中考等面積法

方法概述：運(yùn)用同一圖形的兩種計(jì)算面積的方法，列出等量關(guān)系，從而求解線(xiàn)段的長(zhǎng)度，或者證明線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，甚至求解不規(guī)則圖形的面接！技巧歸納：1、當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)（或者以）的垂直關(guān)系時(shí)，常用此.2、計(jì)算多邊形面積的常用方法(1)面積計(jì)算公式(2)對(duì)于公式⑤的證明（如上圖）：S=S

===

+(3)割補(bǔ)法：將不規(guī)則圖形“分割或補(bǔ)全’為規(guī)則圖.一、等面積法在直角三角形的應(yīng)用在直角三角形中，兩條直角邊、斜邊以及斜邊上的高，知道任意兩個(gè)可以運(yùn)用勾股定理、等面積思想求出剩余兩個(gè)。如圖：

基本公:①勾股定理②等面積法：證明②：即：,例題1：如圖，在ABC,∠C=90°當(dāng)直角邊AC=4斜邊AB=5時(shí)，該直角三角形斜邊AB上的CD?例題2：如圖，在ABC(BCAC),，當(dāng)斜邊AB=10cm，斜邊AB上的高CD=4.8cm時(shí)求該直角三角形直角邊AC和BC的長(zhǎng)度

鞏固練習(xí)：1、如圖，在RtABC,∠C=90°，且AC=24,BC=7作ABC的個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，再過(guò)點(diǎn)依作PD⊥AB于D作PE⊥BC于作PF⊥AC于F.(1)求證：PD=PE=PF;(2)求出：PD的.2、如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C邊長(zhǎng)為1的正形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長(zhǎng)高為（）A.

152

B.

85C.55

5

D.

132二、等面積法在等腰三角形的應(yīng)用在等腰三角形中，可以運(yùn)用“割補(bǔ)法”的等面積思想，先建立有關(guān)“腰以及腰上的高”的等式，再通過(guò)等式兩邊約分來(lái)探索出線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系！

例題1：如,在△ABC中AB=AC,AC邊上的高BD=10cm.（1）如圖求AB邊上高CE的；（2）如圖若P為BC邊任意一,PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,求PM+PN的值；（3）如圖若P為BC延線(xiàn)上任意一點(diǎn)PM⊥AB于⊥AC于在PM+PN；②PMPN中一個(gè)是定值判斷出來(lái)并求.例題2：已知等邊△ABC和部一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到△ABC三的AB、BC、AC的距離分別是h，h，h，△ABC的高為h，問(wèn)h、h、h與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。

鞏固練習(xí)：1、已知等邊△ABC和P，點(diǎn)到ABC三的AB、AC的離分別是PDh，PEh，PFh，△ABC的AM，若點(diǎn)P在△ABC外此時(shí)h、h、h與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理.2、如圖，點(diǎn)E在方形ABCD的對(duì)線(xiàn)AC上且＝AD點(diǎn)是BE上任點(diǎn)，PN⊥AB于點(diǎn)N，PM⊥AC于點(diǎn)M，若正方形ABCD的積是12，證明PM＋PN是一定值，并且計(jì)算出這個(gè)定值．三、等面積法在勾股定理中的應(yīng)用勾股定理的證明充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”，它有500多種證明方法，但乎每一種都要用到等面積思想從幾何度認(rèn)識(shí)代數(shù)關(guān)系，用等面積思想建立等式進(jìn)行推導(dǎo)！

勾股定理描述的是三邊的平方關(guān)系=因此只要以這個(gè)直角三角形三邊往外所作圖形的面積根對(duì)應(yīng)邊的平方成正比S=k，S=k,S=k,k是常數(shù)）就會(huì)有較小的兩個(gè)圖形的面積之和等于較大者的面.(即：kk=k，記為SSS）例題1：請(qǐng)您運(yùn)用右下圖和如下個(gè)輔助定理：（1）如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)邊和這兩組對(duì)應(yīng)邊所夾的角相等，則兩三角形全等（SAS）；（2）三角形面積是任一等底等的平行四邊形面積的一半；（3）任意一個(gè)正方形的面積等其邊長(zhǎng)的平方；（4）任意一個(gè)矩形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)的乘積；證明勾股定理：=

例題2：如圖①，在△中，∠C＝90°，分別以ABC邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S，S，S表示則難證明S＝S＋S（1）如圖②，在△ABC中，∠C，別eq\o\ac(△,以)ABC邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用，S，S表示那么S，S之有什么關(guān)系：（不必證,直接寫(xiě)出）（2）如圖③，△ABC中∠C＝90°分別三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用，S，S表示請(qǐng)你確S，S，S間的關(guān)系并加以證明（3）利用圖①的結(jié)論，解決下問(wèn)題：如圖④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分別以AB、AC、BC為在AB的同作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為，S，S，S．S＋S＋S＋S＝.鞏固練習(xí)：1、如圖，由兩個(gè)直角三角形和個(gè)大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）A.16B.25C.144D.1692、如圖，以eq\o\ac(△,Rt)ABC的條邊作三個(gè)正三角形，則圖中S、S、S、S的關(guān)系為（

）A＋S＋S

B＋S＝S＋S

C、S＋S＝S＋S

D、不能確定

3、如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C＝90°分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為“希波克拉底月牙”，當(dāng)AC＝4，BC＝2，則陰影部分的面積為（）A.4B.4ΠC.8ΠD.84、有一個(gè)面積為1的正形，經(jīng)過(guò)第一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)第二次“生長(zhǎng)”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2019次形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A.1B.2018C.2019D.2020四、等面積法在其他圖形中的應(yīng)用題目中出現(xiàn)“高、垂線(xiàn)段、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、平行線(xiàn)”，以及與線(xiàn)段有關(guān)的乘積、分式等量，也可以試一試等面積思想建立等式進(jìn)行突破！如上圖，若GF=ED，△PFG的積△PED的面,可以證明射線(xiàn)BP平,讀自行證.例題1：如圖，△ABC中AB＝4，BC＝6，BD是△ABC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若DE，則AF的為（）

A.3B.

107C.D.32例題2：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例亦“平行截割定理”.平面幾何術(shù)語(yǔ)是指“三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的四條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例”如圖，已知∥∥，請(qǐng)連接輔助線(xiàn)AE、CE、BF作EH于H,BG⊥DF于G后，您從面積的角度去證明.鞏固練習(xí)：1、如圖把ABC的BA邊長(zhǎng)1倍點(diǎn)D,AC邊長(zhǎng)到點(diǎn)F，CB邊延3倍點(diǎn)E,連DE、FD,得到△DEF.已知的面積為54,△ABC的積是.A、1B、3C、6D、92、如圖BE、CF分是ABC的中線(xiàn)，且BE=CF，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N，求證：AM=AN。

課堂練習(xí)：1、如左圖，在直角三角形中，意一個(gè)銳角“的對(duì)邊與斜邊的比”叫做A的弦，記作（英語(yǔ)sine簡(jiǎn)寫(xiě)，即SinA=.看右圖，在22正方形網(wǎng)格中，的點(diǎn)均在格點(diǎn)上，CAB=().A.

332

B.

310C.D.5102、已知：如圖，矩形ABCD中，＝5，BC＝12，對(duì)角線(xiàn)AC相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上任意一點(diǎn)，且⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)，則PE＋PF于（A.

125

B.

5060C.1313

D.

1853、如圖已知四邊形ABCD是形對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，且AC＝6＝8．AE⊥BC于E，則＝）A.5B.

2412C.55

D.4

3B.22223B.222224、正方形ABCD的長(zhǎng)為1，其面積記為，以CD為邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積為S，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S的值為（）A.

43C.D.5、如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC，O的點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)E在段BC上（點(diǎn)不點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)作EM⊥OB于，EN⊥OC于N，EM的值為（）A.6B.1.5C.

310D.1056、對(duì)任意Rteq\o\ac(△,，)ABC∠A,∠B,的對(duì)邊依次記為a、b、c，且∠C=90°，斜邊c上高記為證明：.

7、勾股定理神秘而美妙，它的法多樣，其巧妙各有不同，其中的“等面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°求證a＋b＝c證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊的高DF則DF＝EC∵S＝Sb＋ab又∵S＋Sc（ba∴b＋ab＝c＋a（ba）∴a＋b＝c請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°求證a＋b＝c．

8、（1）如圖1，已知△ABC的面積是30，CD分別eq\o\ac(△,是)的AB邊上的中線(xiàn)，CD、BE相于點(diǎn)O，求四邊形ADOE面積可以用如下方法：連結(jié)AO，由AD得：S

＝S＝15同SS，S設(shè)S，S，則S，S，題意，列方程組為：邊形ADOE的積為．

，通過(guò)解這個(gè)方程組可求得四（2）如圖2，△ABC的面積是36，D、E別是邊AB、AC邊上的點(diǎn)，且AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，請(qǐng)你計(jì)算四邊形的面積．（3）如圖3，ABCD中，E是BC上一點(diǎn)F是AB一點(diǎn)AE＝CF，AE與CF交于點(diǎn)P，連結(jié)PD．求證：PD平∠APC．

課后作業(yè)：1、如圖，從△各點(diǎn)作平行線(xiàn)AD∥EB∥FC各與其對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線(xiàn)相交于D，E，F(xiàn)．若△ABC的面積為1，則的面積為（）A.3B.

3

C.2.5D.22、如圖，將矩形沿EF折，使點(diǎn)在點(diǎn)上，在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為痕上的任