5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算 高考復(fù)習(xí)

平面向量概念及線性算．向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．零向量：長(zhǎng)度為0向量，其方向是任意的．單位向量：長(zhǎng)度等于1單位的向量．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算加法減法數(shù)乘

定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算求與b的反向量－的的運(yùn)算求實(shí)數(shù)與量積的運(yùn)算

法則或幾何意義a＝λ>0時(shí)a與a的方向相同；當(dāng)時(shí)λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)λ＝0

運(yùn)算律交換律：＋＝＋a結(jié)合律：ab)＋＝＋(b＋)ab＝a(－)λ(μa)＝λ)a＋a＝λa＋；λ(ab＝a＋b向量共定理向量b與零向量共線的充要條件是有且只一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得＝a.概念方法微思考．線，則存在實(shí)數(shù)λ使＝a對(duì)嗎？提示不，因?yàn)楫?dāng)a，≠，不存在λ滿足b＝.．何理解數(shù)乘向量？提示λa的?。溅薬，向要分類討論：當(dāng)時(shí)，λ與a同向當(dāng)λ<0時(shí)λa

與方向；當(dāng)＝0或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)λa為向量，方向不確．．何理解共線向量定理？提示如＝b，則a；之，如果ab，b≠0則一定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得＝題組一思考辨析．?dāng)嘞铝薪Y(jié)論是否正請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小(√)與是相等與，的向無關(guān)(√)若a∥，b∥c則∥×)→→若向與向量CD是共線向量，則A，，C，四在一條直線上．(×)當(dāng)兩個(gè)非零向量ab共線時(shí)，一定有＝a，反之成立．(√)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反(×)題組二教材改編→→→4已ABCD的角線AC和BD相于點(diǎn)O＝a＝C＝________，→＝________.(用，表)答案b－－→→→→解析ABOAb→→→→→ab→→→→[P108B組T5]在行四邊形ABCD，ABAD＝AB－AD，四邊形ABCD的狀為．答案矩→→→解析AB→→→ADDB→→|AC|

3122123212131221232121ABCD題組三易錯(cuò)自糾．于非零向量ab，“＋b0”是“∥”()A充分不必要條件C．要條件

B必要不充分條件D．不分也不必要條件答案A解析b0ab∥abb0．向量，不平行，向量a＋b與＋2b行，則實(shí)數(shù)＝____________.答案

解析∵a2b0λabμλabμab)λaba

λμ

2→→→設(shè)DE分是的邊BC上點(diǎn)ADBE若D＝ABλ(λ，λ為數(shù)，則λ＋λ的值為．答案

→→→→2→解析DEDBBC2→→→2→AB(BAACAB31∴，，λ題型一平向量的概念．出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若與b共，與c共線，則a與c也線→→③若，，CD是共線的四點(diǎn)，A＝，則ABCD為行四邊形；④a＝的要條件＝b且ab；⑤已知，μ實(shí)數(shù)，若λ＝b，則與b共．其中真命題的序號(hào)是．答案③解析①

②b0a→→→→→→③ABDCAB|DC∥DCAD④abbab|∥ab⑤λbλμa③.．?dāng)嘞铝兴膫€(gè)命題：①若ab則＝；②若＝b，則＝b③＝b，∥b；④若ab，則a＝|.其中正確的個(gè)數(shù)是()A1B2．3D．答案A解析④思維升華向有關(guān)概念的關(guān)鍵向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制．相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是，規(guī)定零向量與任何量共線．題型二平向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)向量加、減法的何意義例全國(guó))非零向量，滿＋＝－b，則()AabC．a(chǎn)∥答案A解析方法一∵a∴a.∴a2a·b2.∴a·b∴a⊥b

Ba＝D．b

A.方法二→→ABCDABaAD→→aa|AC⊥AD⊥.A.命題點(diǎn)向量的線性運(yùn)算例運(yùn)城模擬)在平行四邊形中點(diǎn)為CD的點(diǎn)BE與的點(diǎn)為F，→→→設(shè)ABa，＝，向B等于()2a＋3C．a(chǎn)b

B－a2a3答案→→2→→解析BFBE)123C.→全Ⅰ在ABC中，為BC邊的中線E為AD中點(diǎn)，等于)→1→1→→AB－B.AB－AC444→1→1→→C.＋ACD.＋444答案A解析→→→1→→EDDBADCB→→1→→×((221AB.

A.命題點(diǎn)根據(jù)向量線性運(yùn)求參數(shù)→→→→→例在角中CM3MB，AM＝xAB＋yAC則＝________.y答案→→→→解析ABAM)→→→AM3→→1→AMx，y.4xy思維升華平向量線性運(yùn)算問的常見類型及解題策略向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則求已知向量的和．共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．→→→→→跟蹤訓(xùn)練(1)在△中，點(diǎn)D分別在邊AC上BDDCCE，＝→→，AC，則等于()5a＋b125C．a(chǎn)12答案→→→1→3→解析DECECA

13－b12D．＋→→→AC)AC→5→5ABC.123→→威模在平行四邊形中E，分為邊，CD的點(diǎn)，若A＝xAE＋→yAF(x，y∈R)，則－y

→→y→→yx答案→→→→1→解析AABAB→→→→→ADDFAD→→→AyAFyAABy

→AD1

xy題型三共定理的應(yīng)用例設(shè)個(gè)零向量與不線．→→→若＝a＋＝2＋8b，＝－)，求證：A，B，三共線；試確定實(shí)數(shù)，使a＋和＋k共線．→→→證明∵ABab2a8CDa)→→→∴BCCDb)→28ab5(ab→→∴ABBD∵B∴ABD解abλkaλ(ab)()(λk1).ab∴kλλk0.k0∴±1.引申探究→→若將本例(1)中“BC2a＋8”改為“＝＋mb”m為值時(shí)D三共？→→解CD(m)3(a)a(3)→B4a(mb

111211→→ADBDλAB.4a(b(ab)

7.m7AD．若將本例(2)中的“共線”為反向共”則k為何值？解

kaakλkabλk)(<0)

kλkk1思維升華證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．向量ab線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λλ，使λa＋λb＝0立；若λ＋b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝0時(shí)立，則量，不線．→→→跟蹤訓(xùn)練已，B是共線的三點(diǎn)，且O＝mOA＋nOB(m，∈R)．若mn＝，求證：，P三共線；若A，，三共線，求證＋n證明

(1)→→→→→→OPmOAm)OB)→→→→∴OPmOB→→→→BPmBABP→→∵BAB→→AλPλBA→→→→∴OPOB→→→OPmOA.→→→→mOA(n1)OB→→()(OB0→→∵OAB∴OB

∴

∴mn

．于非零向量ab，“＋2＝”是“a∥”()A充分不必要條件C．要條件

B必要不充分條件D．不分也不必要條件答案A解析2b0b∥ab2→→→．知向量＝ab，BCa＋3b，CD－＋，則()A，，三共線C．，，D三共線

B．，，三共線D．B，C，D三共答案B→→→→解析∵BDCDab2→→→→∴ABDDB.如在正方形ABCD中點(diǎn)是DC的點(diǎn)點(diǎn)F上的一個(gè)靠近點(diǎn)B的等分點(diǎn)，→那么E等于()→1→AB－AD3→1→C.＋2

→1＋2→－3答案D→→→解析△EFECCF.→→EDCDCB→2→CF.

→→→→1→1→→)→→→→1→1→→)6→1→→→2→EDCABDA2→ABADD.→→→→1→．唐山模擬在△中點(diǎn)滿GA＋GB＋＝若存在點(diǎn)O，使得G，→→→且A＝mOB＋nOC，則－n等于()A2B－2．1．－1答案D→→→解析∵GA→→→→→→∴OAOBOC∴OG→1→3→OOCOB1∴，，mnD.2→→→如，知AB圓O的徑，點(diǎn)D是圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)＝＝，D等于()AaC．a(chǎn)＋

－ab答案D解析CDCAOC∠∠BOD60°△OCDOOACD→→→1→ADAOACABbD.2→→→→2→如，ABC中ANACP是的一點(diǎn)，若＝mABAC，則實(shí)數(shù)m的值為()

C.

答案B解析N→→→→6→AmABACmm11→→→→→→．＝＝ABAC＝2則AB＝答案→→→→解析ABABAC△2→→|△ABC→→|23.→→→→→．點(diǎn)是ABC所平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿－OC＝OB－2OA，eq\o\ac(△,則)形狀為．答案直三角形→→→→→→→解析B2OAOBOAOC→→→→→→→OB→→→→|AC→→AB0→→AB△→→→→→M是△ABC的上的一點(diǎn)M3MBAMλAB＋λ的為．答案

CM解析MMNNMB

11211111121111

MNBNBM1，ACBA4AN3AB→→→→→→→AλABACANNMABAC.→→．州質(zhì)檢已知為面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量＝2e－，NPλe＋，若MN，P三共線，則λ答案－解析M→→kNP3e(λe

λ4.→→→11如圖所示，設(shè)O是△部一點(diǎn)，OAOC－OB與的積之比．解DOD→→→OA2→→∴OBOD∴

aDDC(AD)k222→→→111aDDC(AD)k222→→→1112213∴2eq\o\ac(△,)∴△∶→12.如圖所示，在△ABC，，分是，AC的中點(diǎn)與交點(diǎn)，設(shè)AB＝，→→＝，試用ab表示向量.解

方法一D→→→→112kakb(k)1→→→→BOkk()k

bakakbk)①222BBDDOakakb(1b②1①②kb(1ak21(1kakkb0.1abk21

123→2BO3→→→AO1a()方法二AOEABC→2→21→→1AOAE×()a)

m→1→1→m→1→1→→→→．圖所示，矩形ABCD的角線相交于點(diǎn)O為AO中點(diǎn)，D＝AB＋ADλμ為實(shí)數(shù))則

＋

等于()1B.．D.16答案A→→1→1→解析DEDADADB→1→→→3→DA(DA)44，μ，λμA.．，BC圓O不同的三點(diǎn)，線段CO與段AB交點(diǎn)D點(diǎn)與D不合)若→→→OCOAμOBλ