常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).解由圖可知重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).證明4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.解根據(jù)比較審斂法的極限形式知原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.證明收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).兩點(diǎn)注意:解比值審斂法失效,改用比較審斂法例.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;級(jí)數(shù)收斂.解級(jí)數(shù)收斂.解根據(jù)極限審斂法知根據(jù)極限審斂法知收斂.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).證明滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.解:(2)原級(jí)數(shù)收斂.三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)證明例9.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.解故知原級(jí)數(shù)發(fā)散.例10.判定級(jí)數(shù)的收斂性:其和分別為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理8.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.練習(xí)題練習(xí)題答案?jìng)溆妙}1.判別級(jí)數(shù)