高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理單元測(cè)試 精品獲獎(jiǎng)

1.3二項(xiàng)式定理第二課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)(1)了解楊輝三角的構(gòu)成；(2)會(huì)用二項(xiàng)式系數(shù)的常見(jiàn)性質(zhì)；(3)能應(yīng)用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和差問(wèn)題.2．基礎(chǔ)預(yù)探1．二項(xiàng)式系數(shù)組成的楊輝三角：其規(guī)律是：表中每行兩端都是1，而且除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的.事實(shí)上，設(shè)表中任一不為1的數(shù)為，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為和，由組合數(shù)的性質(zhì)可知：+.2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱性：與首未兩端的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.（2）增減性與最大值：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值.（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：，，二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.二項(xiàng)式的系數(shù)和的意義二項(xiàng)式系數(shù)和可以這樣理解記憶：若集合S含有n個(gè)元素，那么它的所有子集的個(gè)數(shù)為2n個(gè)，也即從n個(gè)不同元素中每次取出0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)……n個(gè)元素的所有集合數(shù)的總和為2n個(gè).寫成式子即.2.二項(xiàng)式定理中賦值法的應(yīng)用由于二項(xiàng)式定理表示的是一個(gè)恒等式，在二項(xiàng)展開(kāi)式中，有關(guān)系數(shù)和或組合數(shù)和的問(wèn)題，可對(duì)照二項(xiàng)展開(kāi)式，對(duì)ａ、ｂ賦以特殊值，從而得到不用的組合.一般常見(jiàn)的賦值有三種，將二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的未知數(shù)都賦值為1可以得到所有項(xiàng)的系數(shù)和，賦值為-1得到奇次項(xiàng)與偶次項(xiàng)的系數(shù)差，賦值為0則可得到常數(shù)項(xiàng).根據(jù)題目的需要，可以賦一個(gè)值或者多個(gè)值進(jìn)行構(gòu)造.奇次項(xiàng)的系數(shù)和為，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為.三、典例導(dǎo)析題型一二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題例1已知展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,求展開(kāi)式中的系數(shù).思路導(dǎo)析：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求得n的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式求得的系數(shù).解:由展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和,所以有.所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.規(guī)律總結(jié)：要記住常見(jiàn)的三個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)和：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和、偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和都為.常利用上述公式直接求得某二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)和或者逆用求得二項(xiàng)式n的值.變式訓(xùn)練：在展開(kāi)式中,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為1024,則中間項(xiàng)系數(shù)是___________.題型二賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和例2若,則思路導(dǎo)析：只需令x=1可得，再令得，從而可以構(gòu)造得到.解：令，令得所以方法規(guī)律：賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和差問(wèn)題的重要手段，許多復(fù)雜的與系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題均可通過(guò)簡(jiǎn)單的賦值得到解決，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況.一般情況下賦值優(yōu)先考慮0，等幾個(gè)特殊值.變式訓(xùn)練：已知其中是常數(shù),計(jì)算題型三：有關(guān)系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題例3求的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).思路導(dǎo)析：二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)就是中間那項(xiàng)對(duì)應(yīng)的組合數(shù)，但系數(shù)的最大值還要分析式子的正負(fù).解：由于展開(kāi)式中共有11項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，且中的二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù)，此時(shí)的系數(shù)最小.而，，且所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第7項(xiàng).方法規(guī)律：（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，還需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)的變化情況分析.變式訓(xùn)練：已知展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和比展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和大,求展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)量小的項(xiàng)四、隨堂練習(xí)1．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若只有的系數(shù)最大，則（）A．8B.9C.10D.112．二項(xiàng)展開(kāi)式中與第r項(xiàng)系數(shù)相等的項(xiàng)是()A.第n-r項(xiàng)B.第n-r-1項(xiàng)C.第n-r+1項(xiàng)D.第n-r+2項(xiàng).3.若，則的值為（）ABCD4.若展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則5.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個(gè)數(shù)是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……6.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，（1）求二項(xiàng)式系數(shù)之和（2）求各項(xiàng)系數(shù)之和（3）求奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和五、課后作業(yè)1對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式，下列結(jié)論中成立的是（）A中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大C中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最小D中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)互為相反數(shù)2．若的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為（）．ABCD3．滿足的最小偶數(shù)n是（）A8B10C12D144．如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角形中，第行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2：3.5．設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若MN=240，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________6.已知的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和比展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和小120，求第一個(gè)展開(kāi)式的第三項(xiàng).參考答案1.3二項(xiàng)式定理第二課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．基礎(chǔ)預(yù)探1．和2．“等距離”2n2n-12n-1三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練答案：462解：由已知可得,,所以中間項(xiàng)系數(shù)是.例2變式訓(xùn)練解析：設(shè)，令，得.令，得..例3變式訓(xùn)練解析：由題意可知解之得.的通項(xiàng).當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)最大，即為展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)最小，即為展開(kāi)式中的系數(shù)最小的項(xiàng)四、隨堂練習(xí)1．答案：C解析：只有的系數(shù)最大，是展開(kāi)式的第6項(xiàng)，第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，展開(kāi)式共有11項(xiàng)，故n=102．答案：D解析:因第r項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,所以它是第n-r+2項(xiàng).3.答案：A解析：4.答案：5解析：令得；5.答案：，32解析：由觀察可知，全行都為1的是第行；因?yàn)?，所以故?3行共有64個(gè)1，逆推知第62行共有32個(gè)1，第61行共有32個(gè)1.6.解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和為：（2）設(shè)，令得：，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為：（3）令，則有：，①又，②由①+②，得：所以奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和五、課后作業(yè)1．答案：B解析：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知選B.2．解析：，令，解得；再令，得.3．答案：C解析：因?yàn)樗?，所以所以最小值偶?shù)n為