誤差理論與測量平差03第三章條件

第三章條件平差

第一節(jié)條件平差原理

第二節(jié)條件方程

第三節(jié)精度評定第四節(jié)條件平差算法與算例

第一節(jié)條件平差原理

在第二章已經(jīng)給出條件平差有效期的數(shù)學模型

(3-1)(3-2)

條件方程個數(shù)等于多余觀測數(shù)r＝n-t，n為觀測值總數(shù)，t為要觀測數(shù)。由于r<n,由（3－1）式不能求得V的唯一解，但可按最小二乘原理求V的最或然值，從而求出觀測量的最或然值，又稱平差值。條件平差法就是要求在滿足r個條件方程（3－1）下，求函數(shù)VrPV=min的V值，在數(shù)學中是求函數(shù)的條件極值問題。返回目錄

一、條件平差原理

設有r個平差值線性條件方程

（3-3）式中aij(i=1,2,…,r;j=1,2,…，n)為條件方程系數(shù)，aio(i=1,2,…r)為條件方程的常數(shù)項。將的平差值=L+V代入上式，得條件方程為

（3-4）返回目錄

式中Wi=(i=1,2,…,r)稱為條件方程的閉分差，或稱不符值，即

（3-5）令

返回目錄

則（3-3）式為（3-6）同樣，（3-4）為（3-7）（3-5）式為（3-8）按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設其乘數(shù)為k=(k1,k2,…,kr)T，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，將Ф對V求一階導數(shù)，并令其為零，得，

兩邊轉(zhuǎn)置，得

PV=ATK，得改正數(shù)V的計算公式為

V=P-1ATK=QATK

（3-9）上式稱為改正數(shù)方程。返回目錄

將n個改正數(shù)方程（3-9）和r個條件方程（3-7）聯(lián)立求解，就可以求得一組唯一的解：n個改正數(shù)和r個聯(lián)系數(shù)。為此，將（3-7）和（3-9）式合稱為條件平差的基礎方程。顯然，由基礎方程解出的一組V，不僅能消除閉合差，也必能滿足，VTPV=min的要求。解算基礎方程時，是先將（3-9）式代入（3-7）式，得AQATK+W=0，令（3-10）則有NaaK+W=0(3-11)

上式稱為聯(lián)系數(shù)法方程，簡稱法方程。法方程系數(shù)陣Naa的秩R（Naa）=R（AQAT）=R（A）=r，即Naa是一個r階的滿秩方陣，且可逆。由此可得聯(lián)系數(shù)K的唯一解。當p為對角陣時，改正數(shù)方程（3-9）和法方程（3-11）的純量形式分別為（3-12）返回目錄

和

（3-13）式中

（i=j=1,2,…，r）（3-14）當P為非對角陣時，設

（3-15)

權陣P的逆陣為觀測的協(xié)因數(shù)矩陣Q，返回目錄

設

（3-16）

因此，改正數(shù)方程（3-9）的純量形式為

（i=1,2,…,n）

(3-17)

法方程系數(shù)

(3-18)

從法方程解出聯(lián)系數(shù)ki后，將ki值代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)V，再加上觀測值L，得平差值

=L+V

（3-19）這樣就完成了按條件平差求平差值的工作。返回目錄

二、條件平差計算步驟與算例

綜合以上所述可知，按條件平有效期求平差值的計算步驟可歸結為：1．根據(jù)平差問題的具體情況，列出條件方程（3-7）式，條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。2．根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測值的權組成法方程（3-11）式，法方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。3．解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值。4．將K代入改正數(shù)方程（3-9）式，求出V值，并求出平差值=L+V。5．為了檢查平差計算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程（3-6）式，看其是否滿足方程。返回目錄第二節(jié)條件方程

從上節(jié)中可以看出，條件方程的組成是關鍵性的一步，如果這一步有誤，即使在后續(xù)計算中不發(fā)生錯誤，也會導致平差結果的不正確，達不到平差的的最后目的。本節(jié)介紹常規(guī)測量中遇到的基本圖形條件方程的組成。

一、水準網(wǎng)

二、測角網(wǎng)

三、測邊網(wǎng)

四、邊角網(wǎng)返回目錄

一、水準網(wǎng)

水準網(wǎng)平差的主要目的，是確定網(wǎng)中未知點的最或然高程。例如圖3-3的水準網(wǎng)中，有四個已知水準點（圖中以“⊕”表示的點），兩個未知點（圖中以“O”表示的點），并有六個觀測值。從圖中可以看出，要確定E和F點的高程，必須觀測兩個觀測值，如h1和h6，或h4和h3等等?？梢?，在有已知點的水準網(wǎng)中，必要觀測的個數(shù)就等于未知點的個數(shù)。圖3-3中，必要觀測個數(shù)t=2，而條件方程個數(shù)r=n-t=6-2=4。返回目錄

返回本節(jié)

如果水準網(wǎng)中沒有已知點，這時，只能假定某點的高程為已知，并以此為基準，去確定其它各點的相對高程。例如圖3-4的水準網(wǎng)，其中沒有已知水準點，這時，通過平差計算，只能確定各點的相對高程。為此，可先假定某一點高程值為已知，例如高HA=100.00m，并以此為基準，去確定B、C、D等點的相對高程。這樣，只要觀測三個觀測值就行了。所以，在沒有已知點的水準網(wǎng)中，必要觀測的個數(shù)等于網(wǎng)中全部未知點的個數(shù)減1。圖3-4的水準網(wǎng)中，必要觀測個數(shù)t=4-1=3，而條件方程個數(shù)為r=6-3=3。水準網(wǎng)中條件方程的組成方法見例[3-1]和例[3-2]。二、測角網(wǎng)

圖3-5為一測角網(wǎng)，其中A、B是坐標為已知的三角點，C和D為待定點，要確定其坐標。共觀測了9個水平角，即ai,bi,ci(i=1,2,3)。

返回目錄

返回本節(jié)

根據(jù)角度交會的原理知，為了確定C、D兩點的平面坐標，必要觀測t=4，例如測量a1和b1可計算D點坐標，再測量a2和c2可確定待定點C。于是，圖3-5的多余觀測數(shù)r=n-t=9-4=5。故總共應列出5個條件方程。測角網(wǎng)的基本條件方程有三種類型，現(xiàn)以此例說明。

第一類是三角形內(nèi)角和條件，通過圖形條件。由圖3-5可列出三個圖形條件，即（i=1,2,3）其最后形式為（i=1,2,3）返回目錄

返回本節(jié)

第二類是圓周條件或稱水平條件。由圖3-5可列出一個圓周條件，即或

第三類是極條件或稱邊長條件。滿足上述4個條件方程的角值還不能使圖3-5的幾何圖形完全閉合，例如，由邊長通過a2、b2、c2計算邊長，通過a1、b1、c1由計算邊長，再由通過a3、b3、c3計算邊長，計算的結果，其邊長不會相同。為了使其相同，要列出一個極條件。即或（3-20）返回目錄

返回本節(jié)

此即極條件方程，為非線性形式。按函數(shù)模型線性方法，將上式用臺勞公式展開取至次項，即可得線性形式的極條件方程。將代入（3-20）式，展開可得

=返回目錄

返回本節(jié)

經(jīng)化簡即有

=0,

(3-21)

這就是極條件（3-20）的線性形式。三、測邊網(wǎng)

和測角同一樣，在測邊網(wǎng)中也可分解為三角形，大地四邊形和中點多邊形三種基本圖形。對于測邊三角形，決定其形狀和大小的必要觀測為三條邊長。所以t=3，此時r=n-t=3-3=0，即測邊三角形不存在的條件方程。對于測邊四邊形，決定第一個三角形必須觀測3條邊長，決定第二個三角形只需要再增加2條邊長，所以確定一個四邊形的圖形，必須觀測5條邊長，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在一個條件方程。對于中點多邊形，例如中點五邊形，它由四個獨立三角形組成，此t=3+2×3=9，故有r=n-t=10-9=1。返回目錄

返回本節(jié)

因此，測邊網(wǎng)中的中點多邊形與大地四邊形個數(shù)之和，即為該網(wǎng)條件方程的總數(shù)。這類條件稱為圖形條件。圖形條件的列出，可應用角度閉合法、邊長閉合法和面積閉合法等，本節(jié)僅介紹角度閉合法。測邊網(wǎng)的圖形條件按角度閉合法列出，其基本思想是：利用觀測邊長長求出網(wǎng)中的內(nèi)角，列出角度間應滿足的條件，然后，以邊長改正數(shù)代換角度改正數(shù)，得到以邊長改正數(shù)表示的圖形條件。返回目錄

返回本節(jié)

例如，圖3-8的測邊四邊形中，由觀測邊長Si(i=1,2,3…6)精確地算出角值βj(j=1，2，3)，此時，平差值條件方程為以角度改正數(shù)表示的圖形條件為，（3-25）式中同樣，圖3-9中的測邊中點三邊形中，以角度改正數(shù)表示的圖形條件為：，（3-26）式中上述條件中的角度改正數(shù)必須代換成觀測值（邊長）的改正數(shù)，才是圖形條件的最終形式。為此，必須找出邊長改正數(shù)和角度改正數(shù)之間的關系式。返回目錄

返回本節(jié)

下面（以圖3-10為例）給出角度改正數(shù)與邊長改正數(shù)之間的關系式。由余弦定理知微分得

(3-27)返回目錄

返回本節(jié)

由圖（3-10）知

故有（3-28）將上式中的微分換成相應的改正數(shù)，同時考慮到式中dA的單位是弧度，而角度改正數(shù)是以（″）為單位，故上式可寫成：（3-29）這就是角度改正數(shù)與三個邊長改正數(shù)之間的關系式，以后稱該式為角度改正數(shù)方程，上式規(guī)律極為明顯，即任意一角（例如A角）的改正數(shù)等于其對邊（Sa邊）的改正數(shù)與兩個夾邊（Sb,Cc邊）的改正數(shù)分別與其鄰角余弦（Sb邊鄰角為C角，Sc邊鄰角為B角）乘積負值之和，再乘以為分子，以該角至其對邊之高（ha）為分母的分數(shù)。返回目錄

返回本節(jié)

按照上述規(guī)律，可以寫出圖3-8中角β1、β2及β3的角度改正數(shù)方程分別為

（3-30）式中h1、h2及h3分別是從A點向角對邊所作的高。將上列三式代入（3-25）式，按的順序并項，即得四邊形的以邊長改正數(shù)表示的圖形條件：

（3-31）返回目錄

返回本節(jié)

如果圖形中出現(xiàn)已知邊時，在條件方程中，要把相應于該邊的改正數(shù)項舍去。對于圖3-9中的中點三邊形來說，β1、β2及β3的改正數(shù)與各邊改正數(shù)的關系式為將上述關系代入（3-26）式，并按的順序并項，即得中點三邊形的圖形條件，即

（3-32）返回目錄

返回本節(jié)

在具體計算圖形條件的系數(shù)和閉合差時，一般取邊長改正數(shù)的單位為cm，高h的單位為km，取2.062，而閉合差的單位為（″）。由觀測邊長計算系數(shù)中的角值（圖3-10），可按余弦定理或下式計算

（3-33）式中

而高h為返回目錄

返回本節(jié)

四、邊角網(wǎng)

在邊角網(wǎng)的條件方程中，一般有與測角網(wǎng)相同的圖形條件，圓周條件和極條件，以及平差圖形中觀測角和觀測邊的平差值應滿足的幾何條件，即按正弦定理和余弦定理列立的正弦條件或余弦條件。例如，圖3-11的邊角網(wǎng)中的九個條件方程，有三個是角度之間的圖形條件和一個極條件，其余五個條件可列立邊與角之間的正弦條件方程。正弦條件指的是：平差圖形中觀測角和觀測邊的平差值應滿足正弦定理。例如，圖3-12中，應列一個角度的圖形條件和兩個正弦條件,返回目錄

返回本節(jié)

即，，。顯然，正弦條件是非線性的，應線性化。將非線性條件線性化，可按真數(shù)和對數(shù)兩種形式進行。例如，將上述第二式按真數(shù)形式線性化為：，式中以代入，按臺勞公式展開至一次項，得，（3-34）式中具體計算時，（3-34）式中，邊長改正數(shù)va和vb以秒為單位，邊長以公里為單位，則取2.062，而閉合差

其單位是厘米。返回目錄

返回本節(jié)

在邊角網(wǎng)中，觀測了三條邊和一個內(nèi)角（圖3-13），此時，應列一個余弦條件，即由三角邊的平差值求出的A角的值，應與A角平差值相等，顯然，式中為由三邊觀測值精確求得的角值，的改正數(shù)，它是由于邊長有改正數(shù)而引起的，它們之間的關系見（3-30）式，

返回目錄

返回本節(jié)

即。因此，余弦條件為，即，式中，而分數(shù)中的b和c角可按正弦定理求出，高ha可按（3-33）式求出。實際計算時，Va及W以秒為單位，以厘米為單位，ha以公里為單位，則。返回目錄

返回本節(jié)第三節(jié)精度評定

在條件平差中，精度評定包括給出單位權方差的估值計算公式和平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)及其中誤差的計算公式。為此，還要導出有關向量平差后的協(xié)因數(shù)陣，或稱驗后協(xié)因數(shù)陣。在一般情況下，觀測向量的協(xié)方差陣往往是不知道的，為了評定精度，還要利用改正數(shù)V計算單位權方差的估值，然后才能計算所需要的各向量的協(xié)方差陣和任何平差結果的精度。一、計算單位權方差的估值公式

計算任何平差方法中的單位權方差估值，都是用VTPV除以多余觀測值r，即（3-35）返回目錄

有了單位權方差的估值和某向量的驗后協(xié)因數(shù)陣，例如已知平差值的協(xié)因數(shù)陣QLL，即可計算平差值向量的協(xié)方差陣（3-36）

至于計算單位權方差估值的公式為何要用VTPV除以多余觀測值r，將在第五節(jié)中予以說明。（3-35）中的VTPV可以用已經(jīng)算出的V向量和已知的權陣P直接計算，也可以按以下導出的公式進行計算。因為V=P-1ATK=QATK，故有（3-37）即二次型VTPV也可以用聯(lián)系數(shù)K的具有方陣Naa的二次型來進行計算。此外，因為

(3-38)VTPV也可用聯(lián)系數(shù)K和閉合差W進行計算。返回目錄

當P為對角陣時，VTPV的純量表達式為（3-39）或（3-41）順便指出，改正數(shù)平方和這一二次型函數(shù)是測量平差中一個重要的統(tǒng)計量，在誤差統(tǒng)計檢驗和統(tǒng)計分析中常要用到。二、協(xié)因數(shù)陣

在條件平差中，基本向量為L、W、K、V、L，通過平差計算之后，它們都可表達成隨機向量L的函數(shù)，本節(jié)將推求它們各自的協(xié)因數(shù)陣以及兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣。設

則Z的協(xié)因數(shù)陣為返回目錄

下面分別推導QZZ中各協(xié)因數(shù)陣的計算式，已知QLL=Q。上述各基本量的關系式已知為

L=L，（3-42）

W=-AL-A0，（3-43）（3-44）

(3-45)

(3-46)返回目錄

按協(xié)因數(shù)傳播律，可得L、W、K、V及相互間的協(xié)因數(shù)陣為

返回目錄

下面再計算的自協(xié)因數(shù)陣以及它和L、W、K、V間的互協(xié)因數(shù)陣，得因為，而QVL=0，即V與為互相統(tǒng)計獨立，于是QLL=QLL+QVV，即

將以上結果列于表3-1，以便查用。返回目錄表3-1條件平差各量的協(xié)因數(shù)

由表3-1可見，平差值與改正數(shù)V、閉合差W、聯(lián)系數(shù)K是不相關的統(tǒng)計量，因為它們都是服從正態(tài)分布的隨機向量，所以也可以說與V、W、K互獨立。返回目錄LWKVLLQ-AQT-Qvv0W-AQNaa1AQ0K1Q-VL000Q-QVV

三、平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)

在條件平差中，經(jīng)平差計算，首先得到的是各個觀測量的平差值。例如，水準網(wǎng)平差先求得的是觀測高差的平差值，測角網(wǎng)中則是觀測角度的平差值。但是水準網(wǎng)平差后要求得到的是各待定點的平差高程，測角網(wǎng)平差后則要知道點的坐標、邊長和方位角等。這些都是觀測值平差值的函數(shù)，如何計算平差值的函數(shù)的協(xié)因數(shù)，則是下面要討論的問題。如在例[3-2]中，為求C點平差高程可建立如下平差值函數(shù)式這是一種線性形式。又知，在圖3-14中，為求平差的CD邊方位角，CD邊邊長和D點坐標，可列出如下平差值函數(shù)式，即返回目錄

和

及從以上討論可以看出，所求各量都是平差值的函數(shù)。就函數(shù)形式來說，第一種是線性的，第二、三種都是非線性的。返回目錄

為了計算某一平差值函數(shù)的中誤差，當單位權中誤差求出以后，如果知道它們的協(xié)因數(shù)，其中誤差也就知道了，所以下面推導計算平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)公式。由于線性形式的平差值函數(shù)只是非線性形式的一種特例，下面就非線性形式的函數(shù)出發(fā)來推導其協(xié)因數(shù)的計算公式。設有平差值函數(shù)為（3-47）將上式取全微分

若令則線性化后的函數(shù)形式為

(3-48)返回目錄

令則上式可寫成（3-49）由，所以（3-50）在表3-1中可以查出（3-51）將（3-51）式代入（3-50）式得（3-52）由此可見，當列出平差值函數(shù)式后，只要求出其系數(shù)fi(i=1,2,…n），即可代入上式計算的協(xié)因數(shù)。

返回目錄

當平差值函數(shù)為線性形式時，其函數(shù)式一般可表示為（3-53）亦即在觀測量平差值前的系數(shù)就是fi值。在（3-52）式中，如果令（3-54）

q稱為轉(zhuǎn)換子數(shù)，則（3-52）式為