高中數(shù)學人教A版第三章函數(shù)的應用函數(shù)與方程 同課異構

函數(shù)與方程的綜合應用一、學習引領1.函數(shù)的零點與方程的根的關系：一般地，對于函數(shù)（）我們稱方程的實數(shù)根也叫做函數(shù)的零點，即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值.求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數(shù)就是求函數(shù)的零點.2.函數(shù)的圖像與方程的根的關系：一般地，函數(shù)（）的圖像與軸交點的橫坐標就是的根.綜合方程f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù)y＝f(x)與y=g(x)的圖像的交點或交點個數(shù)，或求方程的圖像與軸交點的橫坐標.3.判斷一個函數(shù)是否有零點的方法：如果函數(shù)在區(qū)間上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，即至少存在一個數(shù)使得，這個c就是函數(shù)的零點.對于我們學習的簡單函數(shù)，可以借助圖像判斷解的個數(shù)，或者把寫成，然后借助、的圖像的交點去判斷函數(shù)的零點情況.4.二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關系：二次函數(shù)的零點，就是二次方程的根，也是二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標.5.二分法：對于區(qū)間上的連續(xù)不斷，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.二、疑難解析1.關于函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，也就是與函數(shù)圖像的交點的橫坐標.要深刻理解，解題中靈活運用.2.如果二次函數(shù)，在閉區(qū)間[m,n]上滿足，那么方程在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.3.二次方程的根在某一區(qū)間時，滿足的條件應據(jù)具體情形而定.如二次方程＝的根都在區(qū)間時應滿足：4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是（1）取一個區(qū)間（）使（2）取區(qū)間的中點，（3）計算，①若，則就是的解，計算終止；②若，則解位于區(qū)間（）中，令；若則解位于區(qū)間（）令（4）取區(qū)間是（）的中點，重服第二步、第三驟直到第n步，方程的解總位于區(qū)間（）內(nèi)（5）當精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近似解.三、典例導析1、函數(shù)方程中參數(shù)問題：例1、已知有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求的取值范圍.思路導析：根據(jù)方程，可創(chuàng)設函數(shù)，利用函數(shù)的性質求解。解：設，（1）當＝0時方程的根為－1，不滿足條件.（2）當≠0∵有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)又＝1＞0∴有兩種可能情形①得＜－2或者②得不存在，綜上所得，＜－2規(guī)律總結：對于一般，若，那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點，但不一定唯一.對于二次函數(shù)，若則在區(qū)間（a,b）上存在唯一的零點，一次函數(shù)有同樣的結論成立.2、利用二分法解決問題例2、試確定方程最小根所在的區(qū)間，并使區(qū)間兩個端點是兩個連續(xù)的整數(shù).思路導析：只要構造函數(shù)＝，計算的自變量取整數(shù)值時的函數(shù)值，根據(jù)其符號，確定方程根的個數(shù)及根的分布.解：令＝∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0＝－16－4＋8＋2＝－10＜0＝－2－1＋4＋2＝3＞0＝0－0－0＋2＝2＞0＝2－1－4＋2＝－1＜0＝16－4－8＋2＝6＞0根據(jù)·＜0，·＜0，·＜0可知的零點分別在區(qū)間（－2，－1），（0,1），（1,2）內(nèi).因為方程是一個一元三次方程，所以它最多有三個根，所以原方程的最小根在區(qū)間（－2，－1）內(nèi).規(guī)律總結：計算一元高次函數(shù)值可借助于計算器來完成，在實數(shù)范圍內(nèi)一元n次方程最多有n個實根，當然本題也可以用因式分解方法來解.3、有關二次函數(shù)的求解問題：例3、已知函數(shù)，且方程有實根.(1)求證：-3<c≤-1,b≥0.(2)若m是方程的一個實根，判斷的正負并加以證明思路導析：（1）題中條件涉及不等關系的有和方程有實根.及一個等式，通過適當代換及不等式性質可解得；（2）本小題只要判斷的符號，因而只要研究出值的范圍即可定出符號.證明：(1)由，得1+2b+c=0,解得，又，1，解得，又由于方程有實根，即有實根，故即解得或∴，由，得≥0.（2）=∵，∴c<m<1（如圖）∴c—4<m—4<—3<c.∴的符號為正.規(guī)律總結：二次函數(shù)值的符號，可以求出其值判斷，也可以靈活運用二次函數(shù)的圖像及性質解題.四、隨堂練習1．當時，函數(shù)的值有正值也有負值，則實數(shù)的取值范圍是（A． B． C．D．2．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則()A．1B．C．D．3．已知函數(shù)滿足，且∈[－1,1]時，，則與的圖象交點的個數(shù)是(A．3B．4C．5 D4．已知函數(shù)的圖象如下，則（）A．B．C．D．5．是方程的解，則這三個數(shù)的大小關系是6．關于x的不等式，當時恒成立，則實數(shù)的取值范圍為7.已知函數(shù)若則與的大小關系為8．已知函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，求這個公共點的坐標．9．已知，t∈[，8]，對于值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求的取值范圍．10．已知函數(shù)(（1）求證：在(0,+∞)上是增函數(shù)；（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范圍；（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范圍函數(shù)與方程的綜合應用答案解析四、隨堂練習1．提示：由題意得，設，則，故選D。2．提示：由題意，等差數(shù)列的首項為，四項的和為4，設公差為d，則解得：，故該數(shù)列的四項為：．3．提示：由知故是周期為2的函數(shù)，在同一坐標系中作出與的圖象，可以看出，交點個數(shù)為4．4．提示：，．當時，，當時，，∴，故，答案為A．5．提示：在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖象，可以看出：，，∴，∴6．提示設，則t∈［1，3］，原不等式可化為：，等價于大于的最大值∵在[1，3]上為減函數(shù)，∴∴，解得：．7.提示：其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為，∵，與的中點在(－1，)之間，∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，∴，答案為A．8．解：由，得因為兩個圖象只有一個公共點，所以，解得：當時，，；當時，當時，公共點的坐標是；當時，公共點的坐標是．9．解：∵t∈[，8]，∴∈[，3]，∴∈[，3]．原題轉化為：>0恒成立，當時，不等式不成立．∴，令，m∈[，3]，則：，解得：．∴的取值范圍為．10．解：（1）證明任取∵，∴，，∴，即，故在(0,+∞)上是增函數(shù)（2