150g專業(yè)課zl數學分析2005含答案

2005年攻讀入學考試試考試科目：數學120')求下列極限nnanbn

,(0abnanbn2b解nanbn2bnbnbn因此n(2)lim

n2bn2bnananb fa)0,fa存xaf(x)f(a (xa)f(afa)0,fa存在，從而fxf(a)+f(a)(x- (xa)f(a)(f(x)f(a))lim( )lim( xaf(x)f(a (xa)f(a x (f(x)f(a))(xa)f(a(xa)(xa)f(a)(f(a)(x-a)+f(a) o((xa)2lim

(xa)2

o((xa)2x

(xa)f(a)(f(a)(x-a)+f((xa)

(xa)2

o((xa)2x

-f(2

o((xa)2(xa)(xa)f(a)(f(a)(x-a)+f(1f(a

o((xa)22 f(ax (xa 2[f(af(a)(f(a)f(

o((xa2.(18fx)在01fx)的每一個零點都是簡單零fx0)0則fx)0證明：fx)在[0,1]上只有有限個零點。0 證明：設若不然fx)在[0,1]上有無窮多個零點，不妨設{x}[0,1],fx)0,n 則存在{x}的一個子列{x},使得 x(k)且f(x)0，從而f(x) nn nf(x)f(x f(xn)f(x0則f(x) 0 0與題設相 x

x

xx所以f(x)在[0,1]上只有有限個零點。.(20')fx)R上的2周期函滿足2（1）0f(x)dxf(x)f(y)Lxy,x,y證明：（1）f(x)在R上可以取到最大值，最小（2）maxxRf(x)證明：（1）

f(x)f(y)

xyx,yR0,

0,取x[0,2],x[0,2],當x 時，有f(x)f(x)Lx 取 ,則L

f(x)f(x0)從而fx)在[0,2]上連續(xù)fx)在[0,2]上可以取到最大最小fx)R上的2周期函數，所以f(x)在R上可以取到最大值，最小值（2）f(xM)maxx02]2

f(x

2 f(x)dx0知x[0,2]，使得f(x)

f(x)dx

2以下分三種情況討論：當xMx0f(xM)f(x)0 f(x)0 x[0,2當xMx0f(x)的周期性2f(x0)f(xM)f(x)f(x)f(x2)f(x)L(xx)L(x2x)2 當xM<x0時,由f(x)的周期性，2f(x0)f(xM)f(x)f(x)f(x2)f(x)L(xx)L(x2x)2 從而由(a(bc)知道m(xù)axxRfx).16）方xuyu0變?yōu)橐詷O坐標r,為自變量的形式，其中極坐標 變換為x=rcosy=rsin,r0解uucosur(sin uusinurcos 2因此x y rcos sinrcos rsincosrsin 所以方程為 2u

n.20）{a}有極限Ln（1）f(x)axnn在（11）lim（1x)f(x)x（1）limaLL0liman1n

n(事實

1 12an1an1ann L0f(xanxn的收斂區(qū)間為（11）從而f(xaxnn在（11）上有定義2若L=0liman0NnN時，axn0x（11）n n所以L=0f(xaxnn在（11） （2）lim（1x)f(x)lim（f(x)-xf(x))=lim axn axn1 x x x

n= n= lim( xn1axn1)lim(ax xn1ax x

n n= n= x

n n= n= lim(ax( a)xn1)a( a)alim( a) x n n n n n= n=620')求由圓錐體zax2x2y2

x2y2和球體x2y2za2a所圍成的立體體積， 解{ 2z2azaa (za (1)當2aa20a2ora0圓錐體與球體不相交，從而所圍體積為（2）2aa20a2ora0（aa0時，球體縮為一個點，從而所圍體積為（ba2時,圓錐體與球體相切，此時x=rcos0r10y=rsin

2 a Vdxdydz ddr rdz2 a (a1)2 a2 當2aa200<a<2時，圓錐體與球體相交2 a Vdxdydz ddr rdz2 a (a1)2 a2 ,x.8）fx),0x4

展成Fourier級數并求

2的和。n=1(2nfx)在0]n奇函數因此a01bn

f(x)sin(nx)dx

f(x)sin(nx)dx

f(x)sin(nx)2f(x)sin(nx)dx2

sinnxdx11sin(nx) 0 201(1)1cos(nx)|11cos(n)1(1)n111 0 2011

2 2 2 2nfx)

n12n

sin1(2)因