第5章 邏輯函數(shù)的表示及化簡

5.1概述5.2邏輯函數(shù)的公式法化簡5.3邏輯函數(shù)的圖形法化簡5.4邏輯函數(shù)的表示方法和轉(zhuǎn)換5.5本章小結(jié)5.1概述★邏輯函數(shù)的表示★邏輯函數(shù)的化簡真值表卡諾圖波形圖邏輯電路圖表達(dá)式公式法化簡圖形法化簡5.4節(jié)5.2節(jié)5.3節(jié)5.2邏輯函數(shù)的公式法化簡采用化簡公式，對(duì)邏輯函數(shù)的一般表達(dá)式進(jìn)行化簡，得到最簡與或式；再根據(jù)電路搭建時(shí)所要求采用的門電路種類，對(duì)最簡式進(jìn)行變形，得到對(duì)應(yīng)的其他形式的最簡式。

5.2.1邏輯函數(shù)的化簡原則★邏輯電路所用的門最少；★每個(gè)門的輸入端要少；★邏輯電路所用的級(jí)數(shù)要少；★邏輯電路能可靠地工作。一般表達(dá)式最簡與或式其他最簡式5.2.2與或邏輯函數(shù)的公式法化簡一．應(yīng)用吸收定律1，消相鄰項(xiàng)：——重點(diǎn)：尋找邏輯相鄰關(guān)系【例5.2.2】

二．應(yīng)用吸收定律2，消多余項(xiàng)：——重點(diǎn)：找到單因子項(xiàng)【例5.2.3】

三．應(yīng)用吸收定律3，消多余因子：——重點(diǎn)：找到單因子項(xiàng)【例5.2.4】

四．應(yīng)用多余項(xiàng)定律及其推廣：【例5.2.5】

【例5.2.5】化簡下面的邏輯表達(dá)式。五．其他技巧：1.拆項(xiàng)，也稱為“乘1因子”

重新求解【例5.2.5】

2.提取公因子3.加

0因子【例5.2.7】公式法化簡的思路總結(jié)

如果有直接利用化簡公式的結(jié)構(gòu)，就可直接化簡；如果沒有，則改變表達(dá)式結(jié)構(gòu)去化簡。

★“直接利用化簡公式的結(jié)構(gòu)”：4個(gè)化簡公式★最希望見到的是單因子項(xiàng)★“改變表達(dá)式結(jié)構(gòu)”：①拆項(xiàng)、②提取公因子◆“將化簡進(jìn)行到底！”◆第二，化簡結(jié)果不唯一公式法化簡的綜合訓(xùn)練

最簡與或式與非-與非式與或式兩次取反，用摩根定律展開一層。與或非式先求出反函數(shù)的與或式，然后再取反一次，不處理即可。5.2.2五類邏輯函數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換與非式與或式與或非式或非式或與式最簡與或式或與式與或非式用摩根定律展開兩層，得到或與式?；蚺c式兩次取反，利用摩根定律展開一層?；蚍?或非式與非-與非式與或非式五類邏輯函數(shù)形式的公式法轉(zhuǎn)換類型轉(zhuǎn)換方法與或式有直接利用公式的結(jié)構(gòu)，就直接化簡，沒有直接利用公式的結(jié)構(gòu)，就改變表達(dá)式結(jié)構(gòu)后再化簡。與非式與或式兩次取反，用摩根定律展開一層。與或非式先求出反函數(shù)的與或式，然后再取反，不處理即可?；蚺c式與或非式用摩根定律展開兩層。或非式或與式兩次取反，用摩根定律展開一層。5.3邏輯函數(shù)的圖形法化簡5.3.1最小項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)與或式1.最小項(xiàng)的含義標(biāo)準(zhǔn)與或式最小項(xiàng)最簡式對(duì)于一個(gè)給定了變量數(shù)目的邏輯函數(shù)，所有變量都參加相“與”的與項(xiàng)稱為最小項(xiàng)，在一個(gè)最小項(xiàng)中，每個(gè)變量只能以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次?！?變量邏輯函數(shù)F=f(A)有2個(gè)最小項(xiàng)：★2變量邏輯函數(shù)F=f(A、B)有4個(gè)最小項(xiàng)：★3變量邏輯函數(shù)F=f(A、B、C)有8個(gè)最小項(xiàng)：n變量邏輯函數(shù)共有2n個(gè)最小項(xiàng)

標(biāo)準(zhǔn)與或式用最小項(xiàng)相加，得到的與或表達(dá)式。也稱為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式、“最小項(xiàng)之和”形式。2.標(biāo)準(zhǔn)與或式和真值表的聯(lián)系

ABCF00000101001110010111011101010011一個(gè)最小項(xiàng)就對(duì)應(yīng)著真值表上的一行，對(duì)應(yīng)著一組確定的輸入條件組合。邏輯函數(shù)的真值表和標(biāo)準(zhǔn)與或式是嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的，具有唯一性，都準(zhǔn)確地表達(dá)了一個(gè)邏輯命題的功能。

邏輯函數(shù)的一般式具有多樣性，代表了邏輯電路形式的多樣性。

3.最小項(xiàng)的性質(zhì)0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC★在輸入的任一種取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1；★一個(gè)邏輯函數(shù)的任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積必為0；★一個(gè)邏輯函數(shù)的全體最小項(xiàng)之和必為1。

4.最小項(xiàng)的編號(hào)

最小項(xiàng)輸入部分取值對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)最小項(xiàng)編號(hào)ABC0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m75.3.2卡諾圖原理一．卡諾圖的結(jié)構(gòu)原理1.兩變量邏輯函數(shù)的卡諾圖ABAB0101AB0101卡諾圖上的一個(gè)方格就對(duì)應(yīng)著邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)。例：AB01010110★邏輯函數(shù)的真值表、標(biāo)準(zhǔn)與或式和卡諾圖相互嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，具有唯一性，代表了邏輯函數(shù)的功能；總結(jié)★一個(gè)最小項(xiàng)，就對(duì)應(yīng)著真值表上的一行，對(duì)應(yīng)著卡諾圖上的一個(gè)方格，表示一個(gè)確定的輸入條件組合；★同一個(gè)邏輯函數(shù)，真值表的輸出部分有幾個(gè)1，卡諾圖方格內(nèi)就要填幾個(gè)1，都表示了有幾個(gè)輸入組合能夠使輸出成立；★邏輯函數(shù)的輸入變量個(gè)數(shù)確定了真值表的結(jié)構(gòu)、卡諾圖的結(jié)構(gòu)。2.n變量邏輯函數(shù)的卡諾圖2.n變量邏輯函數(shù)的卡諾圖★卡諾圖結(jié)構(gòu)的靈活性二．卡諾圖的化簡原理邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關(guān)系——卡諾圖上的幾何相鄰關(guān)系由此方便地在卡諾圖上應(yīng)用吸收定理1，合并邏輯相鄰項(xiàng)。ABCD0001111000011110例：m5m4m7m1m13m2m3m6m0m10三．卡諾圖上的最小項(xiàng)合并規(guī)律1.2

個(gè)相鄰項(xiàng)的合并ABCD0001111000011110111111ABC010001111011112.4

個(gè)相鄰項(xiàng)的合并

ABC01000111101111ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110111111113.8

個(gè)相鄰項(xiàng)的合并ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111★看坐標(biāo)化簡，多項(xiàng)變一項(xiàng)，保留不變的，消去變化的。

★不存在包含非2n個(gè)最小項(xiàng)的卡諾圈★2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)組成的卡諾圈合并，可以消去n個(gè)變量

四．用卡諾圖表達(dá)邏輯函數(shù)先結(jié)構(gòu)而后內(nèi)容待表達(dá)的邏輯函數(shù)一般包括三種情況：

◆與或表達(dá)式◆標(biāo)準(zhǔn)與或式（最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式、最小項(xiàng)之和）◆其他任何一般表達(dá)式。

★根據(jù)表達(dá)式，明確輸入變量個(gè)數(shù)，畫出卡諾圖的結(jié)構(gòu)；★根據(jù)表達(dá)式包含什么樣的最小項(xiàng)，在卡諾圖對(duì)應(yīng)的方格上填1，其余的填0或者不填，就得到了完整的卡諾圖。

【例5.3.3】畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。解：（1）確定為四輸入卡諾圖。（2）坐標(biāo)1表示原變量、0表示反變量，按坐標(biāo)規(guī)定，將與或式中的各個(gè)與項(xiàng)逐一填入卡諾圖。ABCD000111100001111011與或表達(dá)式1111【例5.3.4】解：ABCD000111100001111011111111標(biāo)準(zhǔn)與或式（最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式、最小項(xiàng)之和）（1）最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式中，最小項(xiàng)編號(hào)最大是15，說明是四輸入邏輯函數(shù)，由此得到卡諾圖的結(jié)構(gòu)。（2）最小項(xiàng)的排列規(guī)律填入最小項(xiàng)?！纠?.3.5】解：

（1）（2）根據(jù)變形后得到的與或式，按照坐標(biāo)要求填入卡諾圖。ABCD00011110000111101111111其他一般表達(dá)式1111.卡諾圖的原理和結(jié)構(gòu)★結(jié)構(gòu)原理★化簡原理ABCD0001111000011110ABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD00011110000111105.3.3與或邏輯函數(shù)的圖形化簡法2.最簡與或表達(dá)式的卡諾圖化簡法化簡步驟①將待化簡表達(dá)式用卡諾圖表示出來；②在卡諾圖上合理畫出卡諾圈，圈全部的“1”；③化簡卡諾圈得到所有的與項(xiàng)；④全部與項(xiàng)相或，得到最簡與或表達(dá)式。卡諾圖圈1，變量相與，結(jié)果相或。與或式3.化簡范例【例5.3.6】解：與或式的卡諾圖表達(dá)卡諾圈內(nèi)的合并規(guī)則化簡結(jié)果不唯一ABC0100011110111111ABC0100011110111111ABC0100011110111111【例5.3.7】解：ABCD000111100001111011111111卡諾圈的圈法原則卡諾圈的圈法步驟最小項(xiàng)之和的卡諾圖表達(dá)多余圈【例5.3.8】解：卡諾圈的圈法步驟一般表達(dá)式的卡諾圖表達(dá)ABCD00011110000111101111111110000000【例5.3.9】

解：ABCD00011110000111101111111111卡諾圈的圈法步驟卡諾圈的圈法原則卡諾圈的數(shù)量盡量少，每個(gè)圈盡量大?！锵热ξㄒ坏倪x擇；★再圈最大的（最有吸引力的）；★隨后用最大、最少的圈，圈上剩余的“1”。

4.總結(jié)最簡與或式的卡諾圖化簡法卡諾圖圈1，變量相與，結(jié)果相或。原函數(shù)形式卡諾圈的圈法原則和步驟卡諾圈內(nèi)的合并規(guī)則化簡結(jié)果不唯一5.3.45類邏輯函數(shù)的圖形化簡法與非式與或式與或非式或非式或與式1．與非-與非式

★用卡諾圖表達(dá)出待化簡函數(shù)，圈“1”得到最簡與或式；★與或式兩次求反，摩根定律展開一層，得到最簡與非-與非式?！纠?.3.10】ABCD000111100001111011111112．或與式★用卡諾圖表達(dá)出待化簡邏輯函數(shù)；★圖上圈“0”，并且，坐標(biāo)0表示原變量，1表示反變量，變量相“或”得到每一個(gè)或項(xiàng)；★最后再將所有的或項(xiàng)相“與”，得到最簡或與式?！纠?.3.11】ABCD00011110000111101111111000000000【例5.3.12】1ABCD00011110000111101111111000000013．或非-或非式★已知最簡或與式，兩次求反，再摩根定律展開一層，得到最簡或非-或非式?！纠?.3.13】4．與或非式

★在卡諾圖上圈“0”，求出反函數(shù)的最簡與或式；★然后取反，不處理，就得到最簡與或非式?！纠?.3.14】11ABCD000111100001111011111100000000五類典型邏輯函數(shù)的化簡方法總結(jié)類型公式法圖形法與或式公式法化簡的總體思路。卡諾圖上圈1，變量相與，結(jié)果相或。

與非式與或式兩次取反，用摩根定律展開一層。與或式兩次取反，用摩根定律展開一層。或與式與或非式用摩根定律展開兩層?？ㄖZ圖上圈0，“0-原、1-反”，變量相或，結(jié)果相與。

或非式或與式兩次取反，用摩根定律展開一層。或與式兩次取反，用摩根定律展開一層。與或非式先求出反函數(shù)的與或式，再取反，不處理即可?？ㄖZ圖上圈0，求得反函數(shù)的與或式，再加非號(hào)還原，不處理即可。★

公式化簡法的知識(shí)體系與或式與非式或與式或非式與或非式公式法化簡的總體思路卡諾圖的原理和結(jié)構(gòu)★

卡諾圖化簡法的知識(shí)體系卡諾圈的圈法原則和步驟卡諾圖與或式與非式或與式或非式與或非式用卡諾圖表達(dá)邏輯函數(shù)5.3.5具有約束關(guān)系的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡一．約束關(guān)系的含義約束關(guān)系：

由具有約束關(guān)系的輸入變量所決定的邏輯函數(shù)，就稱為具有約束的邏輯函數(shù)。輸入變量的取值不是任意的，而是有條件的，并不是所有的輸入組合都可以出現(xiàn)。這往往是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，某些現(xiàn)實(shí)條件限制了輸入變量的取值，將這種限制稱為輸入變量具有約束關(guān)系。將具有限制關(guān)系的一組輸入變量稱為一組具有約束的變量。完全描述問題非完全描述問題

n輸入的邏輯函數(shù)的2n種輸入取值組合下的輸出取值都是明確的，這樣的邏輯函數(shù)就是完全描述問題，其功能與每一個(gè)最小項(xiàng)均有關(guān)。

具有約束的邏輯函數(shù)就是非完全描述問題，其功能只與能夠出現(xiàn)的最小項(xiàng)有關(guān)。

例如：設(shè)計(jì)一個(gè)電梯運(yùn)行狀態(tài)指示電路，以估計(jì)電梯日常使用頻率。二．約束關(guān)系（無關(guān)項(xiàng)）的表示

1．在真值表中的表達(dá)

ABCF000001010011100101110111×

0

1×

1×××ABC0100011110×1012．在卡諾圖中的表達(dá)

××××3．在邏輯表達(dá)式中的表達(dá)

三．具有約束關(guān)系的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法電梯運(yùn)行狀態(tài)顯示電路

在輸出表達(dá)式上加上某些無關(guān)項(xiàng)，也不會(huì)影響邏輯功能?；喗Y(jié)果：

并不是所有無關(guān)項(xiàng)都適合加入，有的無關(guān)項(xiàng)加入表達(dá)式后，反而會(huì)使表達(dá)式變得復(fù)雜。卡諾圖法更為直觀【例5.3.15】試用卡諾圖法化簡上述的電梯運(yùn)行狀態(tài)顯示電路，得到最簡表達(dá)式。ABC0100011110×101××××解：具有約束關(guān)系的邏輯函數(shù)的化簡原則：最簡原則！

【例5.3.16】卡諾圖法化簡具有約束關(guān)系的邏輯函數(shù)。ABC01000111100101××××解：

四．約束關(guān)系的理解和表述例如：

約束關(guān)系最小項(xiàng)之和的形式上述約束關(guān)系可以總結(jié)為：3輸入邏輯函數(shù)中，不允許出現(xiàn)AB同時(shí)為1、AC同時(shí)為1和BC同時(shí)為1這三種情況。3輸入中，不能有兩個(gè)以上的1。約束關(guān)系的表述：約束表達(dá)式限制了什么樣的輸入組合出現(xiàn)，把它們總結(jié)起來，就是約束關(guān)系的語言表達(dá)。約束關(guān)系的數(shù)學(xué)化：將一個(gè)現(xiàn)實(shí)的邏輯約束所限制的輸入組合用表達(dá)式總結(jié)出來?！纠?.3.17】卡諾圖法化簡具有約束關(guān)系的邏輯函數(shù)。解：

ABC010001111010××1010B、C不能同時(shí)為0B、C不能同時(shí)為1?5.4邏輯函數(shù)的表示方法和轉(zhuǎn)換5.4.1邏輯函數(shù)的表示方法一．真值表

真值表是描述邏輯函數(shù)的邏輯功能的最底層工具，用于將現(xiàn)實(shí)邏輯命題數(shù)學(xué)化，從而可以進(jìn)行后續(xù)分析?！纠?.4.1】分析三變量多數(shù)表決器的邏輯功能，列寫真值表。ABCF00000101001110010111011100010111真值表的整體分析法二．邏輯表達(dá)式將輸出變量與輸入變量之間的邏輯關(guān)系，用基本邏輯運(yùn)算和常用復(fù)合邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)符號(hào)，寫成相應(yīng)的邏輯組合形式。邏輯表達(dá)式，也簡稱為邏輯式、表達(dá)式、邏輯函數(shù)。一些其他概念邏輯函數(shù)的五類典型類型一般表達(dá)式最簡式標(biāo)準(zhǔn)與或式最小項(xiàng)編號(hào)之和ABCF00000101001110010111011100010111例：三變量多數(shù)表決器邏輯函數(shù)的五類典型類型一般表達(dá)式最簡式標(biāo)準(zhǔn)與或式最小項(xiàng)編號(hào)之和與非式與或式與或非式或非式或與式三．卡諾圖卡諾圖是一種用于化簡邏輯函數(shù)的非常實(shí)用的圖形工具。卡諾圖實(shí)質(zhì)上就是圖形化的真值表，可以直觀地判斷最小項(xiàng)間的邏輯相鄰關(guān)系。只適于表示和化簡變量個(gè)數(shù)較少的邏輯函數(shù)，四．電路圖根據(jù)邏輯表達(dá)式，將輸入變量通過對(duì)應(yīng)的邏輯門符號(hào)逐級(jí)連接，直至得到輸出變量，就形成了邏輯電路圖，簡稱電路圖、邏輯圖。優(yōu)點(diǎn)：最接近實(shí)際電路。缺點(diǎn)：不能進(jìn)行運(yùn)算和變形，所表示的邏輯關(guān)系不直觀。五．波形圖

以時(shí)間為橫軸，畫出一個(gè)邏輯函數(shù)的輸入、輸出變量對(duì)應(yīng)變化的波形，從而形成輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的對(duì)應(yīng)圖形，即邏輯電路的波形圖。組合邏輯波形圖的畫法整體分析法【例5.4.3】已知邏輯函數(shù)和輸入波形，畫出完整波形圖。tFtAtBtC5.4.2邏輯函數(shù)各種表示形式的相互轉(zhuǎn)換一．真值表與邏輯表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換【例5.4.4】

ABCF00000101001110010111011101100111★最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式★最簡與或式★5類典型表達(dá)式公式法或者卡諾圖法化簡以最簡與或式為基礎(chǔ)，形式轉(zhuǎn)換。

解：

一．真值表與邏輯表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換（1）從表達(dá)式可知這是3輸入、1輸出的邏輯函數(shù)，得到真值表的結(jié)構(gòu)。【例5.4.5】已知邏輯函數(shù)

，列寫真值表。

解：

ABCF00000101001110010111011101000101（2）整體分析法，填寫真值表的內(nèi)容。二．邏輯表達(dá)式與電路圖之間的轉(zhuǎn)換★從輸入級(jí)到輸出級(jí)，邏輯運(yùn)算符號(hào)和對(duì)應(yīng)的門電路符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)替代，逐級(jí)推導(dǎo)即可?！锸?/p>