《二次根式》教材分析

1時間：二O二一年七月二十九日1《二次式教材分南宮珍創(chuàng)作一、章地位與作用本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三重要代數(shù)式，也是“實數(shù)”之后對“數(shù)”的認(rèn)識的深化．本內(nèi)容具有極強的“工具性”，教材中安插本章在“勾股定理”后、“二次方程”之前，意在為解二次方程做好準(zhǔn)備；本學(xué)期插本章在“勾股定理”之前，能為解任意直角三角形的三邊數(shù)掃清障礙．二、識網(wǎng)絡(luò)歸納三、課標(biāo)及中考要求【課標(biāo)要求】了解二次根式、最簡二次式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加減、乘、除運算法則，會用它們進(jìn)有關(guān)的簡單四則運算．（不要求進(jìn)行號下含字母的二次根式的四則運算，2a如，【中考要求】考試要求

ba

等．）

B二次根式及其性質(zhì)二次根式的

了解二次根式的概念，會確定二次根式有意義的條件理解二次根式的加、減、乘、

能根據(jù)二次根式的性質(zhì)對代數(shù)式作簡單變形；能在給定條件下，確定字母的值會進(jìn)行二次根式的化簡，會進(jìn)行二次根時間：二二年七月二十九日

參考了之前幾次同題教材分析稿，例題也大多沿用之。時間：二O二一年七月二十九日

化簡和運算

除運算法則

時間：二O二一年七月二十九日式的混合運算（不要求分母有理化）四、課時安插建議21．121．221．3

二次根式二次根式的乘除二次根式的加減

約2課約2課時約3～4課時數(shù)學(xué)活動與小結(jié)五、全章教學(xué)建議

約2課1．注本內(nèi)的工具性”．二次根式相關(guān)知識的學(xué)習(xí)是為后續(xù)勾股定理、二次程的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，因此應(yīng)重點落實二次根式的性質(zhì)、化簡和計（特別是實數(shù)的化簡和計算）準(zhǔn)確性，高學(xué)生的計算能力盡管課本中的例題相對簡單但不要忽視它們在學(xué)生建立知識構(gòu)的過程所起的過渡作用．非實驗班不建議在此彌補及代數(shù)式化簡、運算技巧的內(nèi)容（如分母有理化等），相地，學(xué)探診測試6第6題及后題目可不作為基本教學(xué)要求2．提出二次根式的念開始，就注意強化“二次根式在一定條件下才有意義”這觀念．防止教材第7頁貼士“在本章中，如果沒有特別說明所有的字母都暗示正數(shù)”給學(xué)生帶來的誤解和誤導(dǎo)．總有為數(shù)多的學(xué)生將二次根式有意義的“非負(fù)性”條件誤記為“正性”件，可能與此有關(guān)．3．意對“實數(shù)”一知識的復(fù)習(xí)，體現(xiàn)“數(shù)式通性”的時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日原則；注意與“整式”、分式”相關(guān)知識的聯(lián)系，相關(guān)結(jié)論可以類比記憶．4．注教和探中，有些題目需要用到勾股定理，可先回避．六、各小節(jié)教學(xué)建議21．1

二次根式）例入注復(fù)習(xí)開平方、算術(shù)平方根的概念和符號暗示．（2）二次根式的形式定義：建議不要把精力放在分辨?zhèn)€式子是否為二次根式上，而應(yīng)該偏重于理解被開方數(shù)是負(fù)數(shù)（不要誤記為數(shù)）的要求．例如，

是二次根式嗎？按自己的解，

作為單獨一個數(shù)應(yīng)屬于單項式，非二次根．學(xué)探診92頁6題下列各式中，一定是二次根式的是：（A）

（B）

2

（C）

（D）

，答案B．自己認(rèn)為題干應(yīng)該改為“下列各二次根一定有意義的是”．總之，真正該提醒學(xué)生的“數(shù)式通性”：如果被開方數(shù)是一個常數(shù)，那么它不成以是數(shù)；如果被開方數(shù)含字母，那么它有取值范圍的限制（與分式似）．（3）二次根式（根號）的雙重非負(fù)性：

0,a

；（4）教材要求掌握的公式：a)(0)，a(a0)，建議授課時提高要求，理并掌握

a

(aa

．時間：二O二一年七月二十九日

22時間：二O二一年七月二十九日22a2與a)的比：①運算順序分歧：()是求算術(shù)平方根再平方，

a

2

是先平方再求算術(shù)平方根；②a

的取值分歧：()中a

的取值是

，而中

的取值是任意實數(shù)；③運算結(jié)果分歧：()=

（a

）；

a

2

=

a

(0)a

．（5）數(shù)的念建議適當(dāng)彌補一些代數(shù)式的書寫規(guī)范（如果之前沒有講過）．例1

：當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)意義？11（1）；（2）；）

x

；）x．答案：（1）；）x；）；（4）且．提高題：求下列函數(shù)解析中自變量x的值圍：（1）

y

x

－

3

；（2）

y

1－x

；（3）

|x

；（4）

y

x

．答案：（1）

32

；（2）且x

；）

x

12

且2

；（4）全體實數(shù)．例2例3

：若x、為實數(shù)，且y＝值．（x=9）：判斷下列等式是否成立

x＋＋3．求x的時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日(1)

(219

()

(2)

(

2

()(3)

(

2

(

)

(4)

a(5)

(a)

(

)

(6)

a).答案：）；）×；（3√；（4）；）×；）√．例4

：

已

知

a,b,c

為

三

角

形

的

三

邊，

則(a)

(

()

=．（

）21．2

二次根式的乘除（1）從具體到抽象，歸納得出乘法公式：

bab(ab0)?

理解二次根式乘除運算法的合理性：可與

a

n

)

n

做形式?

上的類比；可利用算術(shù)平方根的定義進(jìn)行推理證明：∵

ab

且

，∴

abab

．?

從公式的適用范圍看，包含了某些字母取0情況；為降低難度，如果遇到純二次根式化簡問題，可以默認(rèn)為字母都暗示正數(shù)；當(dāng)涉及字母的取值范圍問題時，不克不及認(rèn)為字母都是正數(shù)．（2）公式的逆用：

aba0,b0)

；．時間：二O二一年七月二十九日

nn??

時間：二O二一年七月二十九日能利用這條性質(zhì)對二次根進(jìn)行化簡．注意學(xué)生不容易理解“開得盡方的因數(shù)或因式的含義，教材第8頁貼的解釋：可以開方后移到號外的因數(shù)或因式．在這里，無妨多舉一些例子，讓學(xué)明確在化簡時，一般先將被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解或因式解，然后再將能開得盡方的因數(shù)或因式開出來．初步總結(jié)乘法運算的結(jié)果滿足以下兩個要求：①結(jié)果是一個二次根式，單項式乘以二次根式；也可能沒有根號，只是單項式；根號下不再有“得盡的因數(shù)或因式”．(a（3）除法公式及逆用：，b

(a0,0)?

注意的件?

可以通過歸納、或證明、類比b

nn

得此公式?

對于二次根式的除法運算二次根式的化簡，應(yīng)讓學(xué)生一題多解，一方面是熟悉二次式性質(zhì)、運算法則和方法，另一方面，通過一題多解，結(jié)做題經(jīng)驗，使運算更靈活、更簡潔．如

5

；

3151555(5)5

．時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日2a

a2aa

2aa

；

aa

a

．又如

112222

；(2)2

；

4

．如果學(xué)生覺得不容易靈活用，也可總結(jié)為更易操縱的“算法”：

型即

ab

型，所有

ab

的轉(zhuǎn)化為

ababbb

再化簡；或者：

ab

型即

ab

型，所有的

ab

轉(zhuǎn)化為

ab

再化簡．用具體的實例歸納總結(jié)出一個二次根式化為最簡二次根式的方法技巧．如：當(dāng)被開數(shù)較大時，可用分解因數(shù)的法子將被開方數(shù)盡可能寫成全平方數(shù)的乘積形式．至此學(xué)生應(yīng)能對

…等罕見數(shù)值進(jìn)行化簡．總之，學(xué)生在化簡運算的潔性和準(zhǔn)確性上都容易出現(xiàn)問題，因此建議在教學(xué)過程先要求學(xué)生觀察二次根式的特點，根據(jù)其特點分析運用哪條性、哪種方法來解答，每步運算的根據(jù)的什么，培養(yǎng)學(xué)生的分析力和觀察能力，以及計算的目的性和條理性．時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日（4）簡次式概念：不要求學(xué)生背出定義，關(guān)鍵是遇到實際式子能夠加以判斷，讓生在練習(xí)中熟悉這個概念，同時明確二次根式的運算結(jié)果應(yīng)化最簡二次根式．例5

：計算：（1）；（2）

13

27

；（3）

147

；（4）

．例6

：化簡：（1）；（212

；（3；（4）24（5）

；）

32

；（7）

；（8）

50

；（9）c；）

3510

．例7

：計算：（1）

243

；（）

118

；（3）

；25（4）

x

；）

；）；（7）

3；）27；）82

．例

：計算：（1）

；（2）

7512)

．例

：已知

，

200,0.0002,

的似值（保存3個效數(shù)字）．21．3二次根式的加減時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日（1）材取“開方數(shù)相同的最簡二次根式”的說法；為簡潔明了，建議還是類比同項的概念給出“同類二次根式”的概念，能通過實例判斷幾個次根式是不是同類二次根式，注意強調(diào)先化簡的重要性．例如分成幾個小問題：①把被開方數(shù)都是整數(shù)的在一個小題中，②把被開方數(shù)都是分?jǐn)?shù)的在一個小題中，③把被開方數(shù)帶有簡單字的放在一個小題中，④把字母次數(shù)略高于2放在一個小題中，……使問題的解決有一個由淺深的漸進(jìn)過程，最終再給出類似

和

的例子．（2）確次式加減法運算的實質(zhì)就是合并同類二次根式，這與整式加減的實質(zhì)類似加減法的練習(xí)也同樣可細(xì)分成幾個條理進(jìn)行教學(xué)．例如：①不需要化簡能直接進(jìn)行加減的，②需要化簡但被開方數(shù)都簡單整數(shù)的，③被開方數(shù)都是有理數(shù)但有整數(shù)又有分?jǐn)?shù)的，④被開方數(shù)含有字母的，等．加減運算中常出現(xiàn)的錯誤型有：①運算結(jié)果含有

2

或類似的式子；②運算過程中有

4

或

1

或類似的問題；時間：二O二一年七月二十九日

3時間：二O二一年3③運算過程中有

235

或

11223或似的問題．（4）二次根式的混合運算．教材利用小貼士類比了它實數(shù)、整式運算的聯(lián):第14頁“有數(shù)圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)仍成立”；第17頁“二根的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用”．???

分析式子結(jié)構(gòu)，明確運算序；關(guān)注乘法公式和運算律的用；計算少跳步，防止類似，2典型錯誤．

之類的例0

計算：）

8

（2）

484（3）

28

111824

；）

；（5）

8

22

（6）

(

3（7）

2

（8）

1242例1

計算：（1）

(527415)

（2）

(6)4（3）

15

10156)

（4）

6

時間：二O二一年七月二十九日

15152時間：二O二一年七月二十九日15152（5）

(48)(2)2

（6）(23)(2)（7）(45)（8）

3)（9）(3(3（10）

(26)(23(11)

2

13

3

（12）

ab5

3)（13

）

(4

2))a

（14）3

2（15）

1113

（16）ab－b―＋

（＞0，＞0）例1

一個長方體的長為22cm，為3cm，為2cm，它概況積為cm

，體積為cm

．（8

，

）例3

若11

的整數(shù)部分是a小數(shù)部分是b，則2

．（5）★

章節(jié)復(fù)習(xí)及綜合（1）條件求值類題目：例1

甲、乙兩人對題目“求值

2

1a，其中”分歧的解答，甲的解答：

11()22aa5時間：二O二一年七月二十九日

，

，求a時間：二O二一年七月二十九日，求a乙的解答：

1a

1a

2

1111()aa5

，誰的解答是錯誤的？為什？例5

（1）果

aab

，那么a

=_____．（2）若實數(shù)，y滿足是．．

xy3y，則的值例6

①已知

a

1a

10a2

12

的值．（6）②已知

x

12

75

，

y

12

7

，求x2

11xy2的．）（2）尋找律、現(xiàn)場學(xué)類：例7

已知下列等式：9，9999100

，

，······，①根據(jù)上述等式的特點，你寫出第四個等式，并通過計算驗證等式的正確性；②觀察上述等式的規(guī)律，你寫出第個式．（允許寫成個例8

的形式）觀察下列等式：122(2

；13

3(32)(

3

；143

4(43)(3)

4

；時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日……回答下列問題：1①利用你觀察到的規(guī)律，簡：

2322

；②計算：

111122399100

．）例

有這樣一類題目：將

ab

化簡，若你能找到兩個數(shù)

m

和n

，使

m2

且

，則a

b

可變成

m

2

2

，即釀成

(m)

開方，從而使得

b

化簡．例如：5

=

36

=

(3)2)

2

3

2

，∴

56(33請仿照上例解下列問題：（1）七、***展專題

5

；）

43（1）分母有理化：例0

化簡：

2

，3

，

33，

()例1

計算：

(

12

132

14

120082007

)(2008（2）二次根式比較大?。豪?

比較大小：（1）3與22

（平方法）（2）5

7

與－6

5

（被開方數(shù)）1

1（3）與3

（分母有理化）時間：二O二一年七月二十九日

時間：二O二一年七月二十九日（4）2002