模型試驗(yàn)基礎(chǔ)(汽車試驗(yàn)學(xué))

第4章模型試驗(yàn)基礎(chǔ)模型試驗(yàn)概論相似現(xiàn)象相似理論基礎(chǔ)相似準(zhǔn)則的求解量綱分析法模型試驗(yàn)概述為什么要進(jìn)行模型試驗(yàn)?理論研究：簡化、抽象、數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)研究：復(fù)雜、具體、物理模型實(shí)物：常規(guī)尺寸模型：大型工程結(jié)構(gòu)（研發(fā)），微小結(jié)構(gòu)土木工程：橋梁、隧道（風(fēng)振，地震）水利工程：河流、

水壩（流體力學(xué)）航空航天：飛機(jī)、飛船（空氣動(dòng)力學(xué)）交通工具：汽車、火車（空氣動(dòng)力學(xué)）模型試驗(yàn)概述鐵道車輛的模型試驗(yàn)小比例滾動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)懸掛主動(dòng)控制試驗(yàn)臺(tái)模型試驗(yàn)概述模型試驗(yàn)如何反映原型的物理規(guī)律？相似理論相似準(zhǔn)則模型試驗(yàn)概述模型試驗(yàn)的一般過程數(shù)學(xué)方程比例模型原型問題模型試驗(yàn)原型規(guī)律相似準(zhǔn)則相似現(xiàn)象相似現(xiàn)象幾何相似相似三角形L1L2L3L1ˊL2ˊL3ˊ相似現(xiàn)象相似現(xiàn)象同類現(xiàn)象不同的物理現(xiàn)象可用相同的數(shù)學(xué)公式描述二階系統(tǒng)振蕩方程相似現(xiàn)象相似現(xiàn)象同類現(xiàn)象不同的物理現(xiàn)象可用相同的數(shù)學(xué)公式描述黏性不可壓縮流體穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)方程相似現(xiàn)象相似現(xiàn)象某一特定物理現(xiàn)象的描述數(shù)學(xué)方程單值條件：把一個(gè)現(xiàn)象從同類現(xiàn)象中區(qū)分出來的條件空間（幾何）條件（管道直徑，長度）介質(zhì)的物理性質(zhì)（液體密度、粘度）邊界條件（進(jìn)出口流速）初始條件(初始時(shí)刻條件，蝴蝶效應(yīng))相似現(xiàn)象相似現(xiàn)象物理現(xiàn)象相似同一類的物理現(xiàn)象描述物理現(xiàn)象(過程)的單值條件相同幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似熱相似質(zhì)量相似…單值條件相似+同類現(xiàn)象現(xiàn)象相似一幾何相似（空間相似）定義：兩個(gè)幾何體的所有對(duì)應(yīng)線段的比值相等，所有對(duì)應(yīng)角相等。引入尺度比例系數(shù)

進(jìn)而，面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)模型用下標(biāo)m表示原型用下標(biāo)p表示相似現(xiàn)象二運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）

定義：指速度場（及加速度場）的幾何相似。在對(duì)于瞬時(shí)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)速度（及加速度）的方向一致，且大小的比值相等。

由于因此運(yùn)動(dòng)相似建立在幾何相似基礎(chǔ)上，那么運(yùn)動(dòng)相似只需確定時(shí)間比例系數(shù)就可以了。運(yùn)動(dòng)相似也就被稱之為時(shí)間相似。引入速度比例系數(shù)相似現(xiàn)象二運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）

運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為尺度比例系數(shù)和時(shí)間比例系數(shù)的不同組合形式。如：速度kv=klkt-1

加速度

ka=klkt-2

頻率

k=kt-1相似現(xiàn)象三動(dòng)力相似（受力相似）定義：力場的幾何相似。它表現(xiàn)為：各對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的作用力的方向一致且大小的比值相等。引入力比例系數(shù)：也可寫成：

相似現(xiàn)象三動(dòng)力相似（受力相似）力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比例系數(shù)的不同組合形式，如：力矩M壓強(qiáng)p功率N動(dòng)力粘度相似現(xiàn)象相似理論基礎(chǔ)相似第一定律舉例MFVMˊFˊVˊ將相似變換式代入：

相似理論基礎(chǔ)相似第一定律彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標(biāo)等于1。在相似現(xiàn)象中，各物理量的相似常數(shù)不能任意選擇，而是相互制約的。這種相似常數(shù)的組合稱為相似指標(biāo)。闡明關(guān)系方程式中變量之間的約束關(guān)系。相似理論基礎(chǔ)相似第一定律相似準(zhǔn)則：相似現(xiàn)象中存在的一個(gè)數(shù)值相同的無因次的綜合量彼此相似的現(xiàn)象必定具有數(shù)值相同的相似準(zhǔn)則牛頓準(zhǔn)則（也稱牛頓數(shù)）當(dāng)兩個(gè)力學(xué)現(xiàn)象相似時(shí)，牛頓數(shù)的數(shù)值必然相同相似理論基礎(chǔ)相似第一定律相似準(zhǔn)則：相似現(xiàn)象中存在的一個(gè)數(shù)值相同的無因次的綜合量黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)雷諾準(zhǔn)則：表示慣性力和粘性力之比，反映了流體流動(dòng)中黏性力所起的影響程度有壓流動(dòng)（低速空氣流動(dòng)，<68m/s）傅魯?shù)聹?zhǔn)則：表示慣性力和重力之比，反映了流體流動(dòng)中重力所起的影響程度重力流動(dòng)(河流，水利）歐拉準(zhǔn)則：表示壓力和慣性力的比值，反映了流體流動(dòng)中壓力所起的影響程度。（Eu準(zhǔn)則不是獨(dú)立的。只要主要的相似準(zhǔn)則（Re或Fr)得到滿足，則該準(zhǔn)則必定滿足）相似理論基礎(chǔ)相似第二定律（相似必要充分條件）凡同一類現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似，而且由單值條件所包含的物理量所組成的相似準(zhǔn)則相等，則這些現(xiàn)象就必定相似。單值條件相似+同名相似準(zhǔn)則相同現(xiàn)象相似相似的充分必要條件。相似現(xiàn)象應(yīng)遵守的條件：①

兩相似現(xiàn)象一定能用一個(gè)方程組來描述。②

單值條件相似。幾何條件（幾何相似）物理?xiàng)l件：荷載介質(zhì)的E、μ、R（強(qiáng)度）。運(yùn)動(dòng)條件：t、v邊界條件初始條件

(3)由單值量組成的相似準(zhǔn)則要相等?！浞直匾獥l件 （而不是任意的相似準(zhǔn)則要相等）。 單值量——是指單值條件下的物理量。而單值條件是將一個(gè)個(gè)別現(xiàn)象從同類現(xiàn)象中區(qū)分開來。 相似第一定理是從現(xiàn)象已經(jīng)相似這一事實(shí)出發(fā)來考慮問題的，它說明是相似現(xiàn)象的性質(zhì)。 設(shè)有二現(xiàn)象相似，它們都符合質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程V=，如圖所示的兩組相似曲線（實(shí)線）。

得到：

圖中“1”

、“2”為兩現(xiàn)象的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 現(xiàn)在，設(shè)想通過第二現(xiàn)象的點(diǎn)1和點(diǎn)2，找出同類的另一現(xiàn)象——第三現(xiàn)象，圖中虛線所示。 顯然，第二、第三現(xiàn)象的曲線并不重合，故第三現(xiàn)象與第一現(xiàn)象并不相似，說明通過點(diǎn)1、點(diǎn)2的現(xiàn)象并不都是相似現(xiàn)象。 為了使通過點(diǎn)1、點(diǎn)2現(xiàn)象取得相似，必須從單值條件上加以限制。如在這種情況下，加入初始條件：t=0，v=0，L=0。 這樣，既有初始條件的限制，又有單值量組成的相似準(zhǔn)則值一致，兩個(gè)現(xiàn)象便必相似。 由此看來，同樣是值相等，相似第一定理未必能保證現(xiàn)象的相似，而從單值條件上對(duì)它進(jìn)行補(bǔ)充，保證了現(xiàn)象的相似。相似理論基礎(chǔ)相似第二定律（必要充分條件）舉例：黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)單值條件相似幾何條件相似物理?xiàng)l件相似邊界條件相似（入口及出口處）初始條件相似（穩(wěn)態(tài)流動(dòng)可忽略）由單值條件所包含的物理量所組成的相似準(zhǔn)則相等雷諾數(shù)相等傅魯?shù)聰?shù)相等相似理論基礎(chǔ)第三相似理論（定理）：設(shè)一個(gè)物理現(xiàn)象如果含有n個(gè)物理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=0，其中有m個(gè)為基本物理量（其量綱是相互獨(dú)立的），那么這n個(gè)物理量可表示成是（n-m）個(gè)相似準(zhǔn)則π1、π2、…πn-m

之間的函數(shù)關(guān)系：描述現(xiàn)象的關(guān)系方程式可以轉(zhuǎn)變成相似準(zhǔn)則之間的關(guān)系式（簡稱準(zhǔn)則關(guān)系式）f(π1、π2、…πn-m)=0(1)舉例：牛頓準(zhǔn)則相似理論基礎(chǔ)第三相似理論（定理）：定性準(zhǔn)則：單值條件所包含的物理量所組成非定性準(zhǔn)則：非單值條件所包含的物理量所組成非定性準(zhǔn)則可以表達(dá)成定性準(zhǔn)則的函數(shù)舉例：流體穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)定性準(zhǔn)則：Re,Fr非定性準(zhǔn)則：EuEu=f(Re,Fr)

例1：有一轎車，高h(yuǎn)=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計(jì)時(shí)速v=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實(shí)驗(yàn)來確定此轎車在公路上以此速行駛時(shí)的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(kl=2/3)，并假定風(fēng)洞試驗(yàn)段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時(shí)的溫度相同，試求：風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時(shí)，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)安排多大？

解：首先根據(jù)流動(dòng)性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)數(shù)，這里選取Re作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)，Rem=Rep，即kvkl=1，再根據(jù)決定型相似準(zhǔn)數(shù)相等，確定幾個(gè)比例系數(shù)的相互約束關(guān)系，這里k=1，所以kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3，那么，kv=vm/vp=1/kl=3/2

最后得到風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是

vm=vpkv=108×3/2=162km/h=45m/s

相似理論基礎(chǔ)

例2：在例1中，通過風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)，獲得模型轎車在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段中的風(fēng)速為45m/s時(shí)，空氣阻力為1000N，問：此轎車以108km/h的速度在公路上行駛時(shí)，所受的空氣阻力有多大？

解：在設(shè)計(jì)模型時(shí)，定下

k=1kl=2/3kv=3/2

在相同的流體和相同的溫度時(shí)，流體密度比例系數(shù)k=1，那么力比例系數(shù)

kF=kkl2kv2=1×(2/3)2×(3/2)2=1

因此，該轎車在公路上以108km/h的速度行駛所遇到的空氣阻力

Fp=Fm/kF=1000/1=1000N

相似理論基礎(chǔ)相似準(zhǔn)則的求解方程分析法：根據(jù)關(guān)系方程式導(dǎo)出相似準(zhǔn)則相似轉(zhuǎn)換法類比積分法量綱分析法（因次分析法）：當(dāng)事先無法求得描述現(xiàn)象的關(guān)系方程式時(shí)，可采用量綱分析法來推求相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則的求解相似轉(zhuǎn)換法寫出關(guān)系方程式和全部單值條件寫出相似倍數(shù)的表示式將相似倍數(shù)表示式代入關(guān)系方程式中進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得出相似指標(biāo)式將相似倍數(shù)表示式代入相似指標(biāo)式，求得相似準(zhǔn)則用同樣的方法從單值條件方程式中求得相似準(zhǔn)則 實(shí)例現(xiàn)在考察“彈簧—質(zhì)量—阻尼”系統(tǒng)。 研究y的函數(shù)關(guān)系。 系統(tǒng)有7個(gè)變量： 變量：量綱 位移L

質(zhì)量FL-1T2

阻尼系數(shù)FL-1T

彈簧剛度FL-1

初始速度v0LT-1

初始距離y0L

時(shí)間tT

顯然，表中除位移y外，均為獨(dú)立變量因此，如考慮基本量綱數(shù)為3，則獨(dú)立相似準(zhǔn)則為：（7-1）-3=3個(gè)。

①寫出現(xiàn)象的基本微分方程。

質(zhì)量的位移方程為：m(1)②寫出全部單值條件，第一現(xiàn)象用“′”表示，第二現(xiàn)象用“″”表示，因此可得各參量的相似常數(shù)為：考慮物理?xiàng)l件相似時(shí)：

cm=,cu=,ck=考慮邊界條件相似時(shí)：cy=,考慮起始條件相似時(shí)(此時(shí)t=0) cv0=,cy0=

(2)③將微分方程按不同現(xiàn)象寫出：

m′

(3) m″ (4)④進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換。將“″”參量用“′”參量代替，式（4）按（2）的關(guān)系代入得：

（5） 作相似變換時(shí)，為了保證基本微分方程的一致性，各項(xiàng)系數(shù)必須彼此相等，即：

故得兩相似指標(biāo)方程如下：

(6）

（7） 另一個(gè)相似指標(biāo)方程要由分析起始條件建立，即當(dāng)t=0時(shí)，，y=y0,

若這時(shí)考慮二現(xiàn)象，可得：，y′=y

,y″=y也進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換，得：

cy=cy0

（8） ⑤將式（2）所表示的相似常數(shù)值代入（6）（7） （8）式，可得相似準(zhǔn)則式為：

不變量=π1

不變量=π2

不變量=π3

此處，即為獨(dú)立的相似準(zhǔn)則。非獨(dú)立相似準(zhǔn)則為：y/y0，綜合以上，可構(gòu)成π關(guān)系式為，π方程式：

相似準(zhǔn)則的求解類比積分法由于相似現(xiàn)象的關(guān)系式是完全相同的，因此關(guān)系方程中寫出關(guān)系方程式和全部單值條件任意相對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)的比值也應(yīng)該相等求解步驟寫出關(guān)系方程式和全部單值條件用關(guān)系方程式中的任一項(xiàng)除其他各項(xiàng)所有導(dǎo)數(shù)用對(duì)應(yīng)量的比值代替，沿各坐標(biāo)軸的分量用基本量本身代替，坐標(biāo)用定性尺寸代替。相似準(zhǔn)則的求解類比積分法舉例：黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式（一個(gè)坐標(biāo)方向）除以方程左邊第一項(xiàng)后，關(guān)系方程中任意相對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)的比值也應(yīng)該相等，方程右邊第一項(xiàng)導(dǎo)數(shù)量用對(duì)應(yīng)量的比值代替坐標(biāo)分量導(dǎo)數(shù)用對(duì)應(yīng)基本量代替相似準(zhǔn)則的求解類比積分法舉例：黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象方程右邊第二項(xiàng)方程右邊后三項(xiàng)？導(dǎo)數(shù)量用對(duì)應(yīng)量的比值代替坐標(biāo)分量導(dǎo)數(shù)用對(duì)應(yīng)基本量代替導(dǎo)數(shù)量用對(duì)應(yīng)量的比值代替坐標(biāo)分量導(dǎo)數(shù)用對(duì)應(yīng)基本量代替量綱分析法

一量綱分析的基本概念量綱：物理量的單位種類稱量綱，又稱因次。如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、毫米等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用[L]表示。基本量綱：具有獨(dú)立性的量綱在流體力學(xué)領(lǐng)域中的三個(gè)基本量綱：長度量綱[L]，時(shí)間量綱[T},質(zhì)量量綱[M]熱力學(xué)基本量綱：溫度[T]導(dǎo)出量綱：由基本量綱組合表示的量綱速度的量綱：[v]=[LT-1]加速度的量綱：[a]=[LT-2]力的量綱：[F]=[ma]=[MLT-2]任何力學(xué)物理量A的量綱可寫成：[A]=[M][L][T]量綱分析法導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量質(zhì)量系統(tǒng)中量綱導(dǎo)出量質(zhì)量系統(tǒng)中量綱面積[A]=[L2]功[W]=[L2MT-2]體積[V]=[L3]功率[P]=[L2MT-3]速度[v]=[LT-1]應(yīng)變[ε]=[1]加速度[a]=[LT-2]彈性模量[E]=[L-1MT-2]力[F]=[LMT-2]動(dòng)力黏度[η]=[L-1MT-1]壓力[G]=[L-1MT-2]密度[ρ]=[L]力矩[M]=[L2MT-2]基本量，導(dǎo)出量一個(gè)物理問題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系倒出，前者互為獨(dú)立的物理量?；玖總€(gè)數(shù)取基本量綱個(gè)數(shù)，所取定的基本量必須包括三個(gè)基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。如、v、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了L、M、T這三個(gè)基本量綱，而a、v、l就不能構(gòu)成基本量，因?yàn)椴话玖烤VM。無量綱量指該物理量的量綱為1，用L0M0T0表示，實(shí)際是一個(gè)數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個(gè)物理量組合而成的綜合物理量，如前面講過的相似準(zhǔn)數(shù)量綱分析法二量綱和諧性原理量綱和諧性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個(gè)物理現(xiàn)象或一個(gè)物理過程用一個(gè)物理方程表示時(shí)，方程中每項(xiàng)的量綱應(yīng)該是和諧的、一致的、齊次的。一個(gè)正確的物理方程，式中的每項(xiàng)的量綱應(yīng)該一樣。以能量方程(伯努利原理)為例

方程左邊各項(xiàng)的量綱從左到右依次為:量綱分析法量綱分析法由量綱求相似準(zhǔn)則例1：求質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作動(dòng)力相似運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作動(dòng)力現(xiàn)象的參量力（F）、質(zhì)量（m）、速度（v）和時(shí)間（t）相似準(zhǔn)則是這些參量的冪函數(shù)Π因次公式X1，x2，x3，x4待定系數(shù)量綱分析法由量綱求相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則是一個(gè)無因次的量，所以有求解方程上述3個(gè)方程式有4個(gè)未知數(shù)，由線性代數(shù)知，有一組基礎(chǔ)解系。令其中一個(gè)未知數(shù)為某值后再求解，得到令x1=1，則x2=x3=x4=-1代入Π因次公式，得量綱分析法由量綱求相似準(zhǔn)則例2：求黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫相似運(yùn)動(dòng)的相似準(zhǔn)則表征上述運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的參量流速（v）、管道性尺寸（l）、壓力（p）、介質(zhì)密度（ρ）、介質(zhì)的動(dòng)力黏度（η）和重力加速度（g）相似準(zhǔn)則是這些參量的冪函數(shù)Π因次公式量綱分析法由量綱求相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則是一個(gè)無因次的量，所以有求解方程3個(gè)方程求解6個(gè)未知數(shù)，由線性代數(shù)知，有3組基礎(chǔ)解系?？闪钇渲?個(gè)未知數(shù)為某值后再求其獨(dú)立解系。令x1=x2＝0，x3=1，則x4=2，x5=1，x6=0代入Π因次公式，量綱分析法由量綱求相似準(zhǔn)則求解方程令x2=x3＝0，x1=1，則x4=－2，x5=0，x6=－1代入Π因次公式，得令x1=x3＝0，x2=－1，則x4=x5=0，x6=1入Π因次公式，得量綱分析法求現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則完整集合的方法列出相似準(zhǔn)則的參數(shù)列出Π因次公式列出參數(shù)的指數(shù)關(guān)系式（n個(gè)未知數(shù)的齊次方程式）列出參量的指數(shù)關(guān)系式的因次矩陣，并計(jì)算其秩r計(jì)算獨(dú)立的相似準(zhǔn)則的數(shù)目m=n-r根據(jù)參量的指數(shù)關(guān)系式，求參量的指數(shù)值由線性代數(shù)理論求解n-r個(gè)基礎(chǔ)解系根據(jù)解矩陣列出相似準(zhǔn)則完整集合，解矩陣的每一行就是組成相似準(zhǔn)則的參量的一組指數(shù)量綱分析法由量綱求相似準(zhǔn)則定理（Buckingham定理）

對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個(gè)變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個(gè)基本量綱，可把這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成為有n-m個(gè)無量綱量的函數(shù)關(guān)系式（相似準(zhǔn)則）

F(1,2,…n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個(gè)，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。定理應(yīng)用舉例

例：經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動(dòng)的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度、管內(nèi)流體密度、流體的動(dòng)力粘度，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用推出壓降p的表達(dá)形式。

解：所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為

f(p,d,l,,,,v)=0

有量綱的物理量個(gè)數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M、T三個(gè)，m=3，按定理，這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個(gè)無量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(1,2,3,4)=0

從7個(gè)物理量中選出基本物理量3個(gè)，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示.量綱分析法定理應(yīng)用舉例 1=l·1v1d1 2=·2v2d2 3=·3v3d3 4=p·4v4d4將上述表達(dá)式寫成量綱形式 [1]=L·(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T0

（1）

[2]=L·(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0（2）

[3]=ML-1·T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0（3）

[4]=ML-1·T-2(ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0（4）

量綱分析法定理應(yīng)用舉例

求解方程（1）

M:1=0T:1=0L:-31+1+1+1=0→1=-1

所以

1=l/d

求解方程（2） M:2=0T:2=0L:-32+2+2=0→2=-1

所以

2=/d量綱分析法求解方程（3） M:1+3=0→3=-1T:-1-3=0→3=-1L:-1-33+3+3=0→3=-1

所以3=/vd=1/Re求解方程（4）

M:1+4=0→4=-1T:-2-4=0→4=-2L:-1-34+4+4=0→4=0

所以

4=p/v2因此，所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為

F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0量綱分析法

從該例題看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出的式子往往還帶有待定的系數(shù)，這個(gè)系數(shù)要通過實(shí)驗(yàn)來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實(shí)驗(yàn)來確定這個(gè)系數(shù)。因此，量綱分析法是流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。量綱分析法不可壓縮牛頓粘性流體在內(nèi)壁粗糙的直圓管定常流動(dòng)，分析壓強(qiáng)降低與相關(guān)物理量的關(guān)系。

粗糙管中粘性流動(dòng)的壓降：量綱分析一般步驟

解：1．列舉物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7個(gè)2．選擇基本量：ρ、V、d

3．列П表達(dá)式求解П數(shù)①П1=ρa(bǔ)Vbd

cΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bL

c(ML–1T

–2)解得：

a=-1,b=-2,c=0（歐