數(shù)理金融第一講

第一章數(shù)理金融引論第一節(jié)數(shù)理金融的發(fā)展沿革任何一門學科的現(xiàn)代化和精確化進程,都必然導致以數(shù)學作為自身的語言。從經(jīng)濟學中獨立出來的現(xiàn)代金融學的現(xiàn)代化標志，體現(xiàn)在金融學的數(shù)量化上。金融學數(shù)量化是指金融學理論研究模式趨向于數(shù)學化(指推理演繹數(shù)學化)、應(yīng)用研究定量化(指建立相應(yīng)的數(shù)學模型)和運用計算機技術(shù)求解模型數(shù)值問題的廣泛化，從而促成了數(shù)理金融學的誕生和發(fā)展。數(shù)理金融學是一門新興的金融學與數(shù)學的交叉學科。這在當前是一門新興學科。隨著諾貝爾經(jīng)濟學獎越來越多的頒給計量經(jīng)濟學研究學者，學者們也越來越重視數(shù)學在金融研究領(lǐng)域中的運用。這門學科的最大特點，就在于利用數(shù)學模型來解釋和研究金融問題。定義數(shù)理金融學是金融學自身發(fā)展而衍生出來的一個新的分支，是數(shù)學與金融學相結(jié)合而產(chǎn)生的一門新的學科，是金融學由定性分析向定性分析與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究為主向?qū)嵶C研究為主轉(zhuǎn)變，由理論研究向理論研究與實證研究并重，金融模糊決策向精確化決策發(fā)展的結(jié)果一、數(shù)理金融的相關(guān)機理金融交易都要面對許多不確定性因素，這些不確定性因素都將影響并反映在金融產(chǎn)品的風險和收益上，因此，任何金融決策都必須在權(quán)衡風險和收益之后才能做出抉擇。所以，如何精確地度量金融交易過程中的風險和收益，就成為金融交易決策的核心。為使決策做到科學和精確，就必須對各種不確定性因素進行定量分析，這種現(xiàn)實和不斷發(fā)展的需求促進了數(shù)學在金融活動中的應(yīng)用和發(fā)展，從而衍生出數(shù)理金融學這一新的學科。金融經(jīng)濟學與其他經(jīng)濟學科的主要區(qū)別就在于市場環(huán)境的不確定性。不確定性=風險因此，也可以說，數(shù)理金融學是研究金融風險的理論。研究不確定性的數(shù)學－概率論直到現(xiàn)在為止，研究不確定性的最主要的數(shù)學學科是概率論(其他還有：模糊數(shù)學、混沌理論、集值分析、微分包含等)。概率論幾乎可以說是起源于研究“金融風險”的。那是一種簡單的“金融風險”問題：賭博。概率論的早期歷史BlaisePascal(1623-1662)PierredeFermat(1601-1665)1654年P(guān)ascal與Fermat的五封通信，奠定概率論的基礎(chǔ)。他們當時考慮一個擲骰子問題，開始形成數(shù)學期望的概念，并以“輸贏的錢的數(shù)學期望”來為賭博“定價”。概率論的早期歷史(續(xù))JacobBernoulli(1654-1705)1713年發(fā)表《猜度術(shù)(ArsConjectandi)》。這是當時最重要、最有原創(chuàng)性的概率論著作。期望效用函數(shù)1944年在巨著《對策論與經(jīng)濟行為》中用數(shù)學公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟學中首次嚴格定義風險。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)“賭神”愛德華·奧克利·索普

（1932年8月14－）生于美國伊利諾伊州芝加哥市，七歲就能心算出一年里有多少秒鐘，成年后在美國麻省理工學院教授數(shù)學。在工作之余摸索輪盤賭中的學問，后來又研究技巧要求更高的撲克游戲——“二十一點”。經(jīng)過數(shù)月艱苦演算，寫了一篇題為《“二十一點”的優(yōu)選策略》的數(shù)學論文，1962年還出版他的專著《打敗莊家》，成為金融學的經(jīng)典。他一夜之間“奇襲”了內(nèi)華達雷偌市的所有賭場，并成功地從“二十一點”桌上贏了上萬美元。被博彩界人士稱為“賭神”和“21點之父”。索普在60年代后期就淡出賭博界，1970年代首創(chuàng)第一個量化交易對沖基金，成為美國華爾街量化交易對沖基金的鼻祖。二、數(shù)理金融的發(fā)展階段第一個時期：發(fā)展初期（1954-1968)．代表人物有，阿羅，德布魯，馬柯維茨，夏普，莫迪利亞等．第二個時期：黃金時代(1969-1979)．代表人物有莫頓，布萊克，盧卡斯，哈里森等．第三個時期：完善時期(1980-至今)．代表人物有達菲，卡瑞撤斯和考克斯等．瓦爾拉斯－阿羅－德布魯?shù)囊话憬?jīng)濟均衡體系一般經(jīng)濟均衡理論的創(chuàng)始人1874年1月，法國經(jīng)濟學家瓦爾拉斯(L.Warlas,1834～1910)發(fā)表了他的論文《交換的數(shù)學理論原理》，首次公開他的一般經(jīng)濟均衡理論的主要觀點。一般經(jīng)濟均衡理論要點在一個經(jīng)濟體中有許多經(jīng)濟活動者，其中一部分是消費者，一部分是生產(chǎn)者。消費者追求消費的最大效用，生產(chǎn)者追求生產(chǎn)的最大利潤，他們的經(jīng)濟活動分別形成市場上對商品的需求和供給。市場的價格體系會對需求和供給進行調(diào)節(jié)，最終使市場達到一個理想的一般均衡價格體系。在這個體系下，需求與供給達到均衡，而每個消費者和每個生產(chǎn)者也都達到了他們的最大化要求。但是，從數(shù)學的角度來看，長期以來，瓦爾拉斯的一般經(jīng)濟均衡體系始終沒有堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。這個問題經(jīng)過數(shù)學家和經(jīng)濟學家們80年的努力，才得以解決。1954年阿羅與德布魯發(fā)表一般經(jīng)濟均衡存在性的嚴格證明在《經(jīng)濟計量學》雜志上發(fā)表了《競爭經(jīng)濟中均衡的存在性》論文，第一次給出了一般均衡的嚴格敘述和存在證明，整個一般經(jīng)濟均衡理論被嚴格數(shù)學公理化，今天已被認為是現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學的里程碑。1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者阿羅(K.Arrow,1921～)《社會選擇與個人價值》1983年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者德布魯(G.Debreu,1921～)《價值理論》肯尼思·阿羅美國人，1921年出生于紐約市。1940年他獲得紐約市立學院社會科學學士學位，同年，考取美國保險統(tǒng)計協(xié)會的保險統(tǒng)計三級證書，1941年獲哥倫比亞大學數(shù)學學士學位，1949年在哥倫比亞大學獲得數(shù)學博士學位，1956年他當選為經(jīng)濟計量學會的會長。德布魯美籍法裔經(jīng)濟學家，現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學的奠基人，微觀經(jīng)濟學中拓撲學方法和集合論方法的奠基人之。生于法國加菜市，卒于巴黎。1946、1956年先后獲巴黎大學數(shù)學學士和博士學位，1971年任經(jīng)濟計量學會會長，1983年獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。從瓦爾拉斯－阿羅－德布魯?shù)囊话憬?jīng)濟均衡體系的觀點來看，現(xiàn)代金融學的第一篇文獻是阿羅于1953年發(fā)表的論文《證券在風險承擔的最優(yōu)配置中的作用》。在這篇論文中，阿羅把證券理解為在不確定的不同狀態(tài)下有不同價值的商品。這一思想后來又被德布魯所發(fā)展，他把原來的一般經(jīng)濟均衡模型通過拓廣商品空間的維數(shù)來處理金融市場，其中證券無非是不同時間、不同情況下有不同價值的商品。但是后來大家發(fā)現(xiàn)，把金融市場用這種方式混同于普通商品市場是不合適的。原因在于它掩蓋了金融市場的不確定性本質(zhì)，與現(xiàn)實相差太遠。第一次華爾街革命第一次“華爾街革命”是指1952年馬科維茨(H.Markowitz,1927～)的證券組合選擇理論的問世。1990年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》米勒(M.Miller,1923～2000)莫迪利阿尼－米勒定理(MMT)夏普(W.Sharpe,1934～)資本資產(chǎn)定價模型（CAPM)其他有關(guān)諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者1985年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者莫迪利阿尼(F.Modigliani,1918～)生命周期理論1976年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者弗里德曼(M.Friedman,1912～)貨幣主義學派領(lǐng)袖1981年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者托平(J.Tobin,1918～)證券組合選擇HarryMarkowitz1927年8月24日，哈里·馬克維茨生于美國伊諾斯州的芝加哥。1947年，他從芝加哥大學經(jīng)濟系畢業(yè)，獲得學士學位。

研究經(jīng)濟學并非他童年的夢想。他是在拿到學士學位之后選擇碩士專業(yè)時才決定讀經(jīng)濟學的。微觀經(jīng)濟學和宏觀經(jīng)濟學他都學得很好，但是他最感興趣的是不確定性經(jīng)濟學。馬科維茨研究的是這樣的一個問題：一個投資者同時在許多種證券上投資，那么應(yīng)該如何選擇各種證券的投資比例，使得投資收益最大，風險最小。對此，馬科維茨在觀念上的最大貢獻在于他把收益與風險這兩個原本有點含糊的概念明確為具體的數(shù)學概念。馬科維茨首先把證券的收益率看作一個隨機變量，而收益定義為這個隨機變量的均值(數(shù)學期望)，風險則定義為這個隨機變量的標準差。如果把各證券的投資比例看作變量，問題就歸結(jié)為怎樣使證券組合的收益最大、風險最小的數(shù)學規(guī)劃。夏普和另一些經(jīng)濟學家，則進一步在一般經(jīng)濟均衡的框架下，假定所有投資者都以馬科維茨的準則來決策，而導出全市場的證券組合的收益率是有效的以及所謂資本資產(chǎn)定價模型(CapitalAssetPricingModel,CAPM)。這一模型認為，每種證券的收益率都只與市場收益率有關(guān)。米勒與莫迪利阿尼一起在1958年以后發(fā)表了一系列論文，探討“公司的財務(wù)政策(分紅、債權(quán)/股權(quán)比等)是否會影響公司的價值”這一主題。他們的結(jié)論是：在理想的市場條件下，公司的價值與財務(wù)政策無關(guān)。后來他們的這些結(jié)論就被稱為莫迪利阿尼－米勒定理(Modigliani-MillerTheorem,MMT)。他們的研究不但為公司理財這門新學科奠定了基礎(chǔ)，并且首次在文獻中明確提出無套利假設(shè)。所謂無套利假設(shè)是指在一個完善的金融市場中，不存在套利機會(即確定的低買高賣之類的機會)。無套利假設(shè)的簡單說法就是“無錢投入就無錢產(chǎn)出”。因此，如果兩個公司將來的(不確定的)價值是一樣的，那么它們今天的價值也應(yīng)該一樣，而與它們財務(wù)政策無關(guān)；否則人們就可通過買賣兩個公司的股票來獲得套利。這就給人以啟發(fā)，我們不必一定要背上沉重的一般經(jīng)濟均衡的十字架，即我們可以避開一般均衡的理論框架，從無套利假設(shè)出發(fā)就已經(jīng)可為金融產(chǎn)品的定價得到許多結(jié)果。從此，金融經(jīng)濟學就開始以無套利假設(shè)作為出發(fā)點。二、數(shù)理金融的發(fā)展階段第二個時期：黃金時代(1969-1979)．代表人物有莫頓，布萊克，盧卡斯，哈里森等．第三個時期：完善時期(1980-至今)．代表人物有達菲，卡瑞撤斯和考克斯等．以無套利假設(shè)作為出發(fā)點的一大成就就是布萊克－肖爾斯期權(quán)定價理論。第二次華爾街革命第二次“華爾街革命”是指1973年布萊克(F.Black,1938～1995)－肖爾斯(M.Scholes,1941～)期權(quán)定價公式的問世。

1997年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者布萊克(F.Black,1938～1995)期權(quán)定價公式1973年布萊克－肖爾斯－默頓期權(quán)定價理論問世默頓(R.Merton,1944～)《連續(xù)時間金融學》肖爾斯(M.Scholes,1941～)期權(quán)定價公式最會賺錢的經(jīng)濟學家:莫頓羅伯特·莫頓似乎有著天才投資家的基因：8歲就開始接觸金融知識、幫母親平衡家庭預(yù)算。11歲時，他投資了人生第一只股票——通用汽車，并從中獲利。進入大學數(shù)學系后，每天上午6點到9點上課之前，他總會流連于股票交易所，對當天的股市情況進行分析，并學會了操盤和買賣期貨。他師從經(jīng)濟學大家保羅·薩繆爾森已經(jīng)拿到了應(yīng)用數(shù)學專業(yè)碩士學位的莫頓，不顧家庭和朋友的勸阻，申請到了麻省理工學院(MIT)的經(jīng)濟學博士學位，并獲得了全額獎學金。非經(jīng)濟學科班出身的莫頓，遇到的首要問題是，用哲學和歷史的思維進行教育的經(jīng)濟學，對于數(shù)學系出身的人來說，聽起來太枯燥。系主任推薦他去聽薩繆爾森教授的數(shù)理經(jīng)濟學。風趣的課堂演講、嚴謹?shù)臄?shù)理邏輯，薩繆爾森的課程，讓莫頓很快找到了自己與經(jīng)濟學的交集之處。后來，他成了薩繆爾森的研究助理，漸漸地莫頓發(fā)現(xiàn)自己與保羅（薩繆爾森）在股票市場、期貨和可轉(zhuǎn)換債券等方面有著類似的觀點和興趣。貢獻：期權(quán)定價理論1969年10月，莫頓和薩繆爾森合作研究的論文《使效用最大化的完整的認股權(quán)定價模型》發(fā)表。之后，莫頓很快將課題做了延伸：不確定情況下效用與資產(chǎn)組合選擇的關(guān)系。開始了對期權(quán)定價模型的進一步研究。這個理論的基本思想是：對于資產(chǎn)組合的投資，通常是高風險伴隨著高收益。但人們可以通過引入期權(quán)概念，在追求高收益的同時限制損失。后來，期權(quán)定價理論也成為經(jīng)濟學方法論轉(zhuǎn)變的重要標志，即從以哲學思辨和歷史描述為主向定量描述和模型檢驗為主過渡。1997年，莫頓的這一學術(shù)成就被經(jīng)濟學界普遍認可，他與斯科爾斯一起，獲得了那一年度的諾貝爾經(jīng)濟學獎。華爾街近五年的瘋狂投資20世紀90年代中葉。當時的全球投資圈里，出現(xiàn)了風靡一時的對沖基金，他們通過銀行借貸進行融資，影響到了多個國家的多個領(lǐng)域和產(chǎn)業(yè)。這其中與索羅斯的量子基金、美國的老虎基金齊名的美國長期資本投資基金的公司(簡稱長投基金)，創(chuàng)始人之一便是羅伯特·莫頓。1992年，身為哈佛大學教授的莫頓，與有“華爾街套利之父”的約翰·麥瑞威瑟(JohnMeriwether)合作成立長投基金，莫頓和他的團隊開始了在華爾街近五年的瘋狂投資。成立前三年，長投基金的資本回報率就分別達到28.5%、42.8%、40.85%。即使在亞洲金融危機發(fā)生的1997年，長投基金也取得了17%的利潤回報。1997年，長投基金運用40億美元的資產(chǎn)，向銀行借貸1000億美元進行并購，擁有了價值1.25萬億美元的資產(chǎn)。莫頓掌控的長期資本投資公司用40億美元的資本金，向銀行貸款借入了1000億美元，創(chuàng)造了國際金融市場的新紀錄。而美國長期資本投資公司之前成功的秘籍，正是在莫頓的期權(quán)定價模型基礎(chǔ)上，用最復雜的風險對沖數(shù)學模型，進行杠桿融資。費希爾·布萊克是美國經(jīng)濟學家，布萊克-斯科爾斯模型的提出者之一。費希爾·布萊克畢生堅持奮戰(zhàn)在華爾街，在金融領(lǐng)域他是“搞實務(wù)的”而不是“做學術(shù)的”，然而就是他創(chuàng)建了迄今為止最正確、最經(jīng)典、應(yīng)用最廣、成就最高的模型：布萊克-肖爾斯期權(quán)定價模型。在他因病去世一年后，諾貝爾將經(jīng)濟學獎頒給了參與創(chuàng)建模型的兩位學者邁倫·斯科爾斯和羅伯特·默頓，費希爾終未獲此畢生殊榮。費希爾·布萊克是位充滿傳奇色彩的人物。他從沒受過正式的金融和經(jīng)濟學訓練，卻在幾年之內(nèi)創(chuàng)立了現(xiàn)代金融學的基礎(chǔ)。他在生活中處處規(guī)避風險，卻在學術(shù)研究和商業(yè)實踐中勇敢地挑戰(zhàn)前輩。他能輕易地獲得芝加哥大學和MIT的終身教授頭銜，也能自如地放棄，再次投身到金融衍生產(chǎn)品的革命大潮。他頻繁地在象牙塔和華爾街之間穿梭、游弋。

所謂(股票買入)期權(quán)是指以某固定的執(zhí)行價格在一定的期限內(nèi)買入某種股票的權(quán)利。期權(quán)在它被執(zhí)行時的價格很清楚，即：如果股票的市價高于期權(quán)規(guī)定的執(zhí)行價格，那么期權(quán)的價格就是市價與執(zhí)行價格之差；如果股票的市價低于期權(quán)規(guī)定的執(zhí)行價格，那么期權(quán)是無用的，其價格為零?，F(xiàn)在要問期權(quán)在其被執(zhí)行前應(yīng)該怎樣用股票價格來定價？TheholderThewriterTheunderlyingassetTheexpirydateTheexerciseprice為解決這一問題，布萊克和肖爾斯先把模型連續(xù)動態(tài)化。他們假定模型中有兩種證券，一種是債券，它是無風險證券，其收益率是常數(shù)；另一種是股票，它是風險證券，沿用馬科維茨的傳統(tǒng)，它也可用證券收益率的期望和方差來刻劃，但是動態(tài)化以后，其價格的變化滿足一個隨機微分方程，這種隨機微分方程稱為幾何布朗運動。然后，利用每一時刻都可通過股票和期權(quán)的適當組合對沖風險，使得該組合變成無風險證券，從而就可得到期權(quán)價格與股票價格之間的一個偏微分方程，其中的參數(shù)是時間、期權(quán)的執(zhí)行價格、債券的利率和股票價格的“波動率”。出人意料的是這一方程居然還有顯式解。于是布萊克－肖爾斯期權(quán)定價公式就這樣問世了。布萊克－肖爾斯公式的發(fā)表困難重重地經(jīng)過好幾年。與市場中投資人行為無關(guān)的金融資產(chǎn)的定價公式，對于習慣于用一般經(jīng)濟均衡框架對商品定價的經(jīng)濟學家來說很難接受。這樣，布萊克和肖爾斯不得不直接到市場中去驗證他們的公式。結(jié)果令人非常滿意。有關(guān)期權(quán)定價實證研究結(jié)果先在1972年發(fā)表。然后再是理論分析于1973年正式發(fā)表。與此幾乎同時的是芝加哥期權(quán)交易所也在1973年正式推出16種股票期權(quán)的掛牌交易(在此之前期權(quán)只有場外交易)，使得衍生證券市場從此蓬蓬勃勃地發(fā)展起來。布萊克－肖爾斯公式也因此有數(shù)不清的機會得到充分驗證，而使它成為人類有史以來應(yīng)用最頻繁的一個數(shù)學公式。布萊克－肖爾斯公式的成功與默頓的研究是分不開的，后者甚至在把他們的理論深化和系統(tǒng)化上作出更大的貢獻。默頓的研究后來被總結(jié)在1990年出版的《連續(xù)時間金融學》一書中。羅斯的APT布萊克－肖爾斯公式的成功也是用無套利假設(shè)來為金融資產(chǎn)定價的成功。這一成功促使1976年羅斯(S.A.Ross,1944～)的套利定價理論(APT,ArbitragePricingTheory)的出現(xiàn)。APT是作為CAPM的替代物而問世的。CAPM的驗證涉及對市場組合