新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題突破25 參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題

參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題一、單選題1．已知函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．【解析】由題意，，解得，則，則當(dāng)時(shí)，，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值1，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：B.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出的最大值，令其小于即可.考查學(xué)生的邏輯推理能力，計(jì)算求解能力，屬于中檔題.2．若函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，沒有零點(diǎn)，或者有唯一解（但導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同），即沒有交點(diǎn)，或者只有一個(gè)交點(diǎn)但交點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同.令，，則，令則在上單調(diào)遞減且，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，又時(shí)，，時(shí)，，結(jié)合圖象可知，即.故選：C.【小結(jié)】方法：已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先求導(dǎo)然后將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法：先求導(dǎo)然后對導(dǎo)函數(shù)變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】∵在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，即，∵，∴，故選：A.【小結(jié)】本題主要考查“分離參數(shù)”在解題中的應(yīng)用、函數(shù)的定義域及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范圍.4．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），．若存在實(shí)數(shù)，，使得，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．1【解析】，，又且，，由，即，整理得：，令，，則，和在上均為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.【小結(jié)】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值得到結(jié)果.5．設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A． B． C． D．【解析】令，即，解得，設(shè)，所以在有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=a與在有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，得，所以?0，e)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.如圖所示，畫出的大致圖象。結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，y=a與在有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn).故選：D.【小結(jié)】本題考查根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍的問題，常采用參變分離的方法，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.6．已知關(guān)于x的方程在上有兩解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由已知可得在上有兩解，令，，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，則，因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B【小結(jié)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，關(guān)鍵是對參變量分離轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)使問題得以解決，屬于難題.7．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由函數(shù)得，由題意可得恒成立，即為，設(shè)，即，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最小值1，可得，當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最小值，可得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.【小結(jié)】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，利用參變分離的方法解決不等式的恒成立問題，屬于較難題.8．若關(guān)于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在區(qū)間[，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是（）A．﹣1 B． C． D．【解析】由，得，令，，則，則在遞減，在遞增，則，即由，得，有解，設(shè)，，則，令，，則，故在遞減，在遞增，故，故在遞減，在遞增，又，，故，故，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D.【小結(jié)】本題考查了不等式有解的問題，并多次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯思維能力，運(yùn)算能力，難度較大.9．已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由題意可知，使得，即，令，其中，則，，令，得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的最大值為，，又，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【小結(jié)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立問題，考查了參變量分離法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10．已知函數(shù)，其中，若對于任意的，且，都有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】∵對于任意的，且，都有成立，∴不等式等價(jià)為恒成立，令，則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)；，則在上恒成立；∴；即恒成立，令，∴；∴在上為增函數(shù)；∴；∴；∴.∴的取值范圍是.故選：C.【小結(jié)】本題考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立的問題，構(gòu)造合適的函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題．11．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，故，即.故選：B.【小結(jié)】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，參變分離的方法的運(yùn)用，屬于中檔題.12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【解析】∵，∴．又函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即在上恒成立．∵當(dāng)時(shí)，，∴．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．【小結(jié)】本題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的恒成立問題，注意當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；而當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，則有在區(qū)間上恒成立．解題時(shí)要注意不等式是否含有等號(hào)，屬于中檔題．13．對于函數(shù)，把滿足的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)，若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由得，令，則，得在單調(diào)遞增，得在和單調(diào)遞減，所以的極小值為，圖象如圖所示，由圖可知，時(shí)，有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故選：B.【小結(jié)】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用.14．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【小結(jié)】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、多選題15．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．若在上恒成立，則【解析】由已知，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，A正確；又令得，即，只有1個(gè)零點(diǎn)，B不正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故C正確；若在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，故D正確.故選：ACD【小結(jié)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的極值、零點(diǎn)、不等式恒成立等問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道中檔題.16．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則C．對任意，恒成立D．當(dāng)時(shí)，在上恰有2個(gè)零點(diǎn)【解析】解：對于A，當(dāng)時(shí)，，，所以，故切點(diǎn)為（0，0），則，所以，故切線斜率為1，所以在處的切線方程為：，即，故A正確；對于B，，，則，若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，即在上恰有一個(gè)解，令，即在上恰有一個(gè)解，則在上恰有一個(gè)解，即與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，，，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，而，作出，的大致圖象，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則，故B正確；對于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，設(shè)，，則，，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，，所以在上的最大值為，所以時(shí)，在上，恒成立，即當(dāng)時(shí)，才恒成立，所以對任意，不恒成立，故C不正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，，令，則，即，作出函數(shù)和的圖象，可知在內(nèi)，兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.【小結(jié)】本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法的應(yīng)用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點(diǎn)等，考查化簡運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題17．已知函數(shù)，且恒成立．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）記，若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值．【解析】（1）解：的定義域是，因?yàn)?，恒成立，所以是的極大值點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以．?）依題意得，，，∴，因?yàn)椋詫θ我獾暮愠闪?，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以方程在上存在唯一的?shí)數(shù)根，且，則，所以，①當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，把①代入得，，，所以，故整數(shù)的最大值是3．【小結(jié)】關(guān)鍵：本題考查根據(jù)恒成立求參數(shù)的最大整數(shù)值，考查函數(shù)的隱零點(diǎn)的整體然換的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得出在上存在唯一的實(shí)數(shù)根，且，得出單調(diào)性，從而得出，然后將代入，得出，屬于難題.18．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在P處的切線恰好與直線垂直．（1）求的解析式；（2）若在上是減函數(shù)，求m的取值范圍．【解析】解：（1），由題意可得，解得.所以．（2）因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上恒成立；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，由函數(shù)的圖象的對稱軸為可得，即，得.故m的取值范圍是.

法二：對成立，當(dāng)時(shí)；恒成立，當(dāng)時(shí)；，【小結(jié)】不等式的恒成立問題，常常利用函數(shù)的最值得以解決，參數(shù)與函數(shù)的最值的大小關(guān)系．19．已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，令，則或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）原不等式化為：在上恒成立，設(shè)，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，.【小結(jié)】方法：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性（含參），考查利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，解決第（2）問的關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得解，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于常考題.20．已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若對任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，得.由題意，，所以.（2）.因?yàn)閷θ我鈨蓚€(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.問題等價(jià)于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）不等式等價(jià)于，整理得.構(gòu)造函數(shù)，由題意知，在上存在一點(diǎn)，使得..因?yàn)?，所以，令，?①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.只需，解得.②當(dāng)即時(shí)，在處取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化為.因?yàn)?，所以不等式左端大?，右端小于等于1，所以不等式不能成立.③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，只需，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小結(jié)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值的綜合問題，屬于中檔題.21．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若實(shí)數(shù)為整數(shù)，且對任意的時(shí)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【解析】（1），，，，在處的切線方程為即．（2），即在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，則，顯然，，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，由，，由零點(diǎn)定理得，使得，即，且時(shí)，，則，時(shí)，，則．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又由，，則，由恒成立，且m為整數(shù)，可得m的最小值為1．【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)：解答本題的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)，在一次求導(dǎo)之后，如果函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不易求出，此時(shí)一般要進(jìn)行二次求導(dǎo)，求出新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出新函數(shù)在什么范圍內(nèi)大于零，什么范圍內(nèi)小于零，再結(jié)合已知分析得解.22．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），令，得，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若對于任意的，不等式恒成立，即對于任意的恒成立，令，，，令，，，所以在單調(diào)遞增，即，在上恒有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以.【小結(jié)】關(guān)鍵：本題第二問考查的是常量分離求參數(shù)的取值范圍問題，解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷符號(hào)時(shí)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試再求一次求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而通過單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)（邊界點(diǎn)，零點(diǎn)）等確定符號(hào).23．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(本題可能用的數(shù)據(jù)：，是自然對數(shù)的底數(shù))（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意，不等式恒成立，求整數(shù)t的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以有，解之得，故函?shù)的解析式為：；（2）當(dāng)時(shí)，則，令()，則由題意知對任意的，，而，，再令()，則，所以在上為增函數(shù)，又，，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，所以在