第二章過程特性及數(shù)學(xué)模型

第二章過程特性及其數(shù)學(xué)模型

1內(nèi)容提要化工過程的特點(diǎn)及其描述方法對象數(shù)學(xué)模型的建立建模目的機(jī)理建模實(shí)驗(yàn)建模描述對象特性的參數(shù)放大系數(shù)Κ時(shí)間常數(shù)Τ滯后時(shí)間τ2第一節(jié)化工過程的特點(diǎn)及其描述方法

自動控制系統(tǒng)是由被控對象、測量變送裝置、控制器和執(zhí)行器組成。系統(tǒng)的控制質(zhì)量與被控對象的特性有密切的關(guān)系。

研究對象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法來描述出對象輸入量與輸出量之間的關(guān)系。這種對象特性的數(shù)學(xué)描述就稱為對象的數(shù)學(xué)模型。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素，如下圖所示。輸出變量輸入變量通道控制通道干擾通道？幾個(gè)概念圖2-1對象的輸入輸出量3對象的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)特例4一般是在工藝流程和設(shè)備尺寸等都確定的情況，研究對象的輸入變量是如何影響輸出變量的。研究的目的是為了使所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)達(dá)到更好的控制效果。

在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量已確定的情況下，通過模型計(jì)算，確定設(shè)備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝條件。

（a）（b）（c）用于控制的數(shù)學(xué)模型（a、b）與用于工藝設(shè)計(jì)與分析的數(shù)學(xué)模型（c）不完全相同。5數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式分類1.非參量模型

當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用曲線或數(shù)據(jù)表格等來表示時(shí)，稱為非參量模型。非參量模型可以通過記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果來得到，有時(shí)也可以通過計(jì)算來得到。特點(diǎn)形象、清晰，比較容易看出其定性的特征

缺點(diǎn)直接利用它們來進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)往往比較困難

表達(dá)形式對象在一定形式輸入作用下的輸出曲線或數(shù)據(jù)來表示

6當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)方程式來描述時(shí)，稱為參量模型。對象的參量模型可以用描述對象輸入、輸出關(guān)系的微分方程式、偏微分方程式、狀態(tài)方程、差分方程等形式來表示。2.參量模型7第二節(jié)對象數(shù)學(xué)模型的建立一、建模目的（1）控制系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì)

（2）控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定

（3）制定工業(yè)過程操作優(yōu)化方案（4）新型控制方案及控制算法的確定

（5）計(jì)算機(jī)仿真與過程培訓(xùn)系統(tǒng)

（6）設(shè)計(jì)工業(yè)過程的故障檢測與診斷系統(tǒng)

8二、機(jī)理建模根據(jù)對象或生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，列寫出各種有關(guān)的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、動量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、設(shè)備的特性方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而獲取對象（或過程）的數(shù)學(xué)模型，這類模型通常稱為機(jī)理模型。9對于某些對象，人們還難以寫出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者表達(dá)式中的某些系數(shù)還難以確定時(shí)，不能適用。具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應(yīng)性，便于對模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)10舉例1.一階對象（1）水槽對象對象物料蓄存量的變化率＝單位時(shí)間流入對象的物料－單位時(shí)間流出對象的物料依據(jù)11（2-4）若變化量很微小，可以近似認(rèn)為Q2與h成正比（2-5）將上式代入（2-4）式，移項(xiàng)令則圖2-2水槽對象122.積分對象當(dāng)對象的輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)對時(shí)間的積分成比例關(guān)系時(shí)，稱為積分對象。Q2為常數(shù)，變化量為0說明，所示貯槽具有積分特性。其中，A為貯槽橫截面積圖2-4積分對象13三、實(shí)驗(yàn)建模

對象特性的實(shí)驗(yàn)測取法，就是在所要研究的對象上，加上一個(gè)人為的輸入作用（輸入量），然后，用儀表測取并記錄表征對象特性的物理量（輸出量）隨時(shí)間變化的規(guī)律，得到一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（或曲線）。這些數(shù)據(jù)或曲線就可以用來表示對象的特性。實(shí)驗(yàn)方法研究對象特性14定義：通過這種應(yīng)用對象的輸入輸出的實(shí)測數(shù)據(jù)來決定其模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。特點(diǎn)：把被研究的對象視為一個(gè)黑匣子，完全從外部特性上來測試和描述它的動態(tài)特性，不需要深入了解其內(nèi)部機(jī)理。系統(tǒng)辨識15實(shí)驗(yàn)性能的測試方法1.階躍反應(yīng)曲線法用實(shí)驗(yàn)的方法測取對象在階躍輸入作用下，輸出量y隨時(shí)間的變化規(guī)律。

圖2-7簡單水槽對象圖2-8水槽的階躍反應(yīng)曲線優(yōu)點(diǎn)簡單缺點(diǎn)穩(wěn)定時(shí)間長測試精度受限簡單水槽的動態(tài)特性舉例162.矩形脈沖法

當(dāng)對象處于穩(wěn)定工況下，在時(shí)間t0突然加一階躍干擾，幅值為A，到t1時(shí)突然除去階躍干擾，這時(shí)測得的輸出量y隨時(shí)間的變化規(guī)律，稱為對象的矩形脈沖特性，而這種形式的干擾稱為矩形脈沖干擾。此外，還可以采用矩形脈沖波和正弦信號。圖2-9矩形脈沖特性曲線圖2-10矩形脈沖波信號圖2-11正弦信號17混合建模先由機(jī)理分析的方法提供數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，然后對其中某些未知的或不確定的參數(shù)利用實(shí)測的方法給予確定。

這種在已知模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過實(shí)測數(shù)據(jù)來確定其中的某些參數(shù)，稱為參數(shù)估計(jì)。舉例以換熱器建模為例，可以先列寫出其熱量平衡方程式，而其中的換熱系數(shù)K值等可以通過實(shí)測的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定。

途徑18動力學(xué)模型實(shí)例19細(xì)胞生長動力學(xué)模型2021產(chǎn)物生成動力學(xué)模型2223基質(zhì)消耗動力學(xué)模型242526第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)一、放大系數(shù)K

對于前面介紹的水槽對象，當(dāng)流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會有相應(yīng)的變化，但最后會穩(wěn)定在某一數(shù)值上。如果我們將流量Q1的變化ΔQ1看作對象的輸入，而液位h的變化Δh看作對象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，對象一定的輸入就對應(yīng)著一定的輸出，這種特性稱為對象的靜態(tài)特性。27圖2-12水槽液位的變化曲線或K在數(shù)值上等于對象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量之比。K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時(shí)，對輸出量的影響越大，即被控變量對這個(gè)量的變化越靈敏。28K的意義也可以說成在一定的輸入變化量作用下，通過對象被放大K倍而得到的輸出變化量，故有時(shí)也稱K為靜態(tài)增益。放大系數(shù)K越大，在相同輸入變化量作用下，輸出變化量也越大，即輸入對輸出的影響越大，被控對象的自身穩(wěn)定性越差，被控變量對這個(gè)輸入量的變化就越靈敏。反之，K越小，則被控對象自身穩(wěn)定性越好。29二、時(shí)間常數(shù)T

從大量的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達(dá)到了穩(wěn)定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過很長時(shí)間才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。

圖1-15不同時(shí)間常數(shù)對象的反應(yīng)曲線30如何定量地表示對象受干擾后的這種特性呢？

在自動化領(lǐng)域中，往往用時(shí)間常數(shù)T來表示。時(shí)間常數(shù)越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達(dá)新的穩(wěn)定值所需的時(shí)間越長。

31時(shí)間常數(shù)T就是用來表征被控過程動態(tài)特性的參數(shù)。T表示對象受擾動作用后，被控變量變化達(dá)到新穩(wěn)定值的速度的快慢。時(shí)間常數(shù)T的物理可理解為：對象在階躍輸入作用下，被控變量一直保持初始的變化速度，達(dá)到新的穩(wěn)定態(tài)值所需要的時(shí)間。時(shí)間常數(shù)T越大，表示被控對象的被控變量變化越慢，達(dá)到新穩(wěn)定態(tài)值所需要的時(shí)間也就越長。對控制通道而言，希望時(shí)間常數(shù)盡量小，使被控變量變化比較快捷，控制過程比較靈敏。對擾動通道而言，希望時(shí)間常數(shù)T越大越好，這相當(dāng)于對擾動信號進(jìn)行濾波。這時(shí)階躍擾動對系統(tǒng)的擾動作用變得比較緩和。32圖2-17不同時(shí)間常數(shù)下的反應(yīng)曲線T1＜T2＜T3＜T4

說明時(shí)間常數(shù)大的對象（如T4)對輸入的反應(yīng)較慢，一般認(rèn)為慣性較大。33圖2-18時(shí)間常數(shù)T的求法由左下圖所示，式（2-38）代表了曲線在起始點(diǎn)時(shí)切線的斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值h（∞）上截得的一段時(shí)間正好等于T。由式（2-33），當(dāng)t=∞時(shí)，h=KA。當(dāng)t=3T時(shí)，代入式（2-33）得（2-40）從加入輸入作用后，經(jīng)過3T時(shí)間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的95％，這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動態(tài)過程基本結(jié)束。所以，時(shí)間常數(shù)T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時(shí)間的一個(gè)重要參數(shù)。結(jié)論34三、滯后時(shí)間τ定義分類對象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。滯后性質(zhì)傳遞滯后容量滯后

傳遞滯后又叫純滯后，一般用τ0表示。τ0的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時(shí)間而引起的。

對象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開始變化很慢，后來才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。351.傳遞滯后顯然，純滯后時(shí)間τ0與皮帶輸送機(jī)的傳送速度v和傳送距離L有如下關(guān)系：（2-41）溶解槽及其反應(yīng)曲線純滯后時(shí)間舉例36從測量方面來說，由于測量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測量元件安裝不合適等原因也會造成傳遞滯后。蒸汽直接加熱器

當(dāng)加熱蒸汽量增大時(shí)，槽內(nèi)溫度升高，然而槽內(nèi)溶液流到管道測溫點(diǎn)處還要經(jīng)過一段時(shí)間τ0。所以，相對于蒸汽流量變化的時(shí)刻，實(shí)際測得的溶液溫度T要經(jīng)過時(shí)間τ0后才開始變化。注意：安裝成分分析儀器時(shí)，取樣管線太長，取樣點(diǎn)安裝離設(shè)備太遠(yuǎn)，都會引起較大的純滯后時(shí)間，工作中要盡量避免。37一般是由于物料或能量的傳遞需要通過一定阻力而引起的。

2.容量滯后說明：輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度等于零，以后隨著t的增加，變化速度慢慢增大，但當(dāng)t大于某一個(gè)t1值后，變化速度又慢慢減小，直至t→∞時(shí)，變化速度減少為零。

38圖2-23串聯(lián)水槽的反應(yīng)曲線容量滯后時(shí)間T二階對象近似為是有滯后時(shí)間τ＝τh，時(shí)間常數(shù)為T的一階對象用一階對象的特性（是有滯后）來近似上述二階對象的方法

39圖2-24滯后時(shí)間τ示意圖

在容量滯后與純滯后同時(shí)存在時(shí)，常常把兩者合起來統(tǒng)稱滯后時(shí)間τ，即τ＝τ0＋τh。

自動控制系統(tǒng)中，滯后的存在是不利于控制的。所以，在設(shè)計(jì)和安裝控制系統(tǒng)時(shí)，都應(yīng)當(dāng)盡量把滯后時(shí)間減到最小。結(jié)論40純滯后和容量滯后是有本質(zhì)區(qū)別的。但在實(shí)際生產(chǎn)過程中兩者是同時(shí)存在的，有時(shí)很難區(qū)分。通常把兩種滯后合在一起，統(tǒng)稱為滯后時(shí)間。滯后時(shí)間對控制系統(tǒng)有很大影響。一般認(rèn)為滯后時(shí)間的存在對控制系統(tǒng)是不利的。對控制通道而言，控制系統(tǒng)的受到擾動作用后，被控變量變化不能立即反應(yīng)出來或反應(yīng)很