空間幾何體及棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征

1.1空間幾何體第二課時(shí)棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征

問(wèn)題提出

1.在平面幾何中，我們認(rèn)識(shí)了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圓，扇形等平面圖形.那么對(duì)空間中各種各樣的幾何體，我們?nèi)绾握J(rèn)識(shí)它們的結(jié)構(gòu)特征？

2.對(duì)空間中不同形狀、大小的幾何體我們?nèi)绾卫斫馑鼈兊穆?lián)系和區(qū)別？棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征知識(shí)探究（一）：空間幾何體的類型

思考1：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果我們只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.你能列舉那些空間幾何體的實(shí)例？思考2：觀察圖片，圖片中的物體具有怎樣的形狀？日常生活中這些物體的形狀叫什么？觀察、分析結(jié)構(gòu)特征之要點(diǎn)：①注意它與平面圖形的聯(lián)系；②注意觀察組成幾何體的每個(gè)面的特點(diǎn)；③注意觀察面與面之間的聯(lián)系.思考3：圖（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特點(diǎn)？這些幾何體可以統(tǒng)一叫什么名稱？多面體特點(diǎn)：每個(gè)面都是平面圖形,并且都是平面多邊形(包括它的內(nèi)部的平面部分)。思考：一般地，怎樣定義多面體？圍成多面體的各個(gè)多邊形，相鄰兩個(gè)多邊形的公共邊，以及這些公共邊的公共頂點(diǎn)分別叫什么名稱？面頂點(diǎn)棱由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體

.思考4：圖（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特點(diǎn)？這些幾何體可以統(tǒng)一叫什么名稱？旋轉(zhuǎn)體特點(diǎn)：組成它們的面不全是平面圖形。思考：一般地，怎樣定義旋轉(zhuǎn)體？軸

由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體

思考5：如果將這些幾何體進(jìn)行適當(dāng)分類，你認(rèn)為可以分成那幾種類型？圖中的物體大體可分為兩大類：

1、多面體.2、旋轉(zhuǎn)體

知識(shí)探究（二）：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

思考1：我們把下面的多面體取名為棱柱，你能說(shuō)一說(shuō)棱柱的結(jié)構(gòu)有那些特征嗎？據(jù)此你能給棱柱下一個(gè)定義嗎？

1、有兩個(gè)面互相平行，2、其余各面都是四邊形，3、每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫做棱柱.思考2：為了研究方便，我們把棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).你能指出上面棱柱的底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)嗎？側(cè)面頂點(diǎn)側(cè)棱底面思考3：下列多面體都是棱柱嗎？如何在名稱上區(qū)分這些棱柱？如何用符號(hào)表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1

④棱柱的任何兩個(gè)平行平面都可以作為棱柱的底面嗎？答：不是．思考4：棱柱上、下兩個(gè)底面的形狀大小如何？各側(cè)面的形狀如何？?jī)傻酌媸侨鹊亩噙呅?各側(cè)面都是平行四邊形,側(cè)棱平行且相等思考5：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱嗎？思考6：一個(gè)棱柱至少有幾個(gè)側(cè)面？一個(gè)N棱柱分別有多少個(gè)底面和側(cè)面？有多少條側(cè)棱？有多少個(gè)頂點(diǎn)？DABCEFF′A′E′D′B′C′思考：傾斜后的幾何體還是棱柱嗎？斜棱柱棱柱的分類：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形、……我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱1.用平行的兩底面多邊形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E12.用表示一條對(duì)角線端點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如：棱柱BCDABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1E1ABCAE棱柱的表示法棱柱的分類1、按側(cè)棱與底面是否垂直可分為：1）側(cè)棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。2）側(cè)棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。3）底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱

柱。棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱四棱柱平行六面體長(zhǎng)方體直平行六面體正四棱柱正方體底面是平行四邊形側(cè)棱與底面垂直底面是矩形底面為正方形側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等補(bǔ)充：幾種四棱柱（六面體）的關(guān)系：長(zhǎng)方體的性質(zhì)：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，對(duì)角線長(zhǎng)為l，則l2=a2+b2+c2思考題：1、側(cè)棱不垂直于底面且底面為三角形的棱柱叫做___________;2、側(cè)棱垂直于底面且底面為四邊形的棱柱叫做____________;3、側(cè)棱垂直于底面且底面為正五邊形的棱柱叫做____________。斜三棱柱直四棱柱正五棱柱1.側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；棱柱的性質(zhì)2.兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；3.過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形1.斜棱柱、直棱柱的底面為任意多邊形。正棱柱的底面為正多邊形。思考題：1、斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、側(cè)面各有什么特點(diǎn)？2.斜棱柱的側(cè)面為平行四邊形。直棱柱的側(cè)面為矩形。正棱柱的各個(gè)側(cè)面為全等的矩形。思考題：2、棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之間存在怎樣的包含關(guān)系？直棱柱正棱柱棱柱斜棱柱例1：下列命題中正確的是（）

A、有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱。

B、有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱。（舉例）

C、有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱。（舉例）

D、有兩個(gè)相鄰側(cè)面垂直與底面的棱柱是直棱柱。D典型例題知識(shí)探究（三）：

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

思考1：我們把下面的多面體取名為棱錐，你能說(shuō)一說(shuō)棱錐的結(jié)構(gòu)有那些特征嗎？據(jù)此你能給棱錐下一個(gè)定義嗎？1、有一個(gè)面是多邊形，2、其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的多面體叫做棱錐.思考：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的立體圖形一定是棱錐嗎？思考2：參照棱柱的說(shuō)法，棱錐的底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)分別是什么含義？側(cè)面頂點(diǎn)側(cè)棱底面

多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點(diǎn)的各三角形面叫做棱錐的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).棱錐的側(cè)面棱錐的頂點(diǎn)棱錐的側(cè)棱棱錐的高SABCDEO2．相關(guān)概念：（1）棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的側(cè)面，如側(cè)面SAB、SAE等；棱錐的底面（2）各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)，如頂點(diǎn)S、A、B、C

等；（3）相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，如側(cè)棱SA、SB等；（4）棱錐中的多邊形叫做棱錐的底面，如底面ABC、ABCDE等；（5）如果棱錐的底面水平放置，則頂點(diǎn)與過(guò)頂點(diǎn)的鉛垂線與底面的交點(diǎn)之間的線段或距離，叫做棱錐的高，如SO.

3.如何理解棱錐？（1）棱錐是多面體中的重要一種，它有兩個(gè)本質(zhì)的特征：①有一個(gè)面是多邊形；②其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可。（2）棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，是棱錐?4．棱錐的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等，其中三棱錐又叫四面體!三棱錐四棱錐五棱錐（四面體）（2）正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且水平放置，它的頂點(diǎn)又在過(guò)正多邊形中心的鉛垂線上，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐OSABCDE5．正棱錐的性質(zhì)：（1）正棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形；（2）等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高6．棱錐的表示：（1）用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示棱錐：如三棱錐P－ABC，四棱錐S－ABCD.（2）用對(duì)角面表示：如四棱錐可以用P－AC表示.思考3：下列多面體都是棱錐嗎？如何在名稱上區(qū)分這些棱錐？如何用符號(hào)表示？ABCSSABCDSABCEFD思考4：一個(gè)棱錐至少有幾個(gè)面？一個(gè)N棱錐有分別有多少個(gè)底面和側(cè)面？有多少條側(cè)棱？有多少個(gè)頂點(diǎn)？

至少有4個(gè)面；1個(gè)底面，N個(gè)側(cè)面，N條側(cè)棱，1個(gè)頂點(diǎn).思考5：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面的形狀關(guān)系如何？相似多邊形理論遷移

例1如圖，截面BCEF將長(zhǎng)方體分割成兩部分，這兩部分是否為棱柱？ABCDA1B1C1D1EF

例2一個(gè)三棱柱可以分割成幾個(gè)三棱錐？ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1棱臺(tái)及相關(guān)概念1．定義：棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面間的部分叫做棱臺(tái).下底面上底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧唔旤c(diǎn)ABCDA’B’C’D’o兩底面平行側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于同一點(diǎn)棱臺(tái)的特征3．棱臺(tái)的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等；（2）正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。正棱錐正四棱臺(tái)4．正棱臺(tái)的性質(zhì)：（1）各側(cè)棱相等；（2）正棱臺(tái)的各側(cè)面都是全等的等腰梯形；（3）正棱臺(tái)的斜高相等。2．相關(guān)概念：（1）棱臺(tái)的下底面、上底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面、上底面；（2）棱臺(tái)的側(cè)面：棱臺(tái)中除上、下底面以外的面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；（3）棱臺(tái)的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；（4）棱臺(tái)的高：當(dāng)棱臺(tái)的底面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線段或距離叫做棱臺(tái)的高。5．棱臺(tái)的表示：棱臺(tái)可用表示上、下底面的字母來(lái)命名，如可以記作棱臺(tái)ABCD－A’B’C’D’，或記作棱臺(tái)AC’.判斷下列圖形是否為棱柱、棱錐、棱臺(tái)

練習(xí)1（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2.右圖中的幾何體是不是棱臺(tái)?為什么?棱柱棱錐棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征①側(cè)棱都相等②側(cè)面是平行四邊形③兩個(gè)底面互相平行全等

④過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形①有一個(gè)面是多邊形

②其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形③側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不一定相等

①各側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)②兩底面是平行的相似多邊形棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系棱錐是當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)形成的空間圖形，棱臺(tái)則可以看成是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的圖形，要注意的是棱臺(tái)的各條側(cè)棱延長(zhǎng)后，將會(huì)交于一點(diǎn)，即棱臺(tái)可以還原成棱錐.例1.有四個(gè)命題：①各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；③棱錐的所有側(cè)面可能都是直角三角形；④四棱錐的四個(gè)側(cè)面中可能四個(gè)都是直角三角形。其中正確的命題有

.③④解：設(shè)VO為正四棱錐V－ABCD的高，作OM⊥BC于點(diǎn)M，則M為BC中點(diǎn)，連接OM、OB，則VO⊥OM，VO⊥OB.例2.已知正四棱錐V－ABCD，底面面積為16，一條側(cè)棱長(zhǎng)為2，計(jì)算它的高和斜高。因?yàn)榈酌嬲叫蜛BCD的面積是16，所以BC=4，MB=OM=2，又因?yàn)閂B=,在Rt△VOB中,由勾股定理得

在Rt△VOM中，由勾股定理得即正四棱錐的高為6，斜高為練習(xí)題：1．能保證棱錐是正棱錐的一個(gè)條件是(

)（A）底面為正多邊形（B）各側(cè)棱都相等（C）各側(cè)面與底面都是全等的正三角形（D）各側(cè)面都是等腰三角形C2．若正棱錐的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，則該棱錐一定不是（

）（A）三棱錐（B）四棱錐（C）五棱錐（D）六棱錐D3．過(guò)正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面截得一個(gè)正三棱錐，若正方體棱長(zhǎng)為a，則截得的正三棱錐的高為