2021-2022學年湖北省黃岡市蘄春縣高一（上）期中數(shù)學試卷（附答案詳解）

2021-2022學年湖北省黃岡市薪春縣高一(上)期中數(shù)學

試卷

1.設集合4=卜比2-5x+4<0},B=[xEN\x<2},則力CIB=（）

A.{x|l<x<2}B.{1,2}C.[0,1}D.（0,1,2}

2.命題“VxeR,x22”的否定是（）

A.VxG/?,x<2B.VxG/?,x>2

C.BxER,x>2D.3xe/?,x<2

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（0,+8）上單調遞減的是（）

A.y=—x2B.y=2xC.y=|D.y=x+：

4.已知函數(shù)y=/（x-l）的定義域是[1,2],則丫=/（李萬一1）的定義域為（）

A.[1,2]B.[0,1]C.[2,4]D.[0,3]

5.已知a、匕為實數(shù)，則"a=b”是“等=病”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.定義集合運算：A(8)B={z\z=(x+y)X(x-y),xeAyeB},設4={在,遮},

B={1,V2},則集合4(g)B的真子集個數(shù)為()

A.8B.7C.16D.15

7.一元二次不等式2k/+依-:<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是()

8

A.(-3,0)B.(-3,0]

C.[—3,0]D.(—co,—3)U[0,+oo)

8.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般

好，隔裂分家萬事休在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性

質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標人人中抽象出

一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是()

A.用)=高

C./（x）=總

9.已知Q<b<0,則下列不等式成立的是()

A.\a\>\b\B.-<C.ab<b2D.-<-

abab

10.在下列命題中，真命題有()

112

A.3aG(0,4)，后+工^二三

B.任意K6R,使％2—%+1>0

C.3%G/?,/(%)=/(-%),則函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)

D.VxG(2,+oo),i+1+a<0恒成立，則a<-3

11.給定函數(shù)/'(x)=%+1,g(%)=(%4-1)2,%6/?,用M(%)表示f(%),g(%)中較大者,

記為M(x)=max{f(x),g(x)},則下列錯誤的說法是()

A.M(2)=3B.Vx>1,M(x)>2

C.M(x)有最大值D.M(x)最小值為0

12.己知a>0,b>0,a+b=l,則()

A.a24-&2>-B.ab<-

24

C.-+7<4D.Va+Vb<V2

ab

13.設f(x)=：+提，則其定義域為.

14.已知/Q)=倒上工口，則心+〃-》=—

53

15.已知/(%)=%+ax+bx—8(Q,b是常數(shù))，且f(—3)=5,則f(3)=.

16.新春縣內有一路段A長325米，在某時間內的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速

度以千米/小時)之間的函數(shù)關系為y=西翳而，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信

號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設置時間7(秒)=路段長x

那么在車流量最大時，路段A的紅燈設置時間為_____秒.

平均速^米/秒)

17.設4={x\x2—8%+15=0},B={x\ax-1=0}.

(1)若a=g,試判定集合4與B的關系；

(2)若8=4求實數(shù)”組成的集合C.

18.設命題p：(4%—3)2<1,命題q：x2—(2a+l)x+a(a+1)<0.

(1)當a=l時，若P為假命題且q是真命題，則求實數(shù)x的取值范圍；

(2)若「p是「q的必要不充分條件，求實數(shù)”的取值范圍.

19.證明：

(1)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證：—>

、/a-cb-d

(2)已知x>0,y>0,x+y=1,求證：xy<

f—x2+2x,(%>0)

20.已知奇函數(shù)f(%)=<0,(x=0).

yx2+mx,(%<0)

(1)求實數(shù)m的值;

第2頁，共12頁

(2)作出y=f(x)的圖象，并求出函數(shù)y=/'(x)在［-2,1)上的最值;

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［-l,b-2］上單調遞增，求b的取值范圍.

21.已知華為公司生產系列的某款手機的年固定成本為200萬元，每生產1只還

需另投入80元.設華為公司一年內共生產該款手機x萬只并全部銷售完，每萬只

(2000-30x,0<x<40

的銷售收入為R(X)萬元，且R(X)='7000200000-,40.

(1)寫出年利潤以(萬元)關于年產量x(萬只)的函數(shù)解析式；

(2)當年產量為多少萬只時，華為公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并

求出最大利潤.

22.定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個條件：

①對任意正數(shù)a,b,都有f(a)+/(b)=/(ab)；

②當x>l時，/(x)<0；

③/(2)=-1.

(團)求/(I)和/(；)的值；

(團)試用單調性定義證明：函數(shù)/(X)在(0,+8)上是減函數(shù)；

(團)求滿足/(t)+/(2t-1)>1的，的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合A,B,由此能求出4nB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

【解答】

解：集合A=[x\x2-5x+4<0}={x|l<x<4},

B=(xeN\x<2]={0,1,2},

ACiB=[1,2}.

故選：B.

2.【答案】D

【解析】解：因為命題“vxeR,x22”，

故其否定是：3xGR,x<2.

故選：D.

直接利用含有量詞的命題的否定方法進行求解即可.

本題考查了含有量詞的命題的否定，要掌握其否定方法：先改變量詞，然后再否定結論,

屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：y=—%2為偶函數(shù)，不符合題意；

y=2x在(0,+8)上單調遞增，不符合題意；

根據(jù)反比例函數(shù)的性質可知，y=[在區(qū)間(0,+8)上單調減且為奇函數(shù)，符合題意；

根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知y=x+g在區(qū)間(0,+8)上不單調，不符合題意.

故選：C.

結合基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性分布檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性的判斷，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：函數(shù)y=/(x-l)的定義域是[1,2],

所以1WxS2,

所以OWx-lW1,

所以f(x)的定義域為[0,1]；

令04-1W1,

第4頁，共12頁

解得2<x<4,

所以函數(shù)y=f(^x-1)的定義域為[2,4].

故選：C.

由函數(shù)y=f(x-1)的定義域求出函數(shù)/(x)的定義域，再求函數(shù)y=/(|x-1)的定義域.

本題考查了抽象函數(shù)的定義域求法與應用問題，解題的關鍵是理解定義域是自變量的取

值范圍，是基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：由"a=b"不能推出"±產=Vab",如a=b=—1,則巴產=-1,=1；

反之成立，由”=痼”,兩邊平方，即得“a=b”，

...“a=b”是“一=病”的必要而不充分條件，

故選8.

由“a=b"不能推出u—=耐，由“一=同能推出"a=b”，因此"a=bn

22

是“?=標的必要而不充分條件，

本題考查必要條件、充分條件和充要條件的判斷，解題時要仔細分析題設條件，尋找它

們之間的相互關系，從而作出正確判斷.

6.【答案】B

【解析】解:A?B={z\z=(x+y)x(x—y)=x2—y2,x&A,yeB),

A={V2,V3},B=口,無},

集合40B={1,0,2},

它的真子集個數(shù)為23-1=7(個).

故選：B.

根據(jù)題意，求出集合208={1,0,2},得出它的真子集個數(shù).

本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了一元二次不等式恒成立問題，屬于基礎題.

由二次項系數(shù)小于0,對應的判別式小于0聯(lián)立求解.

【解答】

解：由一元二次不等式2k/+依—：<0對一切實數(shù)x都成立，得k手0,

8

(k<0

則上_4X2AX(-1)<0,解得-3<々<0.

綜上，滿足一元二次不等式2k產+kx-l<0對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是

(-3,0).

故選4

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)圖象的識別，可從函數(shù)的性質或特殊點(范圍)的函數(shù)取值進行思考，考查

學生的邏輯推理能力，屬于基礎題.

先由函數(shù)的定義域可排除選項A和。，再由X€(0,1)時，/(X)與0的大小關系，可得解.

【解答】

解：函數(shù)的定義域為{x|x彳±1},排除選項A和0，

當X6(0,1)時，/(X)>0,

但在選項C中，由于/<1,所以f(x)<0,可排除選項C,

故選：B.

9.【答案】AD

【解析】解：取a=-2,b=-l,滿足a<b<0,不滿足工<;及ab<b2,所以BC錯；

因為a<b<0,所以一a>-b>0,所以|a|>網，所以A對；

因為a<b<0,所以a2>b2>o,所以<得2<三,所以。對.

ababab

故選：AD.

取a=-2,b=—1可判斷BC錯，根據(jù)不等式性質可判斷AO對.

本題考查不等式性質，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解:對于A選項，a6(0,4),y[aE(0,2),—y/aE(—2,0),),2—y/aE(0,2),

3+&=:七+蹋)(迎+2_份)=32+鬻+痣)對(2+2)=2,

當且僅當罕=再，即a=1時等號成立，所以A選項錯誤；

yja2-Va

對于8選項，對于不等式/一％+1>0,因為4=1-4=一3V0,所以8選項正確；

對于C選項，令f(%)=sinx,則/'(兀)=/(-7T)=0,但/(%)=sinx不是偶函數(shù)，所以C

選項錯誤；

對于。選項，VxG(2,4-00),：+1+Q<0恒成立，

QV—：—1對VxG(2,+8)恒成立，

；6(0彳)，：6(0,2),-^G(-2,0),1e(-3,-1),

所以aW-3,所以。選項正確.

第6頁，共12頁

故選：BD.

結合基本不等式、全稱量詞命題、存在量詞命題、函數(shù)的奇偶性、不等式恒成立問題的

知識確定正確選項.

本題考查了基本不等式的應用、函數(shù)的奇偶性、不等式恒成立問題，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：由/'(x)-g(x)>0,即(x+l)-(x+I)2=-x(x4-1)>0,可得一1<x<0,

由/(X)—g(x)<0,即(無+1)—(x+I)2=-x(x+1)<0,可得x>—1或x>0,

x+1,-1<x<0

所以M(x)=2

%+l),x<—1或v>0'

當x=2時，"(2)=32=9,A選項錯誤；

2

當x21時，M(x)min=M(l)=2=4>2,B選項正確；

當“20時，M(x)為單調遞增函數(shù)，無最大值，C選項錯誤；

因為M(x)在(一8,-1)上單調遞減，所以M(x)min="(-1)=0，。選項正確.

故選:AC.

通過作差求解x的取值范圍可以得到M(x)的分段函數(shù)解析式，再根據(jù)分段函數(shù)解析式求

得各選項結果.

本題屬于新概念題，考查了分段函數(shù)的性質，屬于基礎題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由a>0,b>0,a+b=1得ab<(呼)？=當且僅當a=b=；時等號

242

成立，所以3對；

因為昉<%所以小+扭=9+b)2—2ab=1—2ab>l-2x^=|,當且僅當Q=

b時等號成立，所以A對；

因為QbW；,所以工+：=哼=々24,當且僅當Q=6=：時等號成立，所以。錯；

4ababab2

因為abW；,所以歷+乃=J(乃+VF)2=Ja+b+WJl+2]=在，當?shù)?/p>

僅當Q=b=1時等號成立，

所以。對；

故選：ABD.

由Q>0,h>0,a+b=1得ab<=(可判斷B；a2+62=(a+h)2—2ab,再

結合ab<工可判斷4；

4

=啜=總再結合<:可判斷C；+VF)2=+64-2VaF,

再結合ab<2及a+b=1可判斷D；

4

本題考查基本不等式應用，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

13.【答案】｛x|x<2且x40｝

【解析】解：由題意得｛]二:>0,

解得x<2且x=0.

故答案為：｛x|<2且XR0｝.

根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

本題考查了求函數(shù)定義域的應用問題，解題的關鍵是列出使函數(shù)解析式有意義的不等式

組，是基礎題目.

14.【答案】4

【解析】解：由分段函數(shù)可知/C)=2x[=*

-一》=/(-[+1)=/(-1)=/(*+1)=/(|)=2x|=￡

44812

+/(-3)=3+3='y=4-

故答案為：4.

根據(jù)分段函數(shù)直接代入即可求值.

本題主要考查函數(shù)值的計算，利用分段函數(shù)的表達式直接進行求解，比較基礎.

15.【答案】-21

【解析】解：已知/(x)=Xs+ax3+bx-8,

則g(x)=f(X)+8=x54-ax3+bx為奇函數(shù)，

則g(x)+g(-x)=0,

即9⑶+g(-3)=o,

即“3)+〃-3)+16=O

即/"(3)=—/(-3)—16=-21,

故答案為：—21.

由9。)=/(x)+8=x5+ax3+bx為奇函數(shù)，則g(x)+g(-x)=0,即g(3)+g(-3)=

0,然后求解即可.

本題考查了函數(shù)奇偶性的應用，屬基礎題.

16.【答案】87.75

【解析】解：不妨設u>0,

_246v_246246_246

'V2+2V+1600v+工吧+2一°L1600-82

2V+2

0sl~

當且僅當U=—V,V=40時等號成立.

第8頁，共12頁

40千米/小時=40000等米/秒,

3600

此時紅燈設置時間為T=325x1=87.75秒,

9

故答案為：87.75.

利用基本不等式求得y的最大值，進而求得紅燈設置時間.

本題主要考查函數(shù)模型及其應用，基本不等式求最值的方法等知識，屬于基礎題.

17.【答案】解：(1)???B={5}的元素5是集合A={5,3}中的元素，

集合4={5,3}中除元素5外，還有元素3,3在集合8中沒有，.?.B*A

故答案為：BCA.

(2)當a=0時，由題意B=0,又4={3,5},BQA,

當a#：0,B={；},又4={3,5},BQA,

此時(=3或5,則有a=：或a=：

故答案為：C={0+,§.

【解析】本題考查集合關系中的參數(shù)取值問題，求解問題的關鍵是正確理解/UB的意

義及對其進行正確轉化，本題中有一個易錯點，即4是空集的情況解題時易漏掉，解答

時一定要嚴密.

(1)若。=/B={5}的元素5是集合4={5,3}中的元素，集合4={5,3}中除元素5外，

還有元素3,3在集合2中沒有，所以

(2)先對B集合進行化簡，再根據(jù)A集合的情況進行分類討論求出參數(shù)的值，寫出其集

合即可

2

18.【答案】解：(1)-1P:(4x-3)>1,

即(4%—3)2—1>0,BP(x-i)(x-1)>0,

當Q=1時，q：%2—3%4-2<0,(%—1)(%—2)<0,

?,-1<%<2,

又p假4真，則滿足{"<海>>1,

1<x<2

1<%<2,

故實數(shù)x的取值范圍為(1,2]；

(2)-ip:x<>1,-><?：x2—(2a+l)x+a(a+1)>0>

令力=(x\x<3或x>1},B={x|x2—(2a+l)x+a(a+1)>0}=[x\x<a或x>a+

1}-

由已知條件可知A是8的真子集，

則｛a<2且兩等號不同時成立，

a+1>1

解得0<a<|

實數(shù)〃的取值范圍為［0,芻.

【解析】(1)根據(jù)題意，求出「p：x<^x>l,將a=1代入，計算即可：

(2)「p是「q的必要不充分條件，可知A是8的真子集，列不等式組｛a<2,求解即

a+1>1

可.

本題考查充要條件的判斷，命題真假的判斷，不等式求解，屬于基礎題.

19.【答案】證明：(1)由cvdV0,得一c>-d>0,又a>b>0,故Q-c>b-d>0f

從而」—<F疊，又eV0,所以——>言；.

a-cb-da-cb-d.

(2)證明：方法一：X+y=1,

???y=1—x,xy=x(l—x)=—x2+x=—(x—|)2+^<^,

1

???xy<

4

方法二：???％+y=1,?,?(%+y)2=1,

即/+y2+2xy=1,

又...+y2N2xy(當且僅當％=y=決寸，"="成立)，

二x2+y2+2xy>4xy即4孫<1,

?1?孫式?

【解析】(1)利用不等式的基本性質，轉化求解證明即可.

(2)方法一：利用二次函數(shù)的性質，結合二次函數(shù)的最值求解證明即可.

方法二：利用平方化簡，結合基本不等式轉化證明即可.

本題考查不等式的證明，二次函數(shù)的簡單性質的應用，是中檔題.

20.【答案】解：(1)設x<0,則一x>0,/(-X)=-x2-2x

???函數(shù)是奇函數(shù)，

:./(x)=—/(-%)=%2+2x(%<0),則m=2；

(2)函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知：當％=-1時，函數(shù)y=/(%)取最小值為一1,函數(shù)在［-2,1)上無最大值,

(3)由圖象可知，-1<8—2工1,

第10頁，共12頁

1<b<3.

故b的取值范圍是出［1<b?3}.

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性建立條件關系，即可求實數(shù)〃，的值；

(2)畫出函數(shù)y=/(x)的圖象，根據(jù)圖象求解結論；

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)/在區(qū)間［-1為-2］上是單調函數(shù)，即可確定方的取值

范圍.

本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質，利用函數(shù)的奇偶性的性質求出，"是解決本題的關

鍵.

21.【答案】解：(1)利用利潤等于收入減去成本，可得：

當0cxs40時，W=%/?(%)-(80%+200)=-30%2+1920%-200；

當x>40時，W=x/?(x)-(80%+200)=-222222-80x+36800,

—30x2+1920%—200,0<%<40

：.W=\200000

----------------80%+36800,x>40

x

(2)當0<x<40時,W=-30(%-32y+30520,

??