2017-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三二模數(shù)學(xué)匯編：空間向量與立體幾何章節(jié)綜合

22/222017-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三二模數(shù)學(xué)匯編

空間向量與立體幾何章節(jié)綜合一、填空題1．（2018·北京海淀·二模（理））如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為__________.二、解答題2．（2017·北京朝陽·二模（文））如圖，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得？請(qǐng)說明理由．3．（2017·北京東城·二模（理））如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為菱形，且，，∥，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，說明理由．4．（2017·北京朝陽·二模）如圖1，在△中，，，分別為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．將△沿折起到△的位置，使．點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，如圖2．（1）求證：；（2）線段上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求出的長，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大?。?．（2018·北京海淀·二模（理））如圖，在三棱柱中，平面，，分別是的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：平面；（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.6．（2019·北京海淀·二模（理））如圖1所示，在等腰梯形，，，垂足為，，.將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示，點(diǎn)為棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，求證：平面(Ⅱ)求證：平面;(Ⅲ)是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2020·北京西城·二模）如圖，在幾何體中，底面是邊長為的正方形，平面，，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求鈍二面角的余弦值．8．（2020·北京朝陽·二模）如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．9．（2020·北京海淀·二模）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為線段的中點(diǎn)，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．10．（2020·北京東城·二模）如圖①，四邊形中，，，，，為的中點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖②.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值.11．（2020·北京西城·二模）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中點(diǎn)，且AC＝BC＝AA1＝2.（1）求證：BC1∥平面AB1D；（2）求直線BC與平面AB1D所成角的正弦值.12．（2021·北京海淀·二模）如圖，在三棱錐中，分別是AC，PC的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值13．（2021·北京朝陽·二模）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，.再從條件①?條件②?條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知，并作答.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：；條件③：平面平面.

參考答案1．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由，求得，得到，進(jìn)而求得三角形的面積的最小值，得到答案.【詳解】以D點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以DC所在直線為y軸，以DA所在直線為x軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?所以，所以，因?yàn)锽(2，2，0)，所以，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.因?yàn)锽C⊥BP,所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，其中解答建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2．（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）由可證．（2）因?yàn)槠矫?，所以．?）由平面，得.所以平面.所以只需即可．試題解析：（Ⅰ）在三棱柱中，，且平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因?yàn)榈酌?，，所以，，則平面.即平面.所以.（Ⅲ）因?yàn)樵趥?cè)面中，，，是棱的中點(diǎn)，所以.則.因?yàn)槠矫?，所?所以平面.又平面，所以平面平面，且平面平面，過點(diǎn)作于，所以平面.則.所以在線段上存在點(diǎn)，使得.3．（1）見解析（2）（3）【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)，利用面面平行平面∥平面，得到線面平行∥平面；（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，，先證兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出的方向向量，面的法向量，利用可得結(jié)果；（Ⅲ）設(shè)是上一點(diǎn)，且，根據(jù)共線可得的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積為0，可得結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以∥．又平面且平面，所以∥平面，因?yàn)椤?，，所以∥，．所以四邊形為平行四邊形．所以∥．又平面且平面，所以∥平面，又，所以平面∥平面．又平面，所以∥平面．（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，．因?yàn)?，，所以△為等邊三角形．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)閮蓛纱怪保O(shè)，以為原點(diǎn)，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．所以．設(shè)直線與平面成角為，所以直線與平面所成角的正弦值為．（Ⅲ）設(shè)是上一點(diǎn)，且，，因此點(diǎn)．．由，解得．所以在棱上存在點(diǎn)使得，此時(shí)．點(diǎn)睛：本題主要考查了線面平行的判定，利用空間向量求空間角以及探究性問題在立體幾何中的體現(xiàn)，常見的證明線面平行的方法有：1、利用三角形的中位線；2、構(gòu)造平行四邊形；3、通過面面平行得到線面平行等；直線的方向向量與平面的法向量所成的角滿足，對(duì)于線線垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直，即數(shù)量積為0.4．（1）見解析（2）在線段上存在中點(diǎn)，使平面．且（3）【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得．再由折疊中不變的垂直關(guān)系得，根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得．最后再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空間向量研究線面平行關(guān)系，即通過平面法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行研究，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出平面法向量，利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據(jù)平面法向量與直線方向向量數(shù)量積為零列式求解參數(shù).（3）利用空間向量求線面角，仍是先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出平面法向量，利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角之間互余關(guān)系列式求線面角大小.【詳解】（1）因?yàn)椋浴鳛榈冗吶切危忠驗(yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．由題可知，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，所以平面．所以．?）由（1）知平面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,，所以即令，所以，所以假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面．設(shè)，.又，所以．所以.則.所以.解得，.則在線段上存在中點(diǎn)，使平面．且（3）因?yàn)?，又，所以．所以．又因?yàn)?，所以．因?yàn)樵O(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為.5．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【詳解】分析：（Ⅰ）先證明平面，再證明.(Ⅱ)取的中點(diǎn)，連接、．先證明DE∥AM，再證明平面.(Ⅲ)利用向量法直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因?yàn)椤推矫?，平面，所以．因?yàn)?，，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、．因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以ME∥，且ME．在三棱柱中，，且，所以ME∥AD，且ME=AD，所以四邊形ADEM是平行四邊形，所以DE∥AM．又平面，平面，所以平面．（Ⅲ）在三棱柱中，，因?yàn)?，所以．在平面?nèi)，過點(diǎn)作，因?yàn)?，平面，所以，平面．建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖．則,,,,,.，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，得，故．設(shè)直線DE與平面所成的角為θ，則sinθ＝，所以直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和線面角的向量求法，意在考查空間位置關(guān)系證明中的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力.6．(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)見證明；(Ⅲ)見解析【分析】(Ⅰ)先在圖1的等腰梯形內(nèi)，過作的垂線，垂足為，在圖2中，連結(jié)，由面面平行的判定定理證明平面平面，進(jìn)而可得平面平面；(Ⅱ)由線面垂直的判定定理，可直接證明結(jié)論成立；(Ⅲ)用空間向量的方法求解，先建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，用表示出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的余弦值為，列出等式，即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)在圖1的等腰梯形內(nèi)，過作的垂線，垂足為，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，所以四邊形為正方形，，為中點(diǎn)在圖2中，連結(jié)因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面平面又因?yàn)?，所以平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?平面，所以平面又因?yàn)槠矫嫠杂?，滿足，所以,又所以平面（Ⅲ）因?yàn)槿€兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,所以，，，.假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，則，所以設(shè)平面的法向量為，所以，即取，則，由（Ⅱ），為平面的法向量，令解得或（舍）所以存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定、線面垂直的判定以及已知二面角求參數(shù)的問題，熟記線面平行、線面垂直的判定定理，靈活運(yùn)用空間向量的方法求二面角即可，屬于?？碱}型.7．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證明出平面平面；（Ⅱ）分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出鈍二面角的余弦值．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，平面，平面，所以平面．同理，得平面．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面；（Ⅱ）由平面，底面為正方形，可知、、兩兩垂直，分別以、、為軸、軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)平面的法向量，由，得，令，則，，得．平面的一個(gè)法向量．，因此，鈍二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由題意，利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直線與平面垂直的判定可得平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）證：平面平面，平面平面，平面，且，平面，在三棱柱中，有，平面，得,是正方形，，而，平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定，考查線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．9．（1）見解析（2）【分析】（1）首先證明四邊形為平行四邊形，得到，然后可得平面，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，首先利用與所成的角為求出，然后算出平面的法向量坐標(biāo)和的坐標(biāo)，然后可算出答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且所以，又因?yàn)?，所以所以四邊形為平行四邊形所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，平面平面所以?）由（1）可得因?yàn)椋?，且平面所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，，，，，因?yàn)榕c所成角為所以，解得所以，，，，設(shè)平面得一個(gè)法向量，可得，可取設(shè)直線與平面所成的角為【點(diǎn)睛】向量法是求立體幾何中的線線角、線面角、面面角時(shí)常用方法，計(jì)算能力是解題的關(guān)鍵.10．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在圖①中，，，根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在圖②中，，，利用線面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅沃校?，，，，為的中點(diǎn)，且，則四邊形為矩形，所以，即，.在圖②中，，，又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（Ⅱ）由得，又，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得、、、，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，可得，又，設(shè)直線與平面所成角為，所以.因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成角的正弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.11．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝E，連接DE，可得BC1∥DE，再由直線與平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1兩兩互相垂直，分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AB1D的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值可得直線BC與平面AB1D所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝E，連接DE，由ABC﹣A1B1C1為三棱柱，得A1E＝BE.又∵D是A1C1的中點(diǎn)，∴BC1∥DE.∵BC1?平面AB1D，DE?平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D；（2）解：∵CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，∴CA，CB，CC1兩兩互相垂直，故分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），B（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），∴，，.設(shè)平面AB1D的法向量為，由，取y＝1，得；設(shè)直線BC與平面AB1D所成角為θ.則sinθ＝|cos|.∴直線BC與平面AB1D所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明和求線面角的大小，考查了通過線線平行證明線面平行的方法，同時(shí)考查了空間直角坐標(biāo)系，利用向量求線面角，是立體幾何中較為常規(guī)的一類題型，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題.12