物和實(shí)物之間的關(guān)系。圖模型形象、直觀，對(duì)決策者了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能之間的關(guān)系很有幫助。但圖解建模法作為一種描述性方法，往往精確度較差，而且受人的視覺影響而局限于三維空間中，因此它通常作為建立系統(tǒng)方程式模型的輔助分析工具來用。

建立模型的方法2.質(zhì)量平衡法

根據(jù)質(zhì)量平衡原則建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。應(yīng)用質(zhì)量平衡方法必須知道物質(zhì)流的方向和通量，污染物質(zhì)反應(yīng)的方式和速度，以及各種污染物之間的相關(guān)關(guān)系和關(guān)聯(lián)作用。環(huán)境數(shù)學(xué)模型中很多都是在質(zhì)量平衡的基礎(chǔ)上建立的。值得注意的是，幾乎每一個(gè)利用質(zhì)量平衡原則建立的模型中都包含了一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù)，它們一般很難由過程的機(jī)理確定，且數(shù)值又隨時(shí)間、空間變化，因此需要借助于大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)最終確定參數(shù)。3.概率統(tǒng)計(jì)法回歸分析法建立在對(duì)客觀事物進(jìn)行大量試驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，是一種用來尋找隱藏在某些現(xiàn)象中的規(guī)律性的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法?；貧w分析法就是通過分析因素之間的因果關(guān)系和影響程度進(jìn)行預(yù)測(cè)，用過去和現(xiàn)在的環(huán)境監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)確定函數(shù)關(guān)系式，按最小二乘法原則確定函數(shù)式中的參數(shù)值，進(jìn)而建立回歸預(yù)測(cè)模型，用于預(yù)測(cè)環(huán)境要素特征發(fā)展變化的規(guī)律。根據(jù)變量之間函數(shù)形式的不同，回歸分析分為線性回歸和非線性回歸；根據(jù)自變量個(gè)數(shù)的多少，可分為一元回歸和多元回歸。根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法的不同，時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法主要分為移動(dòng)平均法、加權(quán)滑動(dòng)平均法和指數(shù)平均法。

三、模型參數(shù)的估值方法

由于環(huán)境系統(tǒng)中的模型基本上都是灰箱模型，其中至少存在著一個(gè)待定參數(shù)，因此參數(shù)的估計(jì)是建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型非常重要的一項(xiàng)工作。下面介紹幾種主要的估值方法。（一）圖解法凡是給定的公式或數(shù)據(jù)可以直接描述成一條直線，或經(jīng)過一定處理后可以轉(zhuǎn)化為直線時(shí)，常常采用圖解法估計(jì)參數(shù)。作圖時(shí)，將自變量x和因變量y標(biāo)注在直角坐標(biāo)系中，確定每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)位，把所有的點(diǎn)位連接起來，形成一條直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：y=b+ax

式中：a是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距。

（二）經(jīng)驗(yàn)公式法

根據(jù)長(zhǎng)時(shí)期的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，人們提出了許多經(jīng)驗(yàn)公式來估計(jì)數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)參數(shù)。應(yīng)注意的是，使用經(jīng)驗(yàn)公式要求該系統(tǒng)條件與建立經(jīng)驗(yàn)公式的條件一致或相近，否則就會(huì)出現(xiàn)很大偏差。（三）