九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第24章圓24.6正多邊形與圓第1課時(shí)正多邊形與圓的關(guān)系授課課件新版滬科版

第24章

圓24.6正多邊形與圓第1課時(shí)

正多邊形與圓

的關(guān)系1課堂講解正多邊形與圓的關(guān)系的認(rèn)識(shí)正多邊形的有關(guān)計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形的畫(huà)法2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升觀察下列圖形，你能說(shuō)出這些圖形的特征嗎？1知識(shí)點(diǎn)正多邊形與圓的關(guān)系的認(rèn)識(shí)各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形．要點(diǎn)精析：“各邊相等，各角相等”是正多邊形的兩個(gè)基本特征，邊數(shù)

n＞3的多邊形必須同時(shí)滿足，二者缺一不可，否則多邊形就不是正多邊形．例如，菱形的各邊相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各邊不一定相等，所以它們都不是正多邊形．知1－講1.正多邊形的定義：把圓分成n(n≥3)等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形就是圓內(nèi)接正n邊形，而這個(gè)圓是正n

邊形的外接圓．拓展：把圓分成n(n≥3)等份，經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形，而這個(gè)圓是這個(gè)正n邊形的內(nèi)切圓．知1－講

2.圓內(nèi)接正n邊形：例1下列說(shuō)法不正確的是(

)A．等邊三角形是正多邊形B．各邊相等，各角相等的多邊形是正多邊形C．菱形不一定是正多邊形D．各角相等的多邊形是正多邊形等邊三角形是正三角形；當(dāng)菱形的四角相等時(shí)才是正

多邊形(正方形)，所以菱形不一定是正多邊形；各邊相等，各角相等的多邊形是正多邊形，故D不對(duì)．知1－講D導(dǎo)引：總

結(jié)知1－講解答本題運(yùn)用了定義法，即各選項(xiàng)中提到的多邊形是否具備各邊和各角相等，這兩個(gè)條件缺一不可．例2已知一個(gè)正多邊形有一個(gè)內(nèi)角是150°，那么它是正幾邊形？由正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求其邊數(shù)，可以用n

邊形的內(nèi)角和公式(n－2)·180°＝150°n，求出n的值；也可以先求每個(gè)外角的度數(shù)為30°，再求

邊數(shù)．知1－講導(dǎo)引：方法一：∵n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，∴此正多邊形內(nèi)角和為150°n＝(n－2)·180°，

解得n＝12.∴此多邊形為正十二邊形．方法二：∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，則每個(gè)外角也相等，∴每個(gè)外角為180°－150°＝30°.又∵多邊形的外角和是360°，∴360°÷30°＝12，即此多邊形為正十二邊形．知1－講解：總

結(jié)知1－講求正多邊形的邊數(shù)的常用方法：一是利用多邊形內(nèi)角和公式(n－2)·180°求出多邊形內(nèi)角和，再根據(jù)每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)相等除以n；二是先求出每個(gè)外角的度數(shù)，再用360°除以每個(gè)外角的度數(shù)即可．例3如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

根據(jù)同圓中相等的圓周角所

對(duì)的弧相等，得出，

利用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去

，即可得到，根據(jù)等弧所對(duì)的弦

相等，得出BC＝AE.知1－講導(dǎo)引：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圓周角∠A所對(duì)的弧為，圓周角∠B所對(duì)的弧為，∴.∴，即.∴BC＝AE.同理可證其余各邊都相等．∴五邊形ABCDE是正五邊形．知1－講證明：總

結(jié)知1－講(1)證正多邊形和圓的關(guān)系，在圖形中找到圓的弧、弦等，利用同(等)弧所對(duì)的圓周角相等、所對(duì)的弦相等解答．其證明思路如下：角相等?弧相等?弦相等??正多邊形．(2)證明一個(gè)多邊形是正多邊形的方法：①利用定義，證出各邊相等，各角相等；②利用圓內(nèi)接多邊形，證明各邊所對(duì)的弧相等，即把圓n等分，依次連接各等分點(diǎn)，所得多邊形即為正多邊形.各角相等各邊相等1 求下列正多邊形每個(gè)內(nèi)角及其外角的度數(shù)：(1)正五邊形；(2)正八邊形；(3)正十二邊形.2下列說(shuō)法正確的是(

)A．平行四邊形是正多邊形B．矩形是正四邊形C．菱形是正四邊形D．正方形是正四邊形知1－練已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，給出下列三個(gè)條件：①；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.在這些條件中，能夠判定四邊形ABCD是正方形的條件共有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)知1－練4下列給出四個(gè)命題：①各多邊形都有內(nèi)切圓和外接圓，且這兩個(gè)圓是同心圓；②各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；④正多邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．其中正確命題有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)知1－練2知識(shí)點(diǎn)正多邊形的有關(guān)計(jì)算知2－講1．與正多邊形有關(guān)的概念：(1)我們把一個(gè)正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心，

叫做正多邊形的中心．(2)正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形的內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．(4)正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角，叫做正多邊形的

中心角．知2－講邊心距是圓心到正多邊形一邊的距離，此時(shí)的邊心距也可以看作正多邊形的外接圓中，圓心到多邊形的邊(即外接圓的弦)的距離，即邊心距也是弦心距；但弦心距不一定是邊心距．2.邊心距與弦心距的關(guān)系：知2－講拓展：正多邊形的有關(guān)計(jì)算：名稱公式說(shuō)明中心角α＝α為中心角，n為邊數(shù)邊心距、邊長(zhǎng)、半徑間的關(guān)系式R2＝r2＋

a2R為半徑，r為邊心距，a為邊長(zhǎng)周長(zhǎng)C＝naC為正n邊形的周長(zhǎng)，a為邊長(zhǎng)面積S＝

CrS為正多邊形的面積，C為正多邊形的周長(zhǎng)，r為邊心距知2－講例4已知：⊙O的半徑R＝6cm.(1)如圖(1)，求⊙O的內(nèi)接正三角形ABC的邊心距、

邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積；(2)如圖(2)，求⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心

距、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積．知2－講找準(zhǔn)解題時(shí)所需要的基本圖形，由中心到正多邊形一邊的垂線段、半徑、邊的一半構(gòu)成直角三角形(這樣很自然就產(chǎn)生了本題的輔助線)，根據(jù)關(guān)系式R2＝r2＋(R為外接圓半徑，r為邊心距，a為邊長(zhǎng))解題．導(dǎo)引：知2－講(1)如圖(1)所示，連接OB，過(guò)O作OD⊥BC于點(diǎn)D.由題意得，∠BOD＝×＝60°，∴∠OBD＝30°，又∵R＝6cm，∴邊心距r＝OD＝OB＝R＝3cm.∴BD＝cm.由垂徑定理得，

邊長(zhǎng)BC＝2BD＝6cm，∴周長(zhǎng)C＝3BC＝18cm，

面積S＝Cr＝×18×3＝27(cm2)．解：知2－講(2)如圖(2)所示，連接OA，過(guò)O作OH⊥AB于點(diǎn)H.由題意得，∠AOH＝×＝30°.∵R＝6cm，∴AH＝OA＝R＝3cm.∴邊心距r＝OH＝cm.

由垂徑定理得，AB＝2AH＝6cm.∴周長(zhǎng)C＝6AB＝36cm，

面積S＝Cr＝×36×3＝54(cm2)．總

結(jié)知2－講在求圓內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、邊心距問(wèn)題時(shí)，常利用半徑、邊心距、邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成含有30°，45°或60°等特殊角的直角三角形來(lái)求解．3知2－練1半徑為8cm的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為(

)A．8cmB．4cmC．8cmD．4cm如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．弦AB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接

正六邊形的邊長(zhǎng)B.C．弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)D．∠BAC＝30°3一個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形和外切正四邊形的面積的比是(

)A．1∶B．1∶2C．2∶3D．2∶π知2－練知3－講3知識(shí)點(diǎn)圓內(nèi)接正多邊形的畫(huà)法由于同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓周，從而得到正多邊形．采用“先用量角器畫(huà)一個(gè)的圓心角，然后在圓上依次截取這個(gè)圓心角所對(duì)弧的等弧”．這種方法簡(jiǎn)便，且可以畫(huà)任意正多邊形、誤差小．1.用量角器等分圓：知3－講用尺規(guī)作圖的方法等分圓周，然后依次連接圓上各分點(diǎn)得到正多邊形，這種方法有局限性，不是任意正多邊形都能用此法作圖，這種方法從理論上講是一種準(zhǔn)確方法，但在作圖時(shí)較復(fù)雜，同樣存在作圖的誤差．作圖時(shí)易忽視累積誤差的影響，導(dǎo)致作圖不準(zhǔn)，應(yīng)減少累積誤差.2.用尺規(guī)等分圓：3.易錯(cuò)警示：知3－講例5作一個(gè)正三角形，使其半徑為0.9cm.

先作出一個(gè)半徑為0.9cm的圓，再用量角器畫(huà)出中

心角為120°的角(2個(gè))，依次連接與圓的交點(diǎn)即可，

或?qū)A六等分，再依次連接相隔一個(gè)的等分點(diǎn)即

可．導(dǎo)引：作法一：(1)作半徑為0.9cm的⊙O；(2)用量角器畫(huà)∠AOB

＝∠BOC

＝120°，與⊙O分別交于點(diǎn)A，B，C；(3)連接AB，BC，CA.則△ABC為所求作的正三角形，如圖所示．知3－講解：作法二：(1)作半徑為0.9cm的⊙O；(2)作⊙O的任一直徑AB；(3)分別以A，B為圓心，以0.9cm為半徑作弧，交

⊙O于C，F(xiàn)和D，E；(4)連接AD，DE，EA.則△ADE為所求作的正三角形，

如圖所示．知3－講總

結(jié)知3－講解決這類問(wèn)題通常有兩種方法：(1)用量角器等分圓周法；(2)用尺規(guī)等分圓周法．在一個(gè)半徑為2cm的圓中，作出它的內(nèi)接正六邊形及內(nèi)接正三角形.2用量角器作出一個(gè)半徑為2cm的圓的內(nèi)接正五邊形.知3－練如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：(1)以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑