梁的基礎(chǔ)問題 課件

第五章梁的基礎(chǔ)問題§5-1平面彎曲概念§5-2梁的載荷及計(jì)算簡(jiǎn)圖§5-3剪力與彎矩§5-4剪力圖與彎矩圖(FQ、M圖)§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系第五章梁的基礎(chǔ)問題§5-6純彎曲梁的正應(yīng)力§5-7

梁的切應(yīng)力§5-8梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算§5-9梁的變形§5-10疊加法求梁的變形第五章梁的基礎(chǔ)問題§5-11提高梁強(qiáng)度的措施§5-12梁的剛度條件與梁的合理設(shè)計(jì)§5-13簡(jiǎn)單超靜定梁的解法小結(jié)一、梁及其分類梁：主要承受垂直于軸線載荷的桿件1)軸線是直線的梁稱為直梁，軸線是曲線的梁稱為曲梁；2)有對(duì)稱平面的梁稱為對(duì)稱梁，沒有對(duì)稱平面的梁稱為非對(duì)稱梁。二、平面彎曲平面彎曲：若梁上所有載荷都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)?！?-1平面彎曲概念A(yù)xB縱向?qū)ΨQ面FqMeFAyFByyyyy縱向?qū)ΨQ軸平面彎曲§5-1平面彎曲概念三、工程實(shí)例吊車梁§5-1平面彎曲概念鉆床臂§5-1平面彎曲概念§5-1平面彎曲概念刨床刨刀x一、梁的載荷及支座反力梁上的外力：包括載荷和支座反力1．作用在梁上的載荷可分為：集中載荷(集中力、集中力偶)和分布載荷(分布載荷、均布載荷)xxxq(x)F1F2(a)集中力F(N)(b)分布載荷q(x)(N/m)

q(N/m)(d)集中力偶Me

(N·m)(c)均布載荷qMeMe圖示法符號(hào)(單位)名稱Fx2Fy2§5-2梁的載荷及計(jì)算簡(jiǎn)圖2．梁的支座形式(平面力系)：滑動(dòng)鉸支、固定鉸支

和固定端滑動(dòng)鉸支1

(FRy)固定鉸支2(FRx，F(xiàn)Ry)固定端3(M，F(xiàn)Rx，F(xiàn)Ry)FRyFRxMFRyFRxFRy圖示法反力未知反力數(shù)名稱§5-2梁的載荷及計(jì)算簡(jiǎn)圖二、梁的分類及計(jì)算簡(jiǎn)圖1．梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖：用梁的軸線代替梁，將載荷和支座加到軸線上。2．梁的分類(根據(jù)支撐形式)：1)靜定梁：僅用靜力平衡方程即可求得支反力的梁(a)懸臂梁，(b)簡(jiǎn)支梁，(c)外伸梁2)超靜定梁：僅用靜力平衡方程不能求得支反力的梁(d)固定梁，(e)連續(xù)梁，(f)半固定梁§5-2梁的載荷及計(jì)算簡(jiǎn)圖3

(2)*3

(2)3

(2)6

(4)5

(4)4

(3)梁按支承方法的分類(a)懸臂梁(b)簡(jiǎn)支梁(c)外伸梁(d)固定梁(e)連續(xù)梁(f)半固定梁*假定軸線方向反力為零，則未知力總數(shù)減少為()內(nèi)的數(shù)FxFyMFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy4Fy2Fy3Fy1Fx1M1Fy2梁的名稱圖示法未知反力數(shù)§5-2梁的載荷及計(jì)算簡(jiǎn)圖一、截面法求梁橫截面上的內(nèi)力1．截面法過程：切取、替代、平衡。M1FQ1FQ1M1FAyF0CABy11xxFByFFAyFBy§5-3剪力與彎矩2．平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力1)剪力：平行于橫截面的內(nèi)力；符號(hào)：FQ；正負(fù)：使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；2)彎矩：繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力(矩)；符號(hào)：M；正負(fù)：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)；或者記成：繞研究梁段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的剪力為正?；蛘哂洺桑毫荷蠅合吕膹澗貫檎！?-3剪力與彎矩-(FQ>0)FQFQFQFQ+(FQ>0)+(M>0)-(M<0)梁的變形及內(nèi)力的符號(hào)剪力FQ彎矩MMMFQFQMMMM變形形態(tài)FQ、MFQ、M引起的變形符號(hào)§5-3剪力與彎矩3．剪力、彎矩的計(jì)算法則1)剪力：梁任一橫截面上的剪力FQ=該截面任一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和，且截面左側(cè)向上的外力和截面右側(cè)向下的外力對(duì)該截面產(chǎn)生正的剪力。2)彎矩：梁任一橫截面上的彎矩M=該截面任一側(cè)所有外力(橫向力和力偶矩)對(duì)該截面形心產(chǎn)生力矩的代數(shù)和，且向上的橫向力、截面左側(cè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的力偶矩和截面右側(cè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的力偶矩對(duì)該截面產(chǎn)生正的彎矩?！?-3剪力與彎矩*4．判斷外力產(chǎn)生剪力、彎矩正負(fù)的圖例F1FAyFAy使梁AC段左上右下，對(duì)n—n截面產(chǎn)生的剪力為正(或者FAy在AC段左截面且向上)；FAy使梁AC段產(chǎn)生下凸變形，對(duì)n—n截面產(chǎn)生的彎矩為正(或者FAy使梁AC上壓下拉)；nnCFAy

qF1Me1Me2FByABF2Me1§5-3剪力與彎矩二、例題例5-1求下圖所示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5m3m1.5m1.5mq=12kN/mF=8kNABFAyFBy解：1)求支反力(可以利用A點(diǎn)矩平衡求FBy或進(jìn)行校核）2)求1-1截面內(nèi)力：取左段研究3)求2-2截面內(nèi)力：取左段研究4)也可取右段研究，結(jié)論相同?！?-3剪力與彎矩一、剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖1．剪力、彎矩方程2．剪力、彎矩圖剪力、彎矩方程的函數(shù)圖，橫軸沿梁軸線方向，縱軸為內(nèi)力的大小。本書約定：內(nèi)力均以坐標(biāo)軸上方為正。剪力、彎矩沿梁軸線變化的函數(shù)關(guān)系。3．注意1)剪力、彎矩方程坐標(biāo)原點(diǎn)及方向的選取可任意；2)剪力、彎矩圖必須根據(jù)相應(yīng)的剪力、彎矩方程作出?！?-4剪力圖與彎矩圖(FQ、M圖)二、例題_FQ_M例5-2作圖示懸臂梁AB的FQ、M圖。lFABxxFFl注意觀察集中力作用處、無(wú)載荷作用段剪力彎矩圖的形態(tài)§5-4剪力圖與彎矩圖(FQ、M圖)_+FQ+Mx例5-3圖示簡(jiǎn)支梁受均布載荷q的作用，作該梁的FQ、M圖。BqAlFAyFByql/2ql/2ql

2/83ql

2/32l/4解：1)求支反力由對(duì)稱性知2)列剪力彎矩方程3)作FQ、M圖注意觀察集中力、均布載荷作用處剪力彎矩圖的形態(tài)，剪力為零截面彎矩圖的形態(tài)§5-4剪力圖與彎矩圖(FQ、M圖)x1x2+_FQ+M例5-4在圖示簡(jiǎn)支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力F，作該梁的FQ、M圖。lFabCABFAyFByFb/lFa/lFab/l解：1)求支反力2)列剪力彎矩方程3)作FQ、

M圖注意觀察集中力作用處、無(wú)載荷作用段剪力彎矩圖的形態(tài)AC段：CB段：§5-4剪力圖與彎矩圖(FQ、M圖)x1x2+FQ_+MMe/lMea/l例5-5在圖示簡(jiǎn)支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力偶M，作該梁的FQ、M

圖。labMeCABFByFAyMeb/l解：1)求支反力2)列剪力彎矩方程3)作FQ、

M圖注意觀察集中力偶作用處剪力彎矩圖的形態(tài)AC段：CB段：§5-4剪力圖與彎矩圖(FQ、M圖)一、剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系1．假設(shè)1)規(guī)定分布載荷集度q(x)向上為正，向下為負(fù)；2)任取微段，認(rèn)為其上q(x)為常數(shù)，無(wú)集中力和集中力偶矩；3)假設(shè)內(nèi)力為正?！?-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系2．微分關(guān)系推導(dǎo)dxOq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)xdxyxMeF1F2ABq(x)§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系二、討論微分關(guān)系的幾何意義1．微分關(guān)系的幾何意義3)集中力作用處：剪力圖發(fā)生突變，突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折；1)剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)分布載荷的大小；彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大??；2)若x1、x2兩截面間無(wú)集中力作用，則x2截面的剪力FQ2

等于x1截面的剪力FQ1加上兩截面間分布載荷圖面積；若x1、x2兩截面間無(wú)集中力偶作用，則x2截面的彎矩

M2等于x1截面的彎矩M1加上兩截面之間FQ圖面積；§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系4)集中力偶作用處：彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小，若該處無(wú)其它外力，則彎矩圖斜率不變；5)各種載荷下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：qq>0q<0M">0M"<0FQ>0緊靠C的某一側(cè)面FQ<0FQ=0FQ變號(hào)處+_CFCMeCFCMeC外力形態(tài)FQ圖M圖Mmax位置§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系3)載荷圖關(guān)于梁左右對(duì)稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)稱；載荷圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱；1)|M|max可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處；2)

q突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)(轉(zhuǎn)折)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)的拐點(diǎn)；2．其它規(guī)律三、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖1．先利用計(jì)算法則計(jì)算分段點(diǎn)的FQ、M值；2．再利用微分關(guān)系判斷并畫出分段點(diǎn)之間的FQ、M圖；3．各種載荷下FQ、M圖形態(tài)的引例：§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系q2qa2qa2qaaaaaaqaqqaFQMqaqaqa2qa20.5qa2--+--+qaqaqa22qa22qaqaqaqq0集中力F作用處：FQ圖突變，突變值為F，從左向右作圖，突變方向與F同向，M圖有尖點(diǎn)；集中力偶Me作用處：FQ圖不變，M圖有突變，突變值為Me；q突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)的拐點(diǎn)FQ圖某點(diǎn)切線斜率等于該點(diǎn)q大小，M圖某點(diǎn)切線斜率等于該點(diǎn)FQ大小|M|max可能發(fā)生在：FQ=0、集中力作用處、集中力偶作用處q>0(向上)：FQ圖(向上斜直線)，

M圖(凹拋物線)q<0(向下)：FQ圖(向下斜直線)，

M圖(凸拋物線)無(wú)載荷段：FQ圖水平線，M圖斜線(FQ>0，M圖；FQ<0，M圖)；q§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系FQ+__M(kN·m)3.81.413(kN)4.23.8Ex=3.1m32.2例5-7外伸梁AB承受載荷如圖所示，作該梁的FQ—M圖。q=2kN/mMe=6kN·mF=3kNDCAB4m1m1mFByFAy_++562134CA和DB段：4)可以先確定各分段點(diǎn)的FQ、

M值，用相應(yīng)形狀線條連接。因FQ值較易求得，M

值可用FQ圖面積求得。解：1)求支反力2)判斷各段FQ、M圖形狀A(yù)D段：FQ圖為水平線，M圖為斜直線。q=0FQ圖為向下斜直線，M圖為上凸拋物線。q=C<03)作剪力、彎矩圖§5-5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系一、相關(guān)概念2．假設(shè)：1)平截面假設(shè)：假定變形前與軸線垂直的橫截面，在變形后仍為平面且保持與軸線垂直。2)單向受力假設(shè)：縱向纖維之間無(wú)正應(yīng)力作用。1．梁按內(nèi)力分類1)純彎曲梁：梁橫截面上只有彎矩M，沒有剪力FQ2)橫力彎曲梁：梁橫截面上既有彎矩又有剪力。由純彎曲試驗(yàn)現(xiàn)象得到?！?-6純彎曲梁的正應(yīng)力2．中性層與中性軸1)中性層：構(gòu)件內(nèi)既不伸長(zhǎng)也不收縮的纖維層2)中性軸：橫截面與中性層的交線縱向?qū)ΨQ軸yzO中性層中性軸MM縮短伸長(zhǎng)x不變§5-6純彎曲梁的正應(yīng)力二、純彎曲梁橫截面應(yīng)力公式推導(dǎo)1．幾何條件m2n2yMMO1O2rya1ya2ya2a1dqn2dxn1m1m2e1O1O2e2x中性層z中性軸n2m2n1m1O曲率中心xe2e1scsty研究中性層下方y(tǒng)處a1a2的線應(yīng)變2．物理?xiàng)l件§5-6純彎曲梁的正應(yīng)力M3．力學(xué)條件dAz(中性軸)yzs

dAxOy1)將s=Ey/r代入(1)式—Sz=0(截面對(duì)中性軸靜矩為零)中性軸過截面形心2)將s=Ey/r代入(2)式：—Iyz=0(截面對(duì)y、z一對(duì)軸的慣性積為零)y軸是截面的對(duì)稱軸，上式自動(dòng)滿足§5-6純彎曲梁的正應(yīng)力3)將s=Ey/r代入(3)式：——截面對(duì)z軸的慣性矩用Iz改寫(4)式：EIz——抗彎剛度，表示梁抵抗彎曲變形的能力4．純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力(彎曲正應(yīng)力)1)距中性層y處的應(yīng)力：2)梁上下邊緣，彎曲正應(yīng)力取得最大值：設(shè)距中性軸距離最大為e，——抗彎截面系數(shù)§5-6純彎曲梁的正應(yīng)力MMsminsmax5．橫截面上正應(yīng)力的畫法sminsmax6．應(yīng)力公式的使用方式zyMstscMM1)

y軸向下，則應(yīng)力計(jì)算正負(fù)值與拉、壓應(yīng)力相符；2)由彎矩引起的變形直接判斷：縱向伸長(zhǎng)，為拉應(yīng)力，縱向縮短，為壓應(yīng)力?！?-6純彎曲梁的正應(yīng)力7．公式適用范圍1)線彈性范圍——正應(yīng)力小于比例極限sp；2)精確適用于純彎曲梁；3)對(duì)于橫力彎曲的細(xì)長(zhǎng)梁(跨度與截面高度比l/h>5)，

上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)?！?-6純彎曲梁的正應(yīng)力三、典型截面對(duì)中性軸的慣性矩和抗彎截面系數(shù)1．矩形截面yzhb2．實(shí)心圓截面(直徑為d)3．空心圓環(huán)截面(外徑為D，內(nèi)徑為d，a=d/D)§5-6純彎曲梁的正應(yīng)力一、橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力1．梁的彎矩只產(chǎn)生正應(yīng)力；剪力只產(chǎn)生切應(yīng)力。MFQMFQtsts§5-7梁的切應(yīng)力z2．對(duì)橫截面中性軸平行線上的切應(yīng)力作以下假設(shè)1)各點(diǎn)切應(yīng)力的作用線平行或交于一點(diǎn)；2)各點(diǎn)切應(yīng)力沿剪力FQ的分量ty均相等；tm'tytf'tmtyf'm'mftf由切應(yīng)力互等定理，tm’、tm必與截面周邊相切，兩切應(yīng)力延長(zhǎng)線交于O'點(diǎn)。1)假設(shè)m'm線上所有切

應(yīng)力均交于O'點(diǎn)；2)假設(shè)m'm線上所有切

應(yīng)力沿y分量均相等；yFQO'tyty§5-7梁的切應(yīng)力3．橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式e11'1'11yze2e1x2112dxbyyxdxxM+dMMFQFQss+dsn11'm'n'2mt't'mnmm'dxAtyA§5-7梁的切應(yīng)力4．關(guān)于切應(yīng)力公式的說(shuō)明1)公式求出的是距中性軸y處沿剪力FQ方向的切應(yīng)力分量ty；2)由于橫截面周邊與y軸夾角qm最大，因此該處

切應(yīng)力最大；ztm'tytmtym'mftfyFQO'tyy處平行于中性軸線以外面積對(duì)z軸的靜矩；y處截面的有效寬度；qm§5-7梁的切應(yīng)力二、例題Oyzbh例5-8求圖示矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力分布。yOt=tm=tyy解：1)剪力FQ沿y軸方向，故矩形截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力均平行于FQ2)求距中性軸y處的切應(yīng)力ty：將、Iz代入ty

：沿矩形截面高度，切應(yīng)力t呈拋物線分布，在最邊緣處為零，在中性軸上最大：FQ§5-7梁的切應(yīng)力yORyz例5-9求圖示圓形截面梁的切應(yīng)力分布。tyxdxtbyqyqsr解：1)求距中性軸y處的切應(yīng)力分量ty：將各變量換算成R和q函數(shù)2)外邊緣切線應(yīng)力ts為3)中性軸處§5-7梁的切應(yīng)力一、彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件1．正應(yīng)力強(qiáng)度條件1)拉壓強(qiáng)度相等的材料：2)拉壓強(qiáng)度不等的材料：2．切應(yīng)力強(qiáng)度條件1)一般情況2)等直梁3．一般用正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，再校核切應(yīng)力強(qiáng)度條件?！?-8梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算二、例題例5-10圖示№16工字鋼制梁，中點(diǎn)受集中力F作用，已知梁Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，下邊緣C點(diǎn)沿軸向貼一應(yīng)變片，測(cè)得C點(diǎn)軸向線應(yīng)變e=400×10-6。求F并校核梁正應(yīng)力強(qiáng)度。CBAl/2aFlz№16解：1)求F2)校核梁正應(yīng)力強(qiáng)度梁危險(xiǎn)截面在彎矩最大的中間截面§5-8梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算例5-11已知：F=1kN，q=1kN/m，a=1m，T形梁尺寸如圖，[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度條件。AaaBFqaCDzE40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_FAyFCy解：1)求支反力2)作梁的剪力、彎矩圖3)求C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力§5-8梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算AaaBFqaCDz40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN.m)_4)校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度因梁的許用拉、壓強(qiáng)度不等，截面上下不對(duì)稱，因此，正負(fù)彎矩最大值處均為危險(xiǎn)截面§5-8梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算AaaBFqaCDz40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_4)校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度切應(yīng)力強(qiáng)度危險(xiǎn)截面在剪力FQ最大的C右側(cè)截面§5-8梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算§5-9梁的變形一、梁變形的度量——撓度及轉(zhuǎn)角1．梁的撓曲線(彈性曲線)軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線1)轉(zhuǎn)角：B1FyxBA2．梁變形的度量梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，符號(hào)：q，正負(fù)：順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)；2)撓度：梁橫截面形心的豎向位移，符號(hào)：y，正負(fù)：向下為正，反之為負(fù)。撓度隨軸線變化的函數(shù)3)撓曲線方程：——

；4)轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系(小變形下)：qqyx二、撓曲線近似微分方程1．力學(xué)關(guān)系：x0yxdqM>0M>0dxdy2．?dāng)?shù)學(xué)關(guān)系：3．撓曲線近似微分方程：結(jié)合數(shù)學(xué)與力學(xué)關(guān)系：在圖示坐標(biāo)下：撓曲線下凸：撓曲線上凸：4．撓曲線微分方程的

FQ、q表達(dá)式qr(x)O(曲率中心)qds§5-9梁的變形三、邊界條件與連續(xù)條件1．轉(zhuǎn)角、撓曲線普遍方程——轉(zhuǎn)角方程——撓曲線方程式中C、D為積分常數(shù)，由梁位移邊界條件與連續(xù)條件確定。1)

B.C.(位移邊界條件)固定鉸與可動(dòng)鉸固定端彈性支座yyyly§5-9梁的變形2．位移邊界條件與連續(xù)條件AFBC撓曲線是光滑連續(xù)唯一的?！?-9梁的變形2)C.C.(連續(xù)條件)：3．靜力邊界條件1)彎矩邊界條件2)剪力邊界條件yx四、例題例5-12圖示B端作用集中力F的懸臂梁，求其撓曲線方程。lFBOAqmaxB1ymaxx解：1)如圖建立坐標(biāo)系x處彎矩方程為2)列撓曲線微分方程并積分兩次3)由固定端邊界條件決定積分常數(shù)4)轉(zhuǎn)角和撓曲線方程FAy=FMA=Fl§5-9梁的變形5)最大轉(zhuǎn)角和撓度值x2yxx1例5-13求圖示簡(jiǎn)支梁受集中載荷F作用時(shí)的撓曲線方程。lFabABC解：1)列彎矩方程支反力：如圖建立坐標(biāo)系：2)分段列出撓曲線微分方程并積分FAyFBy§5-9梁的變形FabABC3)轉(zhuǎn)角及撓曲線方程積分常數(shù)由邊界和連續(xù)性條件決定：(C.C.)：(B.C.)：a)|q

|最大值及位置：4)討論(假設(shè)a>b)qAqB變形連續(xù)性§5-9梁的變形∴由變形連續(xù)性知撓度極值發(fā)生在AC段：FabABCqAqBb)|y|最大值及位置當(dāng)集中力作用在中點(diǎn)時(shí)：撓曲線無(wú)拐點(diǎn)的簡(jiǎn)支梁，工程上都可用中點(diǎn)撓度近似代替最大撓度。c)從本例可以看出：積分常數(shù)的個(gè)數(shù)為彎矩方程分段數(shù)的兩倍，應(yīng)等于邊界條件和連續(xù)性條件的總個(gè)數(shù)。x0fmax當(dāng)F無(wú)限接近右支座的極端情況下：可以用中點(diǎn)撓度近似代替fmax：§5-9梁的變形解：1)q(x)表示的撓曲線微分方程xyxq(x)=q0x/lC例5-14求圖示簡(jiǎn)支梁受三角分布載荷作用時(shí)的撓曲線。q0lAB2)將微分方程積分四次得由邊界條件確定積分常數(shù)：3)轉(zhuǎn)角和撓曲線方程分別為§5-9梁的變形§5-10疊加法求梁的變形一、求梁變形的疊加法1．使用條件在線彈性、小變形情況下，各載荷產(chǎn)生的物理量之間互相獨(dú)立。2．表述在若干個(gè)載荷共同作用下，梁任意橫截面上的總變形=各載荷單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起變形的代數(shù)和。二、例題例5-15如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)，求qB和yB。Fl/2ql/2ABCABqABCyBqyCqqCqqBFFyBF解：1)在F作用下2)在q作用下3)在q和F共同作用下§5-10疊加法求梁的變形解：1)沿截面B將梁分成AB、BC段：ABqa0.5qa2C例5-16圖示外伸梁，設(shè)其抗彎剛度EI為常數(shù)，求qC和yC。lABCaqqCB2)AB段成為簡(jiǎn)支梁，受截面B上的剪力與彎矩作用，剪力作用在支，不產(chǎn)生變形，彎矩產(chǎn)生的變形為：3)

BC段成為懸臂梁，在均布載荷

q作用下變形：4)梁的總變形可以看成：懸臂梁BC的變形加上簡(jiǎn)支梁AB引起B(yǎng)C的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)：5)本題也可以看成先后將AB、BC段剛化后進(jìn)行求解，即所謂的“逐段剛化法”§5-10疊加法求梁的變形解：1)求支反力：ABCyCqCqCABCFAyFByq例5-17求圖示簡(jiǎn)支梁的qC和yC，設(shè)其抗彎剛度EI為常數(shù)。l/3ABC2l/3qFAyFByqCl/3qC(2l/3)2)對(duì)于CA段梁：3)對(duì)于CB段梁：4)(a)、(b)聯(lián)立求解：§5-10疊加法求梁的變形§5-11提高梁強(qiáng)度的措施1．彎曲正應(yīng)力是控制梁強(qiáng)度的主要因素2．提高梁強(qiáng)度的措施：1)采用合理的截面形狀，提高抗彎截面系數(shù)Wz；2)采用等強(qiáng)度梁或變截面梁；3)改善梁的受力條件，降低Mmax。一、梁的合理截面形狀1．橫截面面積A不變，抗彎截面系數(shù)Wz越大，則截面形狀越合理：2．材料特性對(duì)截面形狀的要求2)優(yōu)先采用工字形、槽形、箱形和圓環(huán)形截面；1)為提高Wz/A，截面上的材料應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離中性軸；2)抗壓強(qiáng)度小于抗拉強(qiáng)度的材料，采用中性軸偏向受拉側(cè)的截面形狀，如T形、不對(duì)稱工字形等截面；1)拉壓強(qiáng)度相等的材料，采用上下對(duì)稱截面；3．同時(shí)需考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度由腹板和翼緣組成的薄壁截面，如型鋼截面等，彎曲正應(yīng)力由兩端翼緣承擔(dān)，彎曲切應(yīng)力由中間腹板承擔(dān)?！?-11提高梁強(qiáng)度的措施二、采用等強(qiáng)度梁或變截面梁1．等強(qiáng)度觀點(diǎn)的等高矩形截面懸臂梁的寬度b(x)：固定端和x截面最大正應(yīng)力相等：等強(qiáng)度梁：任意橫截面最大正應(yīng)力都相等的變截面梁。lHByHFxbzxx2．該等強(qiáng)度梁的重量是同樣強(qiáng)度等截面梁的一半§5-11提高梁強(qiáng)度的措施3．該梁的最大撓度該等強(qiáng)度梁的最大撓度是同樣強(qiáng)度等截面梁的1.5倍——固定端截面對(duì)z軸慣性矩4．疊板彈簧設(shè)計(jì)思路lFBF2FFF§5-11提高梁強(qiáng)度的措施5．若懸臂梁截面寬度一定，按等強(qiáng)度觀點(diǎn)求得h(x)按拋物線規(guī)律變化。xHFxBzylBhx6．以上只討論梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度，設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁還必須考慮切應(yīng)力強(qiáng)度條件，在自由端附近有一個(gè)最小截面寬度或高度。§5-11提高梁強(qiáng)度的措施三、改善梁的受力條件1．簡(jiǎn)支梁變外伸梁(注意最佳的外伸長(zhǎng)度)；2．集中力分散，最好為均布載荷集度；3．集中力靠近支座或采用增加支座的超靜定梁?！?-11提高梁強(qiáng)度的措施§5-12梁的剛度條件與梁的合理設(shè)計(jì)一、梁的剛度條件提高梁彎曲剛度的措施與提高梁彎曲強(qiáng)度的措施非常類似，但側(cè)重點(diǎn)不同。[q]——許用轉(zhuǎn)角[y]——許用撓度二、提高梁彎曲剛度的措施1．提