第五講波動理論

波動理論（淺水運動中的平面波）1一平面波的基本概念頻散關(guān)系相速度和群速度頻散波和非頻散波2頻散關(guān)系頻散關(guān)系是指波動的頻率和波數(shù)之間的關(guān)系，它代表了某種波動的特征，任何一種特定的波動都有其特定的頻散關(guān)系，因而頻散關(guān)系也是確定波動性質(zhì)的非常有效的工具。3相速度和群速度CgC4頻散波和非頻散波如果一種波動的相速度和群速度一樣，就稱為非頻散波；如果一種波動的相速度和群速度不一樣，就稱為頻散波。5頻散波和非頻散波的特點非頻散波頻散波6二淺水運動中的小振幅波動運動方程f=0（無旋轉(zhuǎn)）下平面無限等深流體內(nèi)的波動——淺水重力波f=C（f平面）下平面無限等深流體內(nèi)的波動——Poincare（邦加萊）波f=C（f平面）下水平有界等深流體內(nèi)的波動——Kelvin（開爾文）波f不為常數(shù)下的波動——Rossby（羅斯貝）波71運動方程淺水中的線性化方程，非線性平流項已經(jīng)去掉，由上述方程組消去u，v，就可以得到水位方程8水位方程9定常運動如果運動為定常的淺水小振幅運動即為地轉(zhuǎn)流10非定常運動——波動對波動而言波動的主控動力學(xué)方程是相同的，不同主要是邊界條件的不同，不同的邊界條件（強迫）決定了不同的波動的頻散關(guān)系（頻散關(guān)系即頻率和波數(shù)之間的關(guān)系，它決定波動的特性），也就決定了不同性質(zhì)的波動．下面我們就在不同的邊界條件下討論不同性質(zhì)的波動

112f=0（無旋轉(zhuǎn)）下平面無限等深流體內(nèi)的波動

淺水重力波是二列方向相反，頻率大小相同的波動，這是一種非頻散波。12淺水重力波x0u=(g/H)1/2=0Cott=0t=t1t=t213淺水重力波x0t=0u=0,=0t=t3t=t20/2wavewakewavefrontt=t10/2143f=C（f平面）下平面無限等深流體內(nèi)的波動

無限平面等深波是二列方向相反，頻率大小相同的波動。在海洋上這種長波稱為邦加萊波（Poincare）。在氣象上，這種長波稱為慣性重力波，即在地球旋轉(zhuǎn)影響下的重力波。旋轉(zhuǎn)（地轉(zhuǎn)）使波速增大。頻率大于f，周期小于地轉(zhuǎn)周期的一半。即頻率大大地超過大尺度大氣海洋緩慢地運動頻率。

15邦加萊波特點其中R為Rossby變形半徑=C0/f

短波：旋轉(zhuǎn)的影響相對于重力的影響是次要的

長波：慣性振蕩，重力的影響是次要的

164f=C（f平面）下水平有界等深流體內(nèi)的波動

考慮一個平行于x軸的寬度為L的通道。引入邊界條件：y=0，l時，v=0，代入動力方程。17頻散關(guān)系離散的邦加萊波Kelvin波慣性震蕩地轉(zhuǎn)流18離散的邦加萊波此波特點是類似于無限平面等深淺水中的平面波，亦是向正，反兩個方向傳播的，不同之處在于y方向的波數(shù)l只是特定的值，l不可能任意取值，這恰恰是由邊界條件的特性決定波動的特性，只有特定頻率的波才滿足一定的邊界條件。此波也是Poincare波，是一種特定條件下離散的Poincare波。

19Kelvin波波動傳播的x方向滿足地轉(zhuǎn)平衡，由于y方向存在邊界限制，波動在y方向不滿足地轉(zhuǎn)平衡，整個波動是非地轉(zhuǎn)的。由于y方向存在邊界限制，只有y方向上有波動振幅的變化且隨y的變化呈指數(shù)衰減。開爾文波的傳播方向和邊界位置有關(guān)，對于一個面向波轉(zhuǎn)播方向的觀察者來說，在北半球，邊界位于其右側(cè)，而在南半球，邊界位于其左側(cè)。

20特殊的Kelvin波——赤道Kelvin波Kelvin波作為一種邊界波，需要邊界的存在?？剖蠀?shù)f在赤道為0，形成了一種特殊的邊界，產(chǎn)生了赤道Kelvin波。21慣性振蕩和地轉(zhuǎn)流慣性震蕩的解代入原式求解，解也為開爾文波。等深渠道中波解的完全譜包括Poincare波，kelvin波，地轉(zhuǎn)流。225f不為常數(shù)下的波動——Rossby（羅斯貝）波如果絕對渦度的梯度不為0，即存在行星渦度梯度和環(huán)境渦度梯度，就會產(chǎn)生一種特殊的波動Rossby波，這是一種低頻的緩慢的波動，與前述的快波不同。23三準地轉(zhuǎn)Rossby波Rossby波是大洋調(diào)整中最重要的波動，是大洋中信息的攜帶者。本節(jié)將重點講解有關(guān)Rossby波的知識。241Rossby波的動力方程——準地轉(zhuǎn)位渦方程Rossby波的產(chǎn)生和位渦密切相關(guān)，位渦梯度的存在是Rossby波的恢復(fù)機制。25考慮基本流和地形作用26位渦方程變形為27定常情況有地形存在而不存在行星渦度梯度下，流動沿等深線；不存在地形而存在行星渦度梯度下，流動沿緯線。28非定常情況——Rossby波此時可以發(fā)現(xiàn)地形、海面起伏（環(huán)境渦度梯度）和科氏參數(shù)變化（行星渦度梯度）是等價的，即如果只存在地形的話就可以產(chǎn)生地形Rossby波；只存在行星渦度梯度的話也可以產(chǎn)生Rossby波。292Rossby波的頻散關(guān)系Rossby波的頻率及相速度都依賴于波數(shù)，因此是頻散波。

Rossby波是低頻波。Rossby波僅當有位渦梯度存在時才能發(fā)生，即位渦梯度是產(chǎn)生Rossby波的必要條件。

303Rossby波的形成機制位渦守恒和位渦梯度的存在是Rossby波形成的機制。xwestwardf,soy314Rossby波的相速度和群速度假定U=0，不存在基本流的作用，Rossby波的相速度都是向西的，反映了旋轉(zhuǎn)的存在導(dǎo)致的東西不對稱；Rossby波的群速度長波也都是向西的，短波可以向東。325緯向基本流中的Rossby波西向波東向波駐波以上體現(xiàn)了基本流的多普勒效應(yīng)336長波的非多普勒效應(yīng)長Rossby波的一個特殊性質(zhì)就是非多普勒效應(yīng)，產(chǎn)生這個情況的原因是平流的多普勒效應(yīng)和平流產(chǎn)生的環(huán)境位渦梯度效應(yīng)相互抵消，因而長Rossby波的波速是不變的，假定不考慮地形效應(yīng)，長Rossby波的波速為34觀測到的長Rossby波波速357Rossby波的能量傳播圖波矢必須位于k-l平面的一個圓上

圓心：半徑：36能量傳播圖klCgK[/(-2),0](a,0)Wherea=/(-2)-[(/(-2))2-LD-2]1/237

8有界區(qū)域中的Rossby波反射、Rossby波的NormalMode由于邊界的存在，波動的波數(shù)不再是連續(xù)的了，與前述離散的邦加萊波類似，此時的Rossby波的波數(shù)也只能取離散的特定值。38反射的示意圖39在能量圖中的表現(xiàn)40反射波形成的NormalModeK1CgK2CgIncidentwavereflectedwavelkK2K141Y方向NormalMode的推導(dǎo)42NormalMode的特點NormalMode是一個系統(tǒng)固有的本征的波動模態(tài)，在一個有邊界條件約束的系統(tǒng)中，穩(wěn)定波動狀態(tài)下只有NormalMode存在。大洋Rossby波的NormalMode是大洋調(diào)整的波動周期，也是大洋記憶的一種表現(xiàn)434445469強迫Rossby波與自由波不同，強迫波的波數(shù)和頻率已經(jīng)由外強迫所確定，振幅未知。所得的解一般不滿足初始條件。47共振的發(fā)生此時發(fā)生共振，一般情況下共振的發(fā)生都是在外強迫的頻率和系統(tǒng)NormalMode的頻率一致時發(fā)生的。48四斜壓Rossby波的初步知識垂直方向的層結(jié)，相當于增加了垂直方向的邊界，因而斜壓Rossby波實際上就是垂直方向的邊界產(chǎn)生的NormalMode波動，因而也將斜壓Rossby波的各個模態(tài)稱為BaroclinicMode。491一層半模式及第一斜壓模Rossby波一層半模式又稱為約化重力模式50一層半模式的一個重要結(jié)論：海面起伏和次表層溫躍層起伏方向相反，量級相差3個左右。5152正壓模和斜壓模Atwo-ballsystem2“baroclinic”mode

1>

21,“barotropic”mode53第一斜壓模在大洋中的例子5455第一斜壓模波速的多普勒效應(yīng)562兩層半模式及第二斜壓模Rossby波表現(xiàn)為溫躍層厚度的變化，可以從溫度異常信號的傳播上發(fā)現(xiàn)該波動，這種波動和平流的方向基本一致，因而被稱為平流模態(tài)。57581971-731974-761977-79北太平洋熱異常信號（第二斜壓模態(tài)Rossby波）的“潛沉”從北向南；從上向下；從東向西。斜壓第二模態(tài)Rossby波不僅可以通過“內(nèi)部通道”直接到達赤道太平洋（研究的成果很多），還可以通過向南、向西的傳播，到達西邊界（如何影響黑潮幾乎沒人研究）。溫度和平均流50-300mZhangR-H等2001593連續(xù)層化模式及各個垂直模態(tài)

Rossby波60根據(jù)層結(jié)流體準地轉(zhuǎn)位渦守恒方程其中將其線性化：61邊界條件：側(cè)向無界垂向：限于之內(nèi)當z＝1時，（海面剛蓋）當z=0時，（忽略地形加熱底摩擦等）62設(shè)位渦方程的解為：其中為垂直結(jié)構(gòu)函數(shù)將波解帶入位渦方程，得到：其中63邊界條件轉(zhuǎn)化為：當z=0時(海底）當z=1時（海面）64假設(shè)海洋從上到下的密度是常數(shù),那么代入邊界條件解得:65密度為常數(shù)66差分格式：圖示：j=1,2,……，M事實上海洋是有層結(jié)的67