第8章數(shù)學(xué)問題解決

第8章數(shù)學(xué)問題解決姓名：于海薇學(xué)號：201312000309§8.1數(shù)學(xué)問題關(guān)于數(shù)學(xué)問題的研究主要集中在以下幾個(gè)方面：數(shù)學(xué)問題問題的界定問題的類型問題的教學(xué)功能一個(gè)好問題的標(biāo)準(zhǔn)8.11問題的界定

鮑爾和皮格弗德認(rèn)為，所謂問題，是指個(gè)人或團(tuán)體接受某項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性任務(wù)的一種情境，而這項(xiàng)任務(wù)沒有立即明顯的解決方法。梅爾認(rèn)為“問題”有三項(xiàng)特征：（1）已知狀態(tài)：說明已知條件或情境；（2）目標(biāo)狀態(tài)：說明欲達(dá)成的目標(biāo)狀態(tài)的歷程。安德森認(rèn)為，盡管問題多種多樣，但所有問題解決都有一些共同的基本特征：第一，目的性，即問題解決必須有明確的目的；第二，操作序列，即包括一系列的心理操作；第三，認(rèn)知操作，即問題解決活動(dòng)必須有認(rèn)知成分參加，它的活動(dòng)依賴于認(rèn)知操作來進(jìn)行。從上面的描述中可以看到，“問題解決”中的問題與通常課本上的習(xí)題是兩個(gè)不同的概念?！皢栴}”可以成為“習(xí)題”的一部分，但不是所有的“習(xí)題”都具體有“問題”的特征。8.12問題的類型關(guān)于數(shù)學(xué)問題的分類主要有以下幾條線索：一是按照解題的難度水平或復(fù)雜程度，如按照難度系數(shù)可以分為容易題、中等題與難題；按照解題的步驟可以分為單步題與多部題；按照解題思路的已知與否可以分為常規(guī)題與非常規(guī)題；按照問題的復(fù)雜程度可以分為簡單問題和復(fù)雜問題，等等。波利亞在其名著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中，從所用法則的熟悉程度與多寡將問題分為：（1）鼻子底下就有現(xiàn)成的法則。（2）帶有選擇性的應(yīng)用。（3）組合的選擇。（4）接近研究水平。二是按照問題解決過程的特征，如格里諾將用來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的問題分成三種類型（1）歸納結(jié)構(gòu)問題；（2）轉(zhuǎn)換問題；（3）排列問題三是依據(jù)問題的狀態(tài)與結(jié)構(gòu)，如認(rèn)知心理學(xué)家通常將問題分為兩種：已界定清楚的問題與未界定清楚的問題。四是依據(jù)問題解決涉及的要素，如奧加涅相按照條件、結(jié)論、解法和解題基礎(chǔ)四個(gè)要素得出如下的分類表，表8-1,175頁邁克爾和斯契夫在其有關(guān)問題的解決模式的研究中，按照問題、途徑、方法、將問題進(jìn)行分類，

如圖表8-2此外，還可以依據(jù)是否具有現(xiàn)實(shí)的背景而分為課堂中的問題與實(shí)際生活中的問題；依據(jù)是否具有創(chuàng)造性分為創(chuàng)造性文圖與非創(chuàng)造性問題等。

8.1.3問題的功能

不同類型的問題具有不同的教學(xué)功能，不同的場合需要不同的問題。例如，標(biāo)準(zhǔn)題與練習(xí)題常用于概念的理解及規(guī)則與程序的掌握；常規(guī)題可以幫助學(xué)生鞏固基本的解題方法；開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。因此，必須根據(jù)問題的不同功能和教學(xué)的特定需求來精心安排學(xué)生的問題解決活動(dòng)。那么如何分析數(shù)學(xué)問題的教學(xué)功能呢？為奧加涅相提出了如下需要思考的問題：1這道習(xí)題要達(dá)到的教學(xué)目的是什么？2應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)教育的哪些部分？3需要的正是這道題嗎？4題目中具體的兩，為什么選取這樣一些而不是別的？5為什么習(xí)題中恰好選擇這樣一種情節(jié)？6為什么選取這樣一些數(shù)據(jù)，而不是別的？7如果實(shí)際情況中可能出現(xiàn)類似的問題，習(xí)題中的一致數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際情況?

8對于學(xué)生來說，習(xí)題的情節(jié)是否有趣？問題的提法是否自然而又引人入勝？文圖能不能使學(xué)生對結(jié)果和解法產(chǎn)生興趣？9學(xué)生能不能自己解答這道題？為此，他應(yīng)當(dāng)知道什么，記住什么，想到什么？如果學(xué)生不能做到這一點(diǎn)，這個(gè)事實(shí)說明什么問題？10教師可以而且應(yīng)當(dāng)用什么方法幫助這樣的學(xué)生？做到什么程度才合適？11這道題同前后的作業(yè)有什么聯(lián)系？等等從目前我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況看，數(shù)學(xué)的提醒已經(jīng)十分豐富，因此，需要研究的問題就是，不同類型的數(shù)學(xué)題到底有什么不同的教學(xué)功能？它們分別適合什么樣的教學(xué)情境？應(yīng)該采用那些兒不同的教學(xué)方法？以及學(xué)生在解答這些問題時(shí)，會遇到那學(xué)不同的困難？8.1.4一個(gè)好問題的標(biāo)準(zhǔn)既然問題解決是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心，因此，教學(xué)的有效性往往取決于問題本身的優(yōu)劣。那么，一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？道爾頓指出，一個(gè)“好問題”必須具備下列條件中的一個(gè)或更多“1問題要簡單，使學(xué)生能認(rèn)識并解決它；2依靠學(xué)生的知識和能力能得到多種解法；3能引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)向類似的問題；4包含的數(shù)據(jù)能夠被理和解、分類、列成表格和分析；5能夠通過模型和簡圖解決；6能馬上引起學(xué)生的興趣；7通過學(xué)生現(xiàn)有知識或?qū)⒁獙W(xué)到的知識能將一種解法一般化；8能用一種再認(rèn)的方式解決；9答案要有意思。美國著名的數(shù)學(xué)問題解決專家匈菲爾德給出所謂的“好問題”的五條什么原則，即一個(gè)好問題必須：1是容易接受的2有多種解題方法3蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想（好的數(shù)學(xué)）4不故意設(shè)陷阱；5可以進(jìn)一步開展和一般化；對上述原則，匈菲爾德的具體解釋是：第一，所謂”容易接近“的問題，是指在入口處不需要多少正規(guī)的背景、特殊的知識或者方法。第二，“多解”問題具有很好的性質(zhì)，它允許我們向?qū)W生指出通常有多種途徑去解剖一道數(shù)學(xué)題，不僅僅是簡單得到一個(gè)答案，而是去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)思想。第三、四條原則是密切相關(guān)的，從正面考慮，這些問題能夠把學(xué)生印象真正的、城市的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)。第五，也是最重要的一條就是，問題應(yīng)該成為豐富的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的起點(diǎn)，目的是給學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會。為了說明上述的原則，匈菲爾德在他的書給出了兩個(gè)例子，其一是對勾股定理的推廣，其二是三階幻方問題?！?.2數(shù)學(xué)問題解決的基本過程對數(shù)學(xué)問題解決過程的研究主要有四個(gè)層面（1）心理學(xué)界對數(shù)學(xué)解題心理辦的問題的解決行為，過程（表征、策劃、實(shí)施、檢驗(yàn)）的研究，這類研究基本上都是針對小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題的解決，討論的是人類一般的問題解決行為，較少表現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征；（2）西方數(shù)學(xué)教育界對數(shù)學(xué)問題解決特征及專家-新手的比較研究，代表人物就是美國的匈菲爾德，這類研究通常以大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生或者數(shù)學(xué)家為研究對象（3)錢蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育界對數(shù)學(xué)解題的邏輯過程餓研究，側(cè)重于問題的邏輯結(jié)構(gòu)，較少關(guān)注解題者的心理變化及情感與態(tài)度；（4）對具體數(shù)學(xué)解題行為過程的研究，如我國的學(xué)者和教師對學(xué)生有水平的高低之分，主要是研究的角度不同。（）8.2.1問題解決的過程模型問題解決作為一種高級的智力活動(dòng)，從問題的產(chǎn)生到解決，牽涉到許多高層次的心理過程，因此從認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)探討問題解決的過程模型已成為眾多學(xué)者的研究方向。下面，簡要介紹其中一些比較經(jīng)典的模型。

8.2.1.1杜威的問題解決過程模型美國的教育學(xué)家杜威視問題解決為有意識的、深思熟慮的心智過程，此過程會自然地伴隨著一連串的心理活動(dòng)，其中包括：1呈現(xiàn)問題2定義問題3形成假設(shè)4測驗(yàn)假設(shè)5選擇最佳的假設(shè)

※8.2.1.2波利亞的“怎樣結(jié)題表”※毫無疑問，波利亞是數(shù)學(xué)問題解決研究中的標(biāo)志性人物。早其所著的小冊子《怎樣解題》中，他就提出了解決問題的四個(gè)步驟（表8-3）表8-3波利亞的“怎樣解題表”第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆枴０褩l件的各個(gè)部分分開，你能否把他們寫下來。第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。

擬定計(jì)劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此相關(guān)的問題，你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？回到定義去，看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。第三，實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢查每一個(gè)步驟。你能能夠否清楚地看出這一個(gè)步驟是正確的？你能否證明這一個(gè)步驟是正確的？第四,驗(yàn)算所得到的解。

回顧

你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問題？8.2.1.3紐維爾和西蒙的問題解決過程模型紐維爾和西蒙依據(jù)信息加工理論來分析人類的問題解決過程，編制了稱為“通用問題解決者”的計(jì)算機(jī)程序，并成功的解決課諸如河內(nèi)塔、牧羊人過河等古典問題，它們認(rèn)為，整個(gè)問題解決的過程包含了問題出事狀態(tài)和最后的目標(biāo)狀態(tài)，這些狀態(tài)組合起來就成為“問題空間”。在問題空間及信息處理理論的前提下，一般的問題的解決過程可分為以下兩個(gè)階段：1了解問題2尋找解決方法8.2.1.4匈菲爾德的數(shù)學(xué)解題模式匈菲爾德強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)解題的研究方向需要考慮四個(gè)因素：知識基礎(chǔ)，解題策略，自我控制及信念系統(tǒng)。他根據(jù)元認(rèn)知的觀點(diǎn)，將解題過程區(qū)分為：1讀題2分析3探索4計(jì)劃5執(zhí)行6驗(yàn)證等六個(gè)階段。為了進(jìn)一步分析問題解決過程中的“控制”情況，作者用流程圖的形式描述了問題解決的各個(gè)階段。給定問題

相關(guān)問題或新信息原理和系統(tǒng)小困難

主要困難解題方案嘗試解題回顧分析計(jì)劃實(shí)施檢驗(yàn)探究然后，針對流程圖中的5個(gè)環(huán)節(jié)，作者又給出了詳細(xì)的解釋：首先，要分析問題實(shí)際是什么意思，一只什么，要求是什么，等等。在分析階段，需要用那些策略往往依賴于要解決的問題和解決問題的人，但有一些常用的策略，間表8-4表8-4問題解決的分析階段

準(zhǔn)備，用簡要形式表述問題，畫張圖表，或者在可能的情況下畫張草圖，這是，如果別人把原題拿走了，你還能解這道題嗎？你是否真正明確問題所包含的必須的信息？1確信你明白了問題的含義檢查問題的條件——已知什么，要求什么觀察一些例子——對要做的事情有一個(gè)初步的感覺檢查一致性——你是否有足夠的信息？結(jié)論看起來是否合情、合理？你是否有多余的信息？2試圖去簡化問題,在你卷入細(xì)節(jié)之前，先尋找使問題簡單化的途徑。根據(jù)所給問題，你可以考慮：對稱性限定條件——如固定其中的一些變量不失一般性——考慮特殊情形3用你覺得最方便的形式重新表述問題選擇觀點(diǎn)——如果要證明兩線段相等，你可以選擇歐式幾何也可以選擇三角選擇重點(diǎn)——確定最重要的性質(zhì)或者系統(tǒng)重新表述問題——利用所愿觀點(diǎn)的術(shù)語；將重要性質(zhì)加個(gè)“標(biāo)簽：其次是計(jì)劃，從某種意義上說，計(jì)劃是一種“主控機(jī)制”。實(shí)際上，流程圖中，它不失一個(gè)獨(dú)立的框圖，而是應(yīng)該貫穿整個(gè)過程，它的作用是保證所進(jìn)行的活動(dòng)是有益的。第三階段是探究，探究式問題解決的心臟，問題解決的主要活動(dòng)都是在這一階段進(jìn)行的，常用的策略見表8-5表8-5問題解決的探究階段這里你必須快速決策，如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)念頭是可行的，立即抓住它；否則，立即放棄它。

第一步問題與等價(jià)性1觀察什么：等價(jià)問題利用等價(jià)條件代換題設(shè)或者結(jié)論，如將平行四邊形寫成對邊平行且相等嘗試去重新構(gòu)造問題，利用：不同的觀點(diǎn)或者更方便的術(shù)語。邏輯等價(jià)形式。重新組織問題，利用：改變次序，引進(jìn)新信息2嘗試什么:首先考慮常規(guī)的程序。分解問題，通過（1）建立子目標(biāo)（2）分解或者重組定義域排除干擾，縮小研究范圍構(gòu)造結(jié)果，利用：（1）歸納法（2）綜合法考慮有關(guān)條件和結(jié)論的一般問題從相同或者類似結(jié)論的問題中，你能引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖幽繕?biāo)，可能的程序或者輔助的元素嗎？從題設(shè)中你能得出什么常規(guī)結(jié)論？

第二部稍微改變一下問題1嘗試解決比較容易的相關(guān)問題，利用在題設(shè)中增加條件或者信息降低或者部分實(shí)現(xiàn)結(jié)論的要求，由此你得到一個(gè)弱解的集合，從中決定nhi所需求的特殊解。2嘗試解決更難的相關(guān)問題，利用：削弱或者減少限制條件，你可以考慮每一個(gè)條件在問題中的應(yīng)用一般化，嘗試去證明更多的結(jié)論。

第三部陷入困境（檢驗(yàn)任何相關(guān)的問題）1你能想到任何條件相似或者結(jié)論相似的問題嗎?2你能到問題的部分情況的結(jié)果嗎？3你能逆轉(zhuǎn)其中一些條件嗎？至于第四階段：實(shí)施，是實(shí)際解決問題的最后階段。對于檢驗(yàn)，必須給予重視。比較比利亞的問題解決模型可以看到，匈菲爾德的模型可以說是在波利亞的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他的這個(gè)模型在數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)得到了普遍的認(rèn)可。

8.2.2數(shù)學(xué)問題解決的基本特征一般問題的解決和語義豐富的學(xué)科領(lǐng)域的問題解決有著本質(zhì)的區(qū)別，前者以“嘗試——錯(cuò)誤”、“手段——目的”為基本策略，后者則更多地一覽與學(xué)科知識與能力，這一節(jié)，重點(diǎn)討論數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)科特征8.2.2.1多步化歸所謂“化歸”，是把未知的、待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的、已解決的問題，從而解決問題的過程。原蘇聯(lián)著名女?dāng)?shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭總結(jié)：“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題”，波利亞利用一個(gè)燒水的例子，把化歸解釋得非常明白。數(shù)學(xué)問題解決的一個(gè)基本特征就是“多步化歸”，通過多部化歸，最終把一個(gè)未知的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)已經(jīng)解決的問題。例如要解決問題Pn，若已經(jīng)解決了問題Pn-1，則只需一步即可；但若要在問題P0的基礎(chǔ)上來解就需要多步化歸了。數(shù)學(xué)問題解決的多步化歸使得“典型例題”處于十分關(guān)鍵的地位。只有掌握課一批典型例題，在解決新問題的時(shí)候才容易找到化歸的方向。8.2.2.2多層結(jié)構(gòu)紐維爾和西蒙根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征將問題分為三種類型：良好結(jié)構(gòu)問題、中等結(jié)構(gòu)問題、不良結(jié)構(gòu)問題類型良好結(jié)構(gòu)問題中等結(jié)構(gòu)問題不良結(jié)構(gòu)問題定義總是具有相同的解題步驟需要改變策略以適應(yīng)新的背景沒有清晰的解題途徑，并有一定的限制特征解題策略是可以預(yù)見的只有一個(gè)正確答案題設(shè)中包含所有解題需要的信息經(jīng)常用多種解題途徑只有一個(gè)正確答案必須收集解題所需的信息解法是不可預(yù)測的沒有唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案，通常只有較滿意的解法需要收集額外信息例子遵循一個(gè)指定程序設(shè)計(jì)一張工作單、或?qū)懸环庑女嬕环嫞O(shè)計(jì)一座橋梁或者編制一個(gè)計(jì)算機(jī)程序教學(xué)與測試的應(yīng)用依靠陳述性知識，而且比較膚淺獲得的技能只能用于相似的情境，遷移性較差學(xué)習(xí)者簡單的記憶程序容易和人物的輔助體系相結(jié)合需要較多的陳述性知識需要抽象建模、問題表征、評價(jià)等技能，有較好的遷移性學(xué)習(xí)者必須發(fā)明一定的策略以適應(yīng)特殊的背景需要擴(kuò)展的陳述性知識和經(jīng)驗(yàn)利用前抽象、類比、符號推理和認(rèn)知的靈活性，遷移性最強(qiáng)必須幫助學(xué)習(xí)者確定背景和解題的目標(biāo)提供多種實(shí)踐的機(jī)會數(shù)學(xué)問題的結(jié)果特征有一定的相對性，如小學(xué)階段的應(yīng)用題對沒有學(xué)過方程的小學(xué)生一般都是不良結(jié)構(gòu)的問題，但對于學(xué)過醫(yī)方程的中學(xué)生而言，則屬于良好結(jié)構(gòu)或者中等結(jié)構(gòu)問題，研究表明不同結(jié)構(gòu)問題所涉及的認(rèn)知成分和教學(xué)功能更是不一樣，特別是不良結(jié)構(gòu)的問題今年來收到了越來越多的關(guān)注8.2.2.3多元表征問題表征是人們在解決問題時(shí)使用的喲中認(rèn)知結(jié)構(gòu)，具有多種形式，表征包含了敘述、推理和抽象。通常問題表征的來源有：（1）關(guān)于問題的陳述（或圖、表等）（2）問題解決者已有的一般問題表征（3）類似問題的表征以及從簡單部分產(chǎn)生的新表征等。研究表明，問題表征的質(zhì)量影響著問題解決的難易程度，甚至是問題能否成功解決的關(guān)鍵。一個(gè)適宜的表征應(yīng)該滿足三個(gè)條件：（1）表征與問題的正式結(jié)構(gòu)相對應(yīng)（2）表征中的各個(gè)問題成分被適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合在一起（3）表征結(jié)合了問題解決者的其他知識卡帕特根據(jù)表征系統(tǒng)與被表征系統(tǒng)的關(guān)系，將數(shù)學(xué)問題解決中的表征分為四種類型：認(rèn)知性表征、解釋性表征、數(shù)學(xué)內(nèi)部表征、外部符號表征。從數(shù)學(xué)問題的解決過程來看，多元表征有以下三個(gè)方面的功能：啟發(fā)功能、轉(zhuǎn)化功能、理解功能。

8.2.2.4多種背景數(shù)學(xué)既是一種科學(xué)的語言，又有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，因此，對數(shù)學(xué)題的實(shí)際背景的重視是各國數(shù)學(xué)新課程的一個(gè)普遍特色。按照PISA2000的定義，所謂數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指：確定、理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，以及對數(shù)學(xué)在每個(gè)人現(xiàn)在和未來的個(gè)人生活、職業(yè)生活和社會生活的作用和需求有良好的判斷能力。它涉及三個(gè)維度：過程、內(nèi)容、背景PISA認(rèn)為，背景和學(xué)生之間有遠(yuǎn)近之分，最近的是學(xué)生自己的日常生活，其次是學(xué)校的生活，接下來是工作與體育運(yùn)動(dòng)，地方社團(tuán)等。除了實(shí)際背景外，數(shù)學(xué)內(nèi)部也存在著各種不同的背景。例如一次函數(shù)，既可以在代數(shù)范圍內(nèi)討論一次函數(shù)的性質(zhì)，也可以用它來解決幾何問題、線性規(guī)劃問題、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的問題等。背景的豐富也給數(shù)學(xué)問題解決帶來了許多新的特點(diǎn)，例如實(shí)際背景可以使學(xué)生更關(guān)注數(shù)學(xué)的含義增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解。實(shí)際背景也對學(xué)生的問題解決提出了許多新的要求。首先學(xué)生會用數(shù)學(xué)的“眼光”來看現(xiàn)實(shí)生活中的問題，建立數(shù)學(xué)形式符號與實(shí)際內(nèi)容之間的聯(lián)系。其次，要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際的背景來處理數(shù)學(xué)問題。

8.2.2.5知識豐富今年來，問題解決研究的一個(gè)新動(dòng)向是區(qū)分出了“知識豐富領(lǐng)域的問題解決”和“知識貧乏領(lǐng)域的問題解決”。解決“知識貧乏”的問題的策略一般比較貧乏，主要是一些弱方法，如試誤法，目的——手段分析法和倒推法。而在“知識豐富”的學(xué)科領(lǐng)域，不僅需要更過的機(jī)遇學(xué)科知識的問題解決策略，知識本身也是一種基本的問題解決工具。也正因?yàn)槿绱?，匈菲爾德在討論影響?shù)學(xué)問題解決的因素時(shí)，把知識基礎(chǔ)作為其中的一個(gè)重要部分。與數(shù)學(xué)問題解決相關(guān)的知識包括：有關(guān)事實(shí)與概念的知識有關(guān)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)和關(guān)系的知識有關(guān)方法與策略的知識有關(guān)推理與論證的邏輯知識顯然，上述只是對數(shù)學(xué)問題解決有重要的影響，也正因?yàn)槿绱耍恍﹪业男牡臄?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)開始強(qiáng)調(diào)“概念理解、技能訓(xùn)練與問題解決三者之間的平衡”?！?.3影響數(shù)學(xué)問題解決的主要因素問題解決是人類的一種復(fù)雜的心理活動(dòng)，相關(guān)因素也是多種多樣的。從已有的研究情況看，大體上可以分為兩類：內(nèi)部因素和外部因素內(nèi)部因素外部因素知識基礎(chǔ)解題策略元認(rèn)知信念動(dòng)機(jī)對問題的熟悉程度環(huán)境因素題型問題的特點(diǎn)結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度問題情境影響問題解決的因素

關(guān)于影響問題解決的內(nèi)部因素，將在本屆的幾個(gè)小結(jié)中重點(diǎn)討論。這里先簡要介紹幾個(gè)外部因素及其相關(guān)的研究：對問題的熟悉程度、環(huán)境因素、題型、問題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)、復(fù)雜程度、問題情境。下面，將按照匈菲爾德給出的框架從四個(gè)方面討論影響數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)部因素。

8.3.1知識基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)，即解題者的先前知識及其表征。關(guān)于數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)的研究主要涉及以下幾個(gè)問題：

8.3.1.1哪些知識對問題解決有重要的影響

喬納森等人認(rèn)為，問題解決者至少應(yīng)該擁有三個(gè)方面的知識：陳述性知識、結(jié)構(gòu)性知識和程序性知識。斯密斯認(rèn)為影響問題解決的主要有兩類知識：有關(guān)一般解題程序的知識和專業(yè)領(lǐng)域的知識。梅爾通過對解題過程的分析，將解題時(shí)所需的知識分為以下常規(guī)程序；相關(guān)能力；關(guān)于學(xué)科表述規(guī)則的能力。五個(gè)范疇：（1）語言知識（2）語意知識（3）圖式知識（4）策略性知識（5）程序性知識對于數(shù)學(xué)問題解決而言，匈菲爾德認(rèn)為，必要的知識基礎(chǔ)包括：關(guān)于該領(lǐng)域的非正式的直覺的知識；事實(shí)、定義等；算法；

8.3.1.2數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)對問題解決有什么意義首先，研究表明，要成為某個(gè)領(lǐng)域的專家，一般需在長時(shí)記憶擁有大約50000個(gè)知識塊，這些知識塊是該領(lǐng)域neu進(jìn)行思維操作的具體對象，而且有許多情況看似在運(yùn)用側(cè)羅，實(shí)際上是在運(yùn)用這類已相當(dāng)完善的知識快。其次，數(shù)學(xué)作為一種關(guān)于迷失的科學(xué)，其知識本身往往就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的各種思維模式。此外，數(shù)學(xué)問題解決的最基本的形式是化歸。

8.3.1.3數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)是如何形成的？已有的教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明：一般的學(xué)生在知識的掌握上并沒有困難，困難的是知識在解決問題中的運(yùn)用，爾影響知識運(yùn)用的一個(gè)很重要的因素就是知識的形成過程。在數(shù)學(xué)知識的形成過程中應(yīng)注意一下幾點(diǎn)：首先，使知識的形成過程稱為一種問題解決的過程。其次，要注意知識之間的聯(lián)系。再次，應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。最后，要注意對數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)的積累此外，還應(yīng)正確對待題型的功能。問題解決教學(xué)的核心是：當(dāng)我們不知道作什么的時(shí)候怎么去做，而題型教學(xué)的結(jié)果是準(zhǔn)確的知道做什么。8.3.1.4數(shù)學(xué)知識的組織與表征對問題解決有什么影響研究表明，除了相關(guān)的知識外，解題者原有的知識的表征也將直接影響到問題的解決的成效。匈菲爾德的研究也表明，學(xué)生在問題解決中之所以失敗，常常不失因?yàn)槿狈ο嚓P(guān)的知識，而是對知識的無效運(yùn)用。

按照認(rèn)知理論的觀點(diǎn)，問題解決的主要側(cè)羅是模式識別，爾模式識別的前提是知識的良好組織。波利亞對數(shù)學(xué)知識的組織提出了一下的建議：在任何主題中，都會有一些關(guān)鍵事實(shí)。例如，在初等幾何的研究中，三角形的全等和相似的判定法則就是關(guān)鍵的事實(shí)。應(yīng)當(dāng)把這些關(guān)鍵的事實(shí)放在記憶庫的最前面。應(yīng)當(dāng)把過去解過的具有相同類型未知量的問題和過去證明過的具有相同結(jié)論的定理設(shè)法“儲存在一起”概括一下有關(guān)的問題也許能使知識的組織稿得更好一些。8.3.2解題策略受笛卡爾的《思考規(guī)則》和波利亞的《怎樣解題》的影響，解題策略始終是數(shù)學(xué)問題解決研究的核心內(nèi)容。從已有的研究看，數(shù)學(xué)問題的解題策略答題上有四個(gè)層次：（1）一般的思維方法（2）一般的探索策略（3）數(shù)學(xué)的思想方法（4）數(shù)學(xué)的解題技巧.i研究表明，一個(gè)失敗的解題者與成功的解題者，其最大的差異在于采取的解題策略。

8.3.2.1心理學(xué)界關(guān)于模式識別的假說按照心理學(xué)的觀點(diǎn)，問題解決的事實(shí)是模式識別。所謂模式是指若干個(gè)元素或成分按照一定關(guān)系形成的某種刺激結(jié)構(gòu)，也可以說是刺激的組合。“模式識別過程就是感覺信息與嘗試記憶中的項(xiàng)目有著最佳匹配的過程”其匹配方式有以下幾種說法:1問題解決的模板說2問題解決的原型說3問題解決的特征分析說以上說法雖然目前仍無定論，但多少解釋了問題解決策略的心理機(jī)制。8.3.2.2數(shù)學(xué)問題解決的基本策略從波利亞開始，數(shù)學(xué)教育界就開始提煉數(shù)學(xué)問題解決的各種策略，具體設(shè)計(jì)兩個(gè)層次。第一個(gè)層次是數(shù)學(xué)問題解決的一般策略在這方面的研究中，最著名的當(dāng)屬匈菲爾德的工作。匈菲爾德在波利亞的基礎(chǔ)上，通過大連的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，提出如下一些問題解決的一般策略：表8-7

分析1如果可能的話，畫張圖2驗(yàn)證特殊情形：選擇特殊值檢查極端情形，探究允許范圍對自然數(shù)問題考慮1、2、3的情況，尋找歸納模式。3簡化問題，通過考慮對稱性利用“不失一般性”的論斷

探究1考慮等價(jià)問題講條件等價(jià)變換按照不同途徑重新組合問題的元素

引進(jìn)輔助元素重新表述問題，通過：改變屬性或者術(shù)語；從反面考慮；假設(shè)結(jié)論成立，研究它的性質(zhì)。2對問題進(jìn)行微調(diào)選擇子目標(biāo)放寬條件，然后重新加上分解情況，逐一解決3較大地調(diào)整問題構(gòu)造一個(gè)變量較少的同類問題固定其他因素，只讓一個(gè)量變化討論相關(guān)的問題，它是：條件相似，形式相似或者結(jié)論相似檢驗(yàn)1你的解答是否通過下面的特殊性的檢驗(yàn)：它利用了所有相關(guān)餓數(shù)據(jù)嗎？它符合合情的估計(jì)和預(yù)測嗎？

它經(jīng)得住對稱性、維度和范圍的檢驗(yàn)嗎？2你的解法是否通過下面一般化的檢驗(yàn)：有別的解題途徑嗎？在特殊情形中它能成立嗎？它能簡化為已知的結(jié)果嗎？它能用來產(chǎn)生你所熟悉的結(jié)果嗎？與匈菲爾德不同的是，前蘇聯(lián)的學(xué)者往往從邏輯的角度去考察問題解決的策略，例如，奧加涅相根據(jù)解題的四個(gè)階段：理解習(xí)題的條件、指定解題計(jì)劃、實(shí)行解題計(jì)劃、研究所得的解，分別給出了一系列的解題策略，其中在理解習(xí)題的條件階段常用的策略是：1開始研究題的條件時(shí)，你應(yīng)當(dāng)仔細(xì)做出直觀的圖形、平面圖、表格或者說明問題的草圖，以幫助你思考問題。2清晰地理解題的情景中的各個(gè)元素；一定要弄清其中那些元素是給定了的，哪些是所求的.3深入地思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)此的意義；盡量找出題的重要元素，在圖上用直觀的赴考標(biāo)出一直元素和未知元素。4盡可能從整體上理解題的條件，找出它的特點(diǎn)。5仔細(xì)想想題的敘述是否可以做不同的理解，題的條件中是否有多余的，互相矛盾的東西，是否缺少什么條件。6認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。7如果在階梯式有可能使用你熟悉的某種一般的數(shù)學(xué)方法，盡可能使用哪種方法的語言表示題的元素。而在制定計(jì)劃階段常用的策略為：1想法設(shè)法將所給的題同你會解的某一類題聯(lián)系起來。2要記住，題的目標(biāo)是尋找解答的主要方向3將所得到的局部的結(jié)果通體的條件目標(biāo)作比較，用這種方法警察檢查解題的意圖是否合理。4試試能不能部分改變題目，而且將與該題有關(guān)的概念用它的定義來替換。5將題的體檢分成幾個(gè)部分；盡可能將這幾個(gè)部分構(gòu)成一個(gè)新的組合。6試試能不能將所給的題目分解成一串輔助問題，一次回答解答這些輔助問題就可以構(gòu)成所給問題的解。7研究提的某些部分的極限情況，看看這樣會對題的基本目標(biāo)有什么影響。8改變題的某一部分，看看這樣改變會對題的其他部分有什么影響。9如果所給題解不出來，你可以從課本或者科普書籍中找一個(gè)與所給題目相似、但已經(jīng)給出解答的題。第二個(gè)層次是解決各類數(shù)學(xué)問題的具體策略。這類策略一方面與數(shù)學(xué)內(nèi)容和問題類型相關(guān)，如解決平面幾何問題的一般策略；另一方面，與解答者的認(rèn)知水平和思考習(xí)慣有聯(lián)系。

8.3.2.3數(shù)學(xué)問題解決策略的可教性回顧數(shù)學(xué)問題解決的研究歷程可以看到，早期的研究往往都集中在問題解決的策略上，從20世紀(jì)80年代中期以后，關(guān)于解題策略的研究開始側(cè)重于教學(xué)方面。關(guān)于數(shù)學(xué)解題策略的形成，匈菲爾德的研究表明：1任何解答問題者都會積累起一定的解題策略。2這種解題策略盡管是個(gè)人特有的，在總體上——特別是成功的解題者，即如數(shù)學(xué)家而言——卻又表現(xiàn)出很大的一致性。3解題者，特別是較為成熟的解題者，可以通過自我反省獲得對自己所積累的解題策略的自覺認(rèn)識，并用明確的語言進(jìn)行刻畫。4不同的領(lǐng)域往往有不同的解題策略；一個(gè)良好的解題策略的形成往往取決于三個(gè)元素：知識結(jié)構(gòu)、信息加工方式和非智力因素。

關(guān)于解題策略的教學(xué)，自然應(yīng)該從：“通性說法”教起。有關(guān)解題策略的教學(xué)研究通常都采用如下的方法：首先設(shè)計(jì)一套思維策略的訓(xùn)練程序，選擇某些學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，然后比較訓(xùn)練與未接受訓(xùn)練的人在解決相似和不想死問題的能力變化。此外，對絕大多數(shù)學(xué)生而言，解題策略的掌握并不難，困難的是辨認(rèn)有效使用策略的條件和從幾條策略中選擇特殊的策略。因此重要的是教會學(xué)生：確認(rèn)——一條策略什么時(shí)候是有效地；從幾條可用的策略中選擇最恰當(dāng)?shù)囊粭l；正確地運(yùn)用策略，不幸的是目前大多數(shù)家偶爾只關(guān)心如何正確運(yùn)用策略。因此，掌握一定的探索策略僅僅是成功的一個(gè)因素，選擇并追尋正確的途徑，即時(shí)從不恰當(dāng)?shù)倪x擇中擺脫除開，以及監(jiān)控和整體把握問題解決的整個(gè)過程同樣是重要的問題解決既需要豐富的資源，也需要效率，這就是“元認(rèn)知”方面要研究的問題。問題解決過程中的策略選擇原始狀態(tài)策略的一種潛在的更多的目標(biāo)合情選擇臺階臺階8.3.3元認(rèn)知事實(shí)上，很多致力于改善學(xué)生的解題行為的努力之所以未能取得成功，就是因?yàn)橛嘘P(guān)的教學(xué)過分地強(qiáng)調(diào)了啟發(fā)法能力的發(fā)展，而忽視了對于調(diào)整個(gè)人行為來說十分必要的調(diào)節(jié)能力。匈菲爾德的研究表明，學(xué)生在問題解決中只隨意失敗，常常不是因?yàn)槿狈ο嚓P(guān)的知識和認(rèn)知策略，而是對知識和認(rèn)知策略的無效運(yùn)用。其他研究也表明，元認(rèn)知可以幫助解題者監(jiān)控和調(diào)整自己的認(rèn)知過程，評估不同的解題思路，理解各種解題策略，以及先前知識的提取與運(yùn)用。因此，從20世紀(jì)80年代中期以后，在認(rèn)知科學(xué)的帶動(dòng)下，數(shù)學(xué)問題解決的研究開始考慮解決問題過程中的監(jiān)控和調(diào)節(jié)問題，從冠以上說，考慮元認(rèn)知問題，目前的一個(gè)普遍觀點(diǎn)是，元認(rèn)知是問題解決的一個(gè)必要成分。8.3.3.1影響數(shù)學(xué)問題解決的元認(rèn)知成分匈菲爾德在討論元認(rèn)知對數(shù)學(xué)問題解決的影響時(shí)，涉及了以下三個(gè)方面的元認(rèn)知成分：（1）個(gè)體對自己的認(rèn)知特點(diǎn)的認(rèn)識；（2）個(gè)體的自我調(diào)節(jié)程序，包括對認(rèn)知過程的監(jiān)督和即時(shí)作出決策；（3）個(gè)體對認(rèn)知過程的反思和評價(jià)斯滕伯格提出了七項(xiàng)影響問題解決的認(rèn)知成分：（1）確定需要加以解決的問題；（2）選擇一個(gè)較低層次的組成要素；（3）選擇一個(gè)活多個(gè)信息表征或者組織的方式；（4）選擇一個(gè)較低層次組成的策略來加以結(jié)合（5）決定注意的范圍與實(shí)踐的分配；（6）監(jiān)控解題的過程；（7）對外在的回饋要有所感應(yīng)。舍穆曼從四個(gè)方面：為什么（W-Why)、怎么樣（H-How)、是什么(W-What)以及在哪里(W-Where)給出客元認(rèn)知所謂的WHWW結(jié)構(gòu)。萊斯特則認(rèn)為，元認(rèn)知是伴隨認(rèn)知過程發(fā)生作用的，因此，在他的認(rèn)知——元認(rèn)知模型中，通過例子說明元認(rèn)知伴隨認(rèn)知活動(dòng)的情況。由于元認(rèn)知是對自身認(rèn)知過程的一種認(rèn)識，因此在考察元認(rèn)知對問題解決的影響時(shí)，自然離不開問題解決的認(rèn)知過程，但是從教學(xué)和研究的角度出發(fā)，也需要將這些元認(rèn)知成分從認(rèn)知過程中剝離出來，上述幾種對元認(rèn)知成分的分類都有一定的參考價(jià)值。

8.3.3.2元認(rèn)知策略的教學(xué)

首先來考察元認(rèn)知的可教性問題。國外的許多試驗(yàn)研究都表明，針對元認(rèn)知策略的轉(zhuǎn)向教學(xué)是有成效的，而且可以促進(jìn)學(xué)生的問題解決表現(xiàn)。萊斯特等人曾做過一次大規(guī)模的調(diào)研工作，對初中生進(jìn)行了介入教學(xué)研究。他們還列出了教師做到的行為。解題課上要求教師具備的教學(xué)行為教學(xué)行為目的

解題前1把問題讀一下——討論一下學(xué)生向?qū)W生說明仔細(xì)審題的重要性；可能不裂解的一些詞匯和詞語。集中于特殊詞匯2全班討論理解題意的重要性集中于重要數(shù)據(jù)，澄清過程3（供選擇）讓全班討論可能用到的引出可能的解決問題的思想解題策略

解題中4通過觀察和提問的方式確定學(xué)生的判斷學(xué)生在解題中的成功與不足解題進(jìn)展之處5提供必要的提示幫助學(xué)生排除各種障礙6對問題進(jìn)行必要的展開要求提前完成的學(xué)生做概括7要求已經(jīng)找到答案的同學(xué)“回答問題”要求學(xué)生再仔細(xì)檢查一下，看看自己是否真的做對了

解題后8將學(xué)生的各種答案提出來進(jìn)行討論向?qū)W生講解在解題中各種策略9聯(lián)系先前解答過的問題讓學(xué)生進(jìn)一步向?qū)W生掩飾解題策略的通用性開展10討論一些特殊的特征，如圖形向?qū)W生之處某些特征是如火熱