高中數(shù)學(xué)人教B版4第二章參數(shù)方程 第2章一些常見曲線的參數(shù)方程

一些常見曲線的參數(shù)方程2.4.1擺線的參數(shù)方程2.4.2圓的漸開線的參數(shù)方程1.了解圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程.(重點(diǎn))2.了解漸開線與擺線的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]1.擺線(1)定義一圓周沿一直線作無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一定點(diǎn)M的軌跡稱為擺線.(2)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝at－sint,y＝a1－cost))(t是參數(shù)).2.圓的漸開線(1)定義把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)固定不動(dòng)的圓盤的側(cè)面上，把繩拉緊逐漸展開，繩的外端點(diǎn)隨之移動(dòng)，且繩的拉直部分始終和圓相切.繩的端點(diǎn)移動(dòng)的軌跡就是一條圓的漸開線，固定的圓稱為漸開線的基圓.(2)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acost＋tsint,y＝asint－tcost))(t是參數(shù)).[思考·探究]圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的幾何意義是什么？【提示】根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母a是指基圓的半徑，而參數(shù)t是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子與基圓的切點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度，如圖，其中的∠AOB即是角t.顯然點(diǎn)M由參數(shù)t惟一確定.在我們解決有關(guān)問題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，使求解過程更加簡(jiǎn)單.同樣，根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可知其中的字母a是指定圓的半徑，參數(shù)t是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于定直線與圓的切點(diǎn)所張開的角度.參數(shù)的幾何意義可以在解決問題中加以引用，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況.[自主·測(cè)評(píng)]1.關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是()A.只有圓才有漸開線B.漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開線D.對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同【解析】不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.【答案】C2.半徑為3的圓的擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是()A.π ππ π【解析】根據(jù)條件可知圓的擺線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t－3sint,y＝3－3cost))(t為參數(shù))，把y＝0代入可得cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z).而x＝3t－3sint＝6kπ(k∈Z).根據(jù)選項(xiàng)可知應(yīng)選C.【答案】C3.半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程是________.【解析】將a＝4代入圓的漸開線方程即可.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cost＋tsint,y＝4sint－tcost))4.給出某漸開線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cost＋3tsint,y＝3sint－3tcost))(t為參數(shù))，根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開線的基圓半徑是______，當(dāng)參數(shù)t取eq\f(π,2)時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是________.【解析】與漸開線的參數(shù)方程進(jìn)行對(duì)照可知，a＝3，即基圓半徑是3，然后把t＝eq\f(π,2)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3π,2)，,y＝3.))【答案】(eq\f(3π,2)，3)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：類型一求圓的擺線的參數(shù)方程已知一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790014】【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝at－sint,y＝a1－cost))(t為參數(shù))，只需把點(diǎn)(2,0)代入?yún)?shù)方程求出a的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出a的最大值，再確定對(duì)應(yīng)的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可.【嘗試解答】令y＝0，可得a(1－cost)＝0，由于a>0，即得cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z).代入x＝a(t－sint)，得x＝a(2kπ－sin2kπ).又因?yàn)閤＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，即得a＝eq\f(1,kπ)(k∈Z).又由實(shí)際可知a>0，所以a＝eq\f(1,kπ)(k∈N＋).易知，當(dāng)k＝1時(shí)，a取最大值為eq\f(1,π).代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,π)t－sint,y＝\f(1,π)1－cost))(t為參數(shù))；圓的漸開線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,π)cost＋tsint,y＝\f(1,π)sint－tcost))(t為參數(shù)).類型二求圓的漸開線的參數(shù)方程有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為22mm，求齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程.【精彩點(diǎn)撥】直接利用圓的漸開線參數(shù)方程的形式代入即可.【嘗試解答】因?yàn)榛鶊A的直徑為22mm，所以基圓的半徑為11mm，因此齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝11cost＋tsint,y＝11sint－tcost)).類型三圓的漸開線的參數(shù)方程的應(yīng)用當(dāng)t＝eq\f(π,4)，eq\f(π,2)時(shí)，求出漸開線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cost＋tsint,y＝sint－tcost))上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，并求出A，B的距離.【精彩點(diǎn)撥】把t＝eq\f(π,4)，eq\f(π,2)分別代入?yún)?shù)方程即可求出相應(yīng)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而進(jìn)一步求出兩點(diǎn)間的距離.【嘗試解答】把t＝eq\f(π,4)，eq\f(π,2)分別代入?yún)?shù)方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)1＋\f(π,4),y＝\f(\r(2),2)1－\f(π,4)))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)，,y＝1，))即A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(eq\f(\r(2),2)(1＋eq\f(π,4))，eq\f(\r(2),2)(1－eq\f(π,4)))，(eq\f(π,2)，1)，∴|AB|＝eq\r([\f(\r(2),2)1＋\f(π,4)－\f(π,2)]2＋[\f(\r(2),2)1－\f(π,4)－1]2)＝eq\f(1,4)eq\r(5－2\r(2)π2－4\r(2)π＋32－16\r(2)).我還有這些不足：(1)(2)