行置換算子集:楊盤T的所有的行置換算子組成的集合.第五章對稱群列置換算子集:楊盤T的所有的列置換算子組成的集合.楊算子:引理1:設(shè)T和T是兩個(gè)楊盤,由置換r相聯(lián)系,即T=rT.置換s作用于楊盤T上將T中任一位置(i,j)處的數(shù)字變到sT中的(k,l)處,則s=rsr–1作用在T上將T中位于(i,j)處的數(shù)字變到sT中的(k,l)位置.推論:設(shè)T和T是由置換r相聯(lián)系的兩個(gè)楊盤,即T=rT,則有下列關(guān)系成立引理2:設(shè)T是楊盤,p和q分別是T的任意行置換和列置換,T與T通過置換pq相聯(lián)系,即T=pqT.則T中位于同一行的任意兩個(gè)數(shù)字不可能出現(xiàn)在T的同一列.設(shè)兩個(gè)楊盤由置換r相聯(lián)系,即T=rT.如果T中任意兩個(gè)位于同一行的數(shù)字不出現(xiàn)在即T的同一列,則置換r必可表示為r=pq.引理3:設(shè)T和T是屬于不同楊圖[λ]和[λ]的兩個(gè)楊盤,[λ]>[λ],則總能找到兩個(gè)數(shù)字同時(shí)出現(xiàn)在T的同一行和T的同一列.引理4:如果存在兩個(gè)數(shù)字同時(shí)位于楊盤T的同一行和楊盤T的同一列,則這兩個(gè)楊盤的楊算子滿足推論:屬于不同楊圖的兩個(gè)楊盤T和T,必有引理5:設(shè)是置換群Sn的群代數(shù)中的一個(gè)向量.如果對于楊盤T的任意行置換p和列置換q,滿足
則x與楊算子E(T)差一個(gè)常數(shù)因子,即引理6:對應(yīng)于楊盤T的楊算子E(T)是一個(gè)本質(zhì)的本原冪等元.相應(yīng)的不變子空間RG是對稱群Sn的一個(gè)不可約表示空間,其維數(shù)是n!的因子.引理7:同一楊圖的不同楊盤對應(yīng)的表示是等價(jià)的.不同楊圖的楊盤給出的表示是不等價(jià)的.5.2對稱群的不可約表示定理:楊算子E(T)是本質(zhì)冪等元,相應(yīng)的不變子空間RGE(T)是對稱群Sn的一個(gè)不可約表示空間,給出Sn的一個(gè)不可約表示;由同一楊圖的不同楊盤給出的表示是等價(jià)的,而不同楊圖的楊盤給出的表示是不等價(jià)的.標(biāo)準(zhǔn)楊盤:在楊圖上,每一行數(shù)字按從左向右增大,每一列數(shù)字按從上到下增大的順序來填充,得到的楊盤稱為標(biāo)準(zhǔn)楊盤.記作定理:楊圖[λ]對應(yīng)的不可約表示的維數(shù)等于該楊圖的標(biāo)準(zhǔn)楊盤的個(gè)數(shù)f[λ].楊圖[λ]的標(biāo)準(zhǔn)盤個(gè)數(shù)的計(jì)算公式:gij為楊圖上位置(i,j)處的鉤長.半正則表示:標(biāo)準(zhǔn)盤系列:從Sn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)楊盤Tr[λ]出發(fā),作標(biāo)準(zhǔn)盤系列:相應(yīng)楊算子為相應(yīng)本原冪等元為半正規(guī)單位(半正則母單位):定義算子為本原冪等元,且滿足半正規(guī)單位(半正則母單位)定義:設(shè)屬于同一楊圖的標(biāo)準(zhǔn)盤和由置換相聯(lián)系,即定義算子.為楊算子.構(gòu)造Sn群代數(shù)RG的一組基其中上述這組基矢稱為Sn群代數(shù)的半正規(guī)單位,滿足1)半正規(guī)單位共有n!個(gè),在群代數(shù)空間是完備的.2)每一個(gè)楊圖[λ]對應(yīng)與對稱群Sn的一個(gè)不等價(jià)不可約表示.3)Sn群元s作用在半正規(guī)基矢上給出表示矩陣.4)在半正規(guī)基矢下,表示約化為5)Sn任意群元可寫為相鄰數(shù)字對換的乘積.求表示矩陣元V[λ](s)的規(guī)則,其中s=(k–1,k):1)當(dāng)數(shù)字k–1和k在Tr[λ]的同一行時(shí),對角元2)當(dāng)數(shù)字k–1和k在Tr[λ]的同一列時(shí),對角元當(dāng)數(shù)字k–1和k不在Tr[λ]的同一行和同一列時(shí),設(shè)
Tu[λ]=sTr[λ],則其中ρ為Tr[λ]中數(shù)字k–1到k的軸距離的倒數(shù).4)其它情況矩陣元為零.酉表示:定義對稱群代數(shù)RG的新基矢其中是由楊圖[λ]和r決定的數(shù),稱為盤函數(shù).如果盤函數(shù)取為Cμ是標(biāo)準(zhǔn)盤Tr[λ]中數(shù)字n與第μ行最后一個(gè)數(shù)字的軸距離的倒數(shù),μn是數(shù)字n所在行數(shù).上述基矢給出對稱群的酉表示.李代數(shù):設(shè)g是數(shù)域K上的線性空間,對于任意X,Y∈g,定義李積[X,Y]∈g,如果李積滿足下述條件:1)雙線性.即對任意a,b∈K,X,Y,Z∈g,有2)反對稱.即對任意X,Y∈g,有3)雅可比關(guān)系則稱代數(shù)g為李代數(shù).以李群的無限小生成元為基矢張開的線性空間g={X=aiXi|ai∈R}中,若定義李積為對易關(guān)系[X,Y]=XY-YX,則構(gòu)成一個(gè)李代數(shù).第六章李代數(shù)基礎(chǔ)6.1基本概念■子代數(shù):設(shè)g1是李代數(shù)g的一個(gè)子集,如果對任意X,Y∈g1,李積運(yùn)算都滿足則g1稱為李代數(shù)g的一個(gè)子代數(shù).
群的乘法:兩個(gè)置換的乘積rs為先進(jìn)行s置換,再進(jìn)行r置換.■理想子代數(shù):設(shè)g1是李代數(shù)g的一個(gè)子集,如果對任意X∈g1,Y∈g,都有則g1在李積運(yùn)算下是不變的,稱為李代數(shù)g的一個(gè)理想子代數(shù),或簡稱理想.
■中心:李代數(shù)g中所有與李代數(shù)對易的元素組成的集合,稱為李代數(shù)g的極大可交換理想,或簡稱為李代數(shù)g的中心,即■直和:李代數(shù)g的兩個(gè)理想g1和g2如果滿足條件則稱李代數(shù)g是理想g1和g2的直和.記為g=g1g2.■半直和:李代數(shù)g的兩個(gè)子代數(shù)g1和g2如果滿足則稱李代數(shù)g是g1和g2的半直和.記為g=g1Sg2.■同構(gòu):設(shè)g1和g2是兩個(gè)李代數(shù),如果存在一個(gè)從g1到g2的一一對應(yīng)的滿映射P,且對任意a,b∈K和X,Y∈g滿足則稱李代數(shù)g1和g2同態(tài).■同態(tài):設(shè)g1和g2是兩個(gè)李代數(shù),如果存在一個(gè)從g1到g2的滿映射P,且對任意a,b∈K和X,Y∈g滿足則稱李代數(shù)g1和g2同構(gòu).■單純李代數(shù):如果李代數(shù)g不具有非平庸理想,則稱g為單純李代數(shù),或單李代數(shù).■半單李代數(shù):如果李代數(shù)g不具有非平庸可交換理想,則稱g為半單李代數(shù).■半單李代數(shù)的判據(jù):判據(jù)1李代數(shù)g是半單李代數(shù)的充要條件為:g可以寫作其理想的直和,即且gi均為單李代數(shù).李代數(shù)的內(nèi)導(dǎo)子:李代數(shù)g上的內(nèi)導(dǎo)子是李代數(shù)g上的線性變換,設(shè)X∈g,則內(nèi)導(dǎo)子ad(X)定義為半單李代數(shù)的嘉當(dāng)判據(jù):李代數(shù)g為半單李代數(shù)的充要條件是:李代數(shù)的基林型(基林度規(guī)張量):定義為下述對稱張量其中是李代數(shù)g關(guān)于基矢X1,X2,…,Xn的結(jié)構(gòu)常數(shù),即即基林度規(guī)張量不退化,存在逆張量李代數(shù)的卡塞米爾算子:半單李代數(shù)g的卡塞米爾算子C與g的所有元素可對易.推廣的卡塞米爾算子:李代數(shù)的內(nèi)導(dǎo)子與基林度規(guī)張量的關(guān)系:李代數(shù)的導(dǎo)出代數(shù)-----子代數(shù)鏈:1.a)李代數(shù)g的導(dǎo)出鏈b)可解李代數(shù):如果存在一個(gè)正整數(shù)k,使得則g稱為可解李代數(shù).c)可解李代數(shù)的每一個(gè)子代數(shù)都是可解李代數(shù).d)可解李代數(shù)不含任何單純李代數(shù).b)冪零李代數(shù):如果存在一個(gè)正整數(shù)k,使得則g稱為冪零李代數(shù).2.a)李代數(shù)g的降中心鏈c)冪零李代數(shù)的每一個(gè)子代數(shù)都是冪零李代數(shù).冪零李代數(shù)不含任何單純李代數(shù).冪零李代數(shù)必為可解李代數(shù)定理:任意一個(gè)李代數(shù)g都可以表示為一個(gè)可解李代數(shù)與一個(gè)半單李代數(shù)的直和.例:so(3)李代數(shù)b)卡塞米爾算子a)基林度規(guī)張量6.2復(fù)半單李代數(shù)的正則形式■李代數(shù)基底(線性變換)------>另一組基底1.李代數(shù)上的本征值問題李代數(shù)g是r維復(fù)李代數(shù),{Xμ}是g的一組基底,滿足因{Xμ}是李代數(shù)g的一組基底,是g上一組線性無關(guān)的向量是關(guān)于{xν}的本征方程,有非平凡解條件為在復(fù)數(shù)域上有r個(gè)非平凡解,每個(gè)解稱為李代數(shù)的一個(gè)根.2.李代數(shù)的嘉當(dāng)子代數(shù)如果(1)選擇A,使A的不同根的數(shù)目最大;(2)李代數(shù)g是半單李代數(shù).則(a)只有ρ=0的根是簡并的,而其余的非零根都是單的;(b)半單李代數(shù)的秩:零根ρ=0的簡并度l
稱為g的秩;(c)嘉當(dāng)子代數(shù):對零根ρ=0,有l(wèi)
個(gè)線性無關(guān)的本征向量與之對應(yīng),記為Hi(其中i=1,2,…l),則l向量Hi張開r維李代數(shù)g的一個(gè)l維子代數(shù),稱為嘉當(dāng)子代數(shù)(d)其余的(r–l)個(gè)非零根對應(yīng)的本征向量Eα滿足[A,Eα]=αEα,張開一個(gè)(r–
l)維子空間,稱為嘉當(dāng)子代數(shù)的補(bǔ)空間.3.李代數(shù)的根的性質(zhì)
(1)設(shè)Hi是半單李代數(shù)g的嘉當(dāng)子代數(shù)的基,滿足[Hi,Hj]=0;Eα是A=λi
Hi的非零本征值(g的非零根對應(yīng)的本征矢,滿足[A,Eα]=αEα,則αi
可看作l向量空間中向量α的協(xié)變分量.根α則表示l向量空間中分量為αi的向量,稱為根向量.對李代數(shù)的根進(jìn)行分類證明:[Hi,Eα]是A的屬于同一本征值的本征向量,α是非簡并的
(2)如果Eα
和Eβ是g的兩個(gè)非零根,則證明:半單李代數(shù)非零根是單根
(3)根的對稱性質(zhì)定理:對于半單李代數(shù)的每一個(gè)非零根α,必有一個(gè)根–α存在.證明:考慮基林度規(guī)張量根據(jù)根的性質(zhì)(1)和(2),有所以,如果–α不是根,則基林度規(guī)張量的本征值α對應(yīng)的行中所有元素為零,故det(gατ)=0.與半單李代數(shù)前提相矛盾.(1)規(guī)定Eα的歸一化因子,使(2)gik看作向量α張開的l維空間的度規(guī)張量,且有(3)全反對稱張量4.嘉當(dāng)-韋爾基則基林度規(guī)張量為αi
為α的逆變分量.(4)半單李代數(shù)g的嘉當(dāng)-韋爾基底(正則形式)正則形式下對易關(guān)系(結(jié)構(gòu)常數(shù))卡塞米爾算子:(1)如果α和β是半單李代數(shù)的非零根,則(2)如果α是半單李代數(shù)的根,則α的整數(shù)倍mα中,只有
α,0,–α才是根.5.關(guān)于根的幾個(gè)定理且存在一個(gè)β的α根鏈或(3)如果α和β是半單李代數(shù)的非零根,則6.Nαβ的確定設(shè)半單李代數(shù)的根鏈為則7.根向量的圖形表示(1)半單李代數(shù)根向量的性質(zhì)如果α是根向量,則–α也是根向量;如果α和β是根向量(非零根),則c)
如果α和β是根向量(非零根),則d)
定義兩個(gè)根向量α和β之間的夾角和長度比分別為取β為長度較長根向量;考慮到α和–α均為根向量,只需取銳角.可得下述幾種情況秩l>2的單李代數(shù):典型李代數(shù)的根系
l維根空間中,引進(jìn)l個(gè)相互正交的單位向量根向量的圖形表示1秩單李代數(shù):李代數(shù)A1,l=1.(2)2秩半單李代數(shù):(4)例外李代數(shù)及其根系8.素根和鄧金圖對于給定的半單李代數(shù),有關(guān)其根向量的信息,可以從所有根向量集合的一個(gè)子集合得到.正根:在某個(gè)任意選定的基底下,如果根α+
的第一個(gè)不為零的坐標(biāo)是正的,則稱α+
為正根.通常,組成根圖的一半非零根是正根.所有正根和的一半記為素根的概念素根(單純根):如果一個(gè)正根不能分解為另外兩個(gè)正根之和,則稱這個(gè)正根是素根.上述B2的4個(gè)正根中,只有(0,1)和(1,–1)是素根.例:李代數(shù)B2的8個(gè)非零根:中,(1,0),(1,1),(0,1),(1,–1)是正根.素根系:所有素根組成的集合,用п來表示.對于秩為l
的半單李代數(shù),共
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