2021年中考數(shù)學(xué)探究題、變式題

數(shù)學(xué)中考探究、式、，是角三角形斜上動（與，合），別過，向直線垂線，足為，，為中．（）圖，點(diǎn)與點(diǎn)合時，的關(guān)系是∥，數(shù)量關(guān)系（）圖，點(diǎn)線段不與點(diǎn)重時，判與數(shù)量關(guān)，給予證；（）圖，點(diǎn)線段（）延上時，（）的論是否成？請畫出圖形并給予證．、（）（），知中，，線經(jīng)，直，線，足為點(diǎn)D、．證明．（）（）將（）的改為在中，，、、點(diǎn)都在直線m上，且，中α為任角或鈍．問論是成立？成，你證；不，說由．（）展用如（），、是、、三所在直線上兩動（、、三點(diǎn)互不重）為平線上的一，均等邊三角，接、，，判的狀．．一角三角，三板中，，，三中，，，．這角三角板按如圖示位置擺，與點(diǎn)合，角邊與在條直線．固角板，三沿線方行移，當(dāng)點(diǎn)動到點(diǎn)時止．（）圖，三運(yùn)到點(diǎn)重時，與于點(diǎn)，度；

（）圖，三運(yùn)過，過點(diǎn)時，的長；（）三運(yùn)過程，，塊板重疊部分的面積為，與的函數(shù)解析，求應(yīng)的取范．．，是的直線，，于點(diǎn)，（）．證，程過點(diǎn)作點(diǎn)，交，，邊形內(nèi)為，，．又，≌，，，為直角三角，．又，，．（）繞轉(zhuǎn)到如（）（）個時，、滿什么樣關(guān)系式，寫的猜，對（）予．（）在點(diǎn)轉(zhuǎn)過程，，時，，已知如，平邊形中，，，以斜邊在平行四邊形的作eq\o\ac(△,)，，．（）eq\o\ac(△,)的長；（）eq\o\ac(△,)以秒個位長度的速度沿右平行移，eq\o\ac(△,)，與合時停止移，運(yùn)間為t秒eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)疊的面積為，直出S與之函數(shù)關(guān)系，寫取值范；（），（），eq\o\ac(△,)停移動后得eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)繞順時針方向旋轉(zhuǎn)（＜＜），轉(zhuǎn)過程，對應(yīng)點(diǎn)為，的點(diǎn)為，直

線交、直線于點(diǎn)．否這樣的α，eq\o\ac(△,)為三角？若存，出α的度；不在，說．．eq\o\ac(△,)中，，于，中，交點(diǎn)，點(diǎn)在．（）圖，，，證．（）圖，，，的．、方的直線上，對角線、的，點(diǎn)于，點(diǎn)作于．（）圖，、兩均直上時，證（需明）（）正繞順時轉(zhuǎn)至圖、的置，段、、之又有怎樣的關(guān)？直出你的猜，選種情況給予證．、圖eq\o\ac(△,)腰直角三角，，上的一個動（、重合），為邊在等腰直角三角形外作正方形連接、．（）猜中、的量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)，接結(jié)論；圖中的形，著順時（逆）向任意角度，到如圖、．于，點(diǎn)，你中的結(jié)論是否仍然成，選明你的判．（）原的等腰直角三角形改直角三角形，，方改為矩形，圖，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，連接、，的．、學(xué)求重疊部分的面．問題情境數(shù)學(xué)活動課，師了一個問題如圖，兩等的直角三角形紙eq\o\ac(△,)和放在一，中，，，點(diǎn)D邊中點(diǎn)重，經(jīng)點(diǎn)C，點(diǎn)．重分eq\o\ac(△,)）面．（）立請回答老師提出的問．

（）作希小受此問題的啟，eq\o\ac(△,)點(diǎn)轉(zhuǎn)，于點(diǎn)，，圖，能求出重疊部分eq\o\ac(△,)）面？寫解答過．（）出老師要求各小組希小學(xué)，eq\o\ac(△,)繞，提個求重疊部分面積的問．心小出的問題是如圖，eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，分別于點(diǎn)，，使求重疊部分eq\o\ac(△,)）面．任請愛心小組提出的問，接eq\o\ac(△,)的．你仿照以上兩個小，膽一個符合老師要求的問，在中圖，標(biāo)明字，必（也圖的礎(chǔ)上按順時針旋）、，方的長是，是點(diǎn)，接，線點(diǎn)逆針得線段，直點(diǎn)，，點(diǎn)F與點(diǎn)E側(cè)，連接，．（），點(diǎn)P長線上，證形是行邊；（），點(diǎn)P線段時四邊形否還是平行四邊，明；（）（）條，邊面積是否有最大？，求面積的最大值及此時長；沒，說理．如圖，梯，，，，．從點(diǎn)出發(fā)沿向運(yùn)，點(diǎn)交點(diǎn)．eq\o\ac(△,)沿所直線折疊得eq\o\ac(△,)，線、別交于點(diǎn)、，過點(diǎn)時，即止運(yùn)．，與重疊部分的面積為．（）eq\o\ac(△,)等腰三角；（）過（（），；（）表成的函數(shù)并求的．分以（）三，，為邊作等腰直角三角形eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)．

（）圖，三腰直角三角形都在該平行四邊形外部，接，．判關(guān)系（只寫結(jié)論，需）；（）圖，三腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部，接，，（中結(jié)論還成立？成立，出明；不，明．eq\o\ac(△,)是邊三角，點(diǎn)的坐別是A（，，（，．（）圖，點(diǎn)點(diǎn)合時，求直線解析；（）圖，從沿向下移，以圓，為徑的與相切（點(diǎn)），點(diǎn)的；（）圖，從沿向下移，點(diǎn)C的標(biāo)（），的正切．、知三角形中，，的延長線，，點(diǎn)、分、的點(diǎn)，接直線于．當(dāng)點(diǎn)邊時，圖1示，證（）點(diǎn)D時，圖2示，述是否成？成立，給；不成，寫的猜，說理．（）點(diǎn)在邊的延長線上，圖示，直出你的結(jié)．（不需要證）、圖，eq\o\ac(△,)中，，eq\o\ac(△,)外角的角平分線上一個動，是于直線的稱點(diǎn)，結(jié)交點(diǎn)，交，結(jié)、、．（）四為菱形，的；（）eq\o\ac(△,)，長（）eq\o\ac(△,)為腰三角，eq\o\ac(△,)的．閱下面材料小明遇到這樣一個問題如圖，邊（＞）正各上截取，時求正方形的積．

小明發(fā)，別，，，，，，延長線于點(diǎn)，，，，可eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)四個全等的等腰直角三角（圖）請回答（）將四個等腰直角三角形拼成一個新的正方（縫重）則個新正方形的邊長為（）正的積．（）考思考問題的方，決如圖，等eq\o\ac(△,)各分別截取，分點(diǎn)，，，，垂，到eq\o\ac(△,)．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)，長．、圖，兩全相同的三角形紙片和重合放，，．（）作如圖，eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)點(diǎn)轉(zhuǎn)，好落在邊時，空段位置關(guān)系；eq\o\ac(△,)面積為eq\o\ac(△,)的為，與的量關(guān)系是．（）想eq\o\ac(△,)轉(zhuǎn)到如圖3所位置，明想（中與數(shù)量關(guān)系仍然成，嘗別作出eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中、的，你明小明的猜．（）展已，是分線上一，，點(diǎn)（）．射線上在點(diǎn)，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)，直出相應(yīng)的長．

、知共一個頂點(diǎn)的等腰eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，，接，是的中點(diǎn)，接、．（）圖，同一直線上，證；（）圖，，，，；（）圖，時，證．、，正中，是線的一，在延長線，．（）eq\o\ac(△,)≌；（）；（）正改菱，條件不（圖）若，．、eq\o\ac(△,)，，上一點(diǎn)，、分、上，．，于點(diǎn)．（）殊如圖，，為中，證，；（）展若圖，為點(diǎn)，（）的結(jié)論有一個仍成，指加以證；圖，，件點(diǎn)M在改為點(diǎn)M在段延長線，它條件不，探與數(shù)量關(guān)系并加以證．、，正中，角與相于點(diǎn)，是的一個動，連接，于．（），，的值；（）當(dāng)平分時，證；（），點(diǎn)是的點(diǎn)，點(diǎn)F作于，求證．

、數(shù)動小組在作三角形的拓展圖，究質(zhì)時，歷下過程（）作在等eq\o\ac(△,)中，，別斜，eq\o\ac(△,)的作等腰直角三角，圖所，中點(diǎn)，于，的，接和，下論正確的（序）；；個圖形是軸對稱圖；．（）學(xué)在任eq\o\ac(△,)中，別和為，eq\o\ac(△,)的作等腰直角三角，圖2所，中點(diǎn)，接，和具樣的數(shù)量關(guān)？請給出證明過；（）比（）任eq\o\ac(△,)中，分，eq\o\ac(△,)的側(cè)作等腰直角三角，如圖示中點(diǎn)，接試判eq\o\ac(△,)的狀．．等腰直角三角形（）三不相等eq\o\ac(△,)中（備圖），仍分別以和斜邊，eq\o\ac(△,)的內(nèi)側(cè)（等腰）角形和（等）角形，是的點(diǎn)，接，（）的此時仍然成，為需增加一個什么樣的條？限用題中字母表）說．、過聯(lián)、引申拓展研究典型題，達(dá)一題知一類的目．面?zhèn)€案例，補(bǔ)．原題如圖，、分在正方形的、上，，接，，說．（）路，eq\o\ac(△,)繞時針旋轉(zhuǎn)eq\o\ac(△,)，使與合．，，、、共．

根據(jù)，eq\o\ac(△,)≌．

，（）比如圖，邊中，，點(diǎn)、別在邊、，．、是直，當(dāng)與足等量關(guān)系時，有．（）想如圖，eq\o\ac(△,)中，，，、均上，．想、、應(yīng)滿的等量關(guān)，寫理過．、明次數(shù)學(xué)興趣小組活動，一學(xué)問題作如下探究問題情境如圖，邊中，，邊中，接長交延長線于點(diǎn)，邊形（表）問題遷移如圖已知銳角有一個定點(diǎn)．點(diǎn)P意作一條直線，別射線、于、．明線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)eq\o\ac(△,)的積存在最小值，問線在位置時eq\o\ac(△,)的積最，說．實(shí)際應(yīng)用如圖，在、之間有一村莊發(fā)疫，疫計劃以公路、經(jīng)過防疫站一條直線為，建立一個面積最小的三角形隔離eq\o\ac(△,)．測，，，eq\o\ac(△,)的．果精確）參考數(shù)據(jù)，，）拓展延伸如圖，平角坐標(biāo)系，為標(biāo)，、、、的分別為（，（，））、（、），點(diǎn)p的直l與形一對，四形分兩四，中以點(diǎn)頂點(diǎn)的四邊形面積的最大．、【讀】如圖，平角坐標(biāo)系中，知（，（＞，（，），（）．點(diǎn)作直，它第、象限，線l與軸的軸所成角設(shè)為，四邊形的沿直線折疊，落點(diǎn)處，們個操作過程記為，．

【】若點(diǎn)與點(diǎn)，這作過程為；【】（）點(diǎn)D為的點(diǎn)如圖），；（）過，操作，在點(diǎn)，點(diǎn)在邊形邊，出的；點(diǎn)E在四邊形的部，接取值范；【】經(jīng)過，操作，直交于點(diǎn)，直點(diǎn)，eq\o\ac(△,)是相似的等腰三角，接，．、eq\o\ac(△,)中，，在邊所直線上，點(diǎn)D線于點(diǎn)，交于．（）點(diǎn)D邊上，，證．（）點(diǎn)D邊的長線上，；點(diǎn)D在邊向延長線上，圖，分出、，之間數(shù)量關(guān)，需．（），、數(shù)趣小組開展了一次課外活，程如圖，方，，將三角板放在正方形上，三的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)．角的一邊交于，另一邊交延長線于點(diǎn)．（）證；（）圖，明礎(chǔ)上平分線點(diǎn)，接，發(fā)現(xiàn)和在一定的數(shù)量關(guān)，猜的結(jié)論并予以證；

（）圖，定板直角頂點(diǎn)在點(diǎn)，動，三的一邊交延長線于點(diǎn)，一的線于點(diǎn)，平分線交長線于點(diǎn)，連接，，幫算eq\o\ac(△,)面．、知形在，別是，邊點(diǎn)，與于點(diǎn)．（），四是，．；（），四平行四邊．究與足什么關(guān)系，使得成？證的結(jié)；（），，，，．接寫出的值、如，所的個角角（邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)），以下兩個探究問題探究一將以上兩個三角形如拼（和重），上有一動點(diǎn)P．（）點(diǎn)P動到角平分線上，接，線的；（）點(diǎn)P運(yùn)動的過程中出現(xiàn)時，的．探究二如，eq\o\ac(△,)頂點(diǎn)放eq\o\ac(△,)邊的中點(diǎn)，以為轉(zhuǎn)中心旋eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)的角邊eq\o\ac(△,)兩直角邊分別交于、兩，接．旋eq\o\ac(△,)過程中eq\o\ac(△,)周長是否存在有最?。看?，出最小；不在，說．、們，角三條中線一定會交于一，一叫做三角形的重．心有很多美妙的性，關(guān)段比．積有一結(jié)論，用性質(zhì)可以解決三角形中的若干問．你重心的概念完成如下問題（）eq\o\ac(△,)的重心（圖），并交于D，；（）eq\o\ac(△,)的中（圖）是，滿，判是