高二數(shù)學下冊（必修三）導數(shù) 單元測試卷及答案解析

第頁高二數(shù)學下冊（必修三）導數(shù)單元測試卷及答案解析一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.（5分）函數(shù)f(x)在x=4處的切線方程為y=3x+5A.10 B.20 C.30 D.402.（5分）設a為實數(shù)，函數(shù)fx=x3+ax2+A.y=?2x B.y=3x

C.y=?3x3.（5分）若函數(shù)f(x)=x2+lnx的圖像在(a,f(a))處的切線與直線A.1 B.2或14 C.2 D.1或4.（5分）已知函數(shù)fx={&lnx+1,?1<x?14?A.1,54 B.54,+∞

5.（5分）曲線y=13x3A.1 B.?π4 C.π46.（5分）若曲線f(x)=x4?4x在點A處的切線平行于xA.(-1,2) B.(1,-3)7.（5分）曲線f(x)=exlnxA.e4 B.e2 C.e 8.（5分）曲線f(x)=x2+3xA.2 B.5 C.6 D.11二、多選題（本大題共5小題，共25分）9.（5分）下列命題中是真命題有()A.若f'(x0)=0，則x0是函數(shù)f(x)的極值點

B.函數(shù)y=f(x)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點

C.函數(shù)y=f(x)在x=1處的切線方程為2x?y=0，則f'(1)=2

D.若函數(shù)f(x)10.（5分）若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱函數(shù)y=f(x)具有“T性質(zhì)”.則下列函數(shù)中具有“T性質(zhì)”的是(A.y=xex B.y=cosx+1 11.（5分）已知函數(shù)f(x)=x+2x圖象上的一條切線與g(x)=x的圖象交于點M，與直線x=0交于點N，則下列結論不正確的有(A.函數(shù)f(x)的最小值為22

B.函數(shù)的值域為(?∞,?242]

C.|MN12.（5分）已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數(shù)a可能的取值(?A.196 B.3 C.103 13.（5分）設函數(shù)f(x)=x?lnA.f(x)為奇函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)?1有兩個零點

C.函數(shù)y=f(x)+f(2x)的圖象關于點(0,2)對稱

D.過原點與函數(shù)三、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）已知傾斜角為45°的直線l與曲線y=lnx?215.（5分）已知曲線C：y=x3?3x2+2x，直線l16.（5分）函數(shù)f(x)={1?2x,x?01217.（5分）函數(shù)f(x)=4x+1，則函數(shù)f(x)在18.（5分）某物體作直線運動，其位移S與時間t的運動規(guī)律為S=t+2t(t的單位為秒，S的單位為米)，則它在第4秒末的瞬時速度應該為______米四、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+x?16．?

(1)求曲線y=f(x)在點(2,?6)處的切線方程；?

(2)直線l為曲線y=f(x)20.（12分）在拋物線C：y=ax2(a>0)上取兩點Am1,n1,Bm2,n2，且m(2)設直線l交拋物線C于M，N兩點，記直線OM，ON(其中O為坐標原點)的斜率分別為kOM,kON，且kOM.21.（12分）已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x2ex.已知曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x?y=0平行．?

(1)求a22.（12分）設f(x)=aex+1aex+b(a>0)?

(I)設曲線y=f(x)在點(2,f(2))的切線方程為y=3223.（12分）已知曲線y=13x3+43，?

(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；?

(2)求曲線過點

參考答案與解析1.【答案】B;【解析】解：∵函數(shù)f(x)在x=4處的切線方程為y=3x+5，?

∴f'(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，?

∴f(4)+f'(4)=17+3=20.?

故選：B.?

由已知可得f'(4)，在切線方程中取x=4求得f(4)，則答案可求．?

2.【答案】A;【解析】?

此題主要考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的奇偶性，直線的點斜式方程，屬于基礎題.?

求導函數(shù)f'(x)，由f'x是偶函數(shù)求出a的值，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程.?

解：由f(x)=x3+ax2+(a?2)x，得，f'(x)=3x2+2ax+(a?2)，?

又∵f'(x)是偶函數(shù)，∴2a=0，即a=0，?

∴f'(x)=3x2?23.【答案】D;【解析】解：函數(shù)f(x)=x2+lnx的導數(shù)為f'(x)=2x+1x，?

在(a,f(a))處的切線的斜率為2a+1a，?

由切線與直線2x+6y?5=0垂直，?

可得?13(4.【答案】C;【解析】?

此題主要考查了方程的根與函數(shù)的圖象之間的關系應用及學生的作圖能力，同時考查了導數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．?

方程f(x)=kx恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=f(x)與y=kx有2個交點，又k表示直線y=kx的斜率，求出k的取值范圍．?

解：畫出函數(shù)f(x)圖象，?

可求得函數(shù)fx=lnx+1?1<x?14圖象在點O(0,0)處的切線方程為y=x，?

過點O(0,0)且與函數(shù)fx=x2+14x>14圖象相切的直線方程也為y=x，?

即得直線y=x為函數(shù)f(x)圖象的切線，且有兩個切點，切點為O(0,0)和A12,12，?

關于x的方程5.【答案】C;【解析】解：∵y=13x3，?

∴y'=x2，?

設曲線y=13x3在x=1處切線的傾斜角為α，?

根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率k=y'|x=1=12=1=tanα，?

6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x4?4x的導數(shù)為f'(x)=4x3?4，?

設切點為A(m,n)，則n=m4?4m，?

可得切線的斜率為k=4m3?4=0，?

解得m=1，n=?3.即A(1,?3)．?

故選：B．?

7.【答案】B;【解析】此題主要考查導數(shù)的幾何意義及三角形面積公式，屬于基礎題，先求出曲線f(x)=exlnx在x=1處的切線方程，再其求與坐標軸的交點即可求得三角形面積;?

解：f'(x)=exlnx+exx，則f'(1)=e，f(1)=0，?

∴曲線f(x)=exlnx在x=1處的切線方程為y=e(x?1)，?

令x=0，得8.【答案】B;【解析】解：函數(shù)的導數(shù)為f'(x)=2x+3，?

所以函數(shù)在A(1,4)處的切線斜率k=f'(1)=2+3=5．?

故選：B．?

求曲線在點處得切線的斜率，就是求曲線在該點處得導數(shù)值．?

該題考查了導數(shù)的幾何意義．導數(shù)的幾何意義是指函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)是曲線y=f(x)在點9.【答案】BCD;【解析】?

此題主要考查極值的概念，導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解不等式，屬于中檔題．?

由題意結合知識點，逐個選項分析即可.?

解：選項A，若f'(x0)=0，x0不一定是函數(shù)f?(x)的極值點，例如函數(shù)f(x)=x3，f'(0)=0，但x=0不是極值點，故錯誤；?

選項B，函數(shù)y=f?(x)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點，例如函數(shù)f(x)=x3?3x，在x=1處的切線為y=?2與函數(shù)還有一個公共點為(?2,?2)，故正確；?

選項C，因為函數(shù)y=f?(x)在x=1處的切線方程為2x?y=0，所以f'(1)=2，故正確.?

選項D，令g(x)=f(x)?x?1，?10.【答案】AB;【解析】解：由題意，可知若函數(shù)y=f(x)具有“T性質(zhì)”，則存在兩點，?

使得函數(shù)在這兩點處的導數(shù)值的乘積為?1，?

對于A，(xex)'=1?xex，滿足條件；?

對于B，(cosx+1)'=?sinx，滿足條件；?

對于C，(1x3)'=?3x4<0恒成立，負數(shù)乘以負數(shù)不可能得到?1，不滿足條件；?11.【答案】ABD;【解析】?

此題主要考查導數(shù)的運算和幾何意義以及基本不等式求最值，屬于中檔題.?

由題意和導數(shù)的運算結合基本不等式，逐個選項驗證正誤即可.?

解：已知f(x)=x+2x，當x>0時，f(x)=x+2x?242，當x<0時，f(x)=x+2x??242，故選項A、B不正確;?

設直線l與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(x0,x02+2x0)，函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x)=1?2x2=x2?2x2，則直線l的方程為y?x12.【答案】AC;【解析】?

此題主要考查導數(shù)的幾何意義和二次方程的實根的分布，考查運算能力，屬于中檔題．?

求出導數(shù)，由題意可得2x2?2x+a=3有兩個不相等的正根，由此列出不等式組即可得到a的取值范圍，進而可得a的可能取值．?

解：f(x)=23x3?x2+ax?1的導數(shù)為f'(x)=213.【答案】BCD;【解析】解：函數(shù)f(x)=x?ln|x|x的定義域為{x|x≠0}，?

f(?x)+f(x)=1?ln|?x|?x+1?ln|x|x=2≠0，所以f(x)不為奇函數(shù)，故A錯誤；?

由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)?1有兩個零點，故B正確；?

由f(?x)+f(?2x)+f(x)+f(2x)=[f(?x)+f(x)]+[f(?2x)+f(2x)]=2+2=4，?

則函數(shù)y=f(x)+f(2x)的圖象關于點(0,2)對稱，故C正確；?

當x>0時，f(x)=1?lnxx，f'(x)=?1?lnxx2，?

設過原點與f(x)相切的切點為(m,n)，則切線的方程為y?n=lnm?1m2(x?m)，?

即y?1+lnmm=lnm?1m2(x?m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，?

設g(m)=2lnm?1?m，g'(m)=2m?1，當0<m<2時，g(m)遞增，m>2時，g(m)遞減，?

則g(m)14.【答案】x?y+ln【解析】?

由直線的傾斜角求得直線的斜率，求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)值為1求解切點坐標，再由直線方程的點斜式得答案．?

此題主要考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導函數(shù)是關鍵，是基礎題．?

解：直線的傾斜角為45°，則直線的斜率為tan45°=1，?

由y=lnx?2x+1，得y'=1x+2x2，?

由y'=1x+2x2=1，解得x=?1(舍去15.【答案】y=?x或y=?14x【解析】?

求出函數(shù)的導數(shù)，結合直線關系即可得到結論．?

這道題主要考查函數(shù)的切線的求解，根據(jù)函數(shù)導數(shù)的幾何意義是解決本題的關鍵．注意要進行分類討論．?

解：函數(shù)的導數(shù)為f'(x)=3x2?6x+2，?

設切點為(a,b)，?

則k=f'(a)=3a2?6a+2，b=a3?3a2+2a，?

則切線的方程y?b=(3a2?6a+2)(x?a)，?

即y=(3a2?6a+2)x?2a3+9a2?4a，?

∵直線l過點(0,0)，?

∴?2a3+9a2?4a=0，?

即16.【答案】(0,4-【解析】?

此題主要考查函數(shù)的零點與方程的根之間的關系，函數(shù)的導數(shù)求解切線方程，考查數(shù)形結合以及計算能力，是難題．?

畫f(x)={1?2x,x?012x2+2x,x<0，的圖象，結合直線g(x)=k(x?2)過定點(2,0)，函數(shù)g(x)的圖象與f(x)=12x2+2x，x<0的圖象相切時，函數(shù)f(x)，g(x)的圖象恰有兩個交點．設切點為P(x0,y0)，由f?(x)=x+2，x<0，求出切線的斜率，利用函數(shù)的圖象的交點個數(shù)與函數(shù)的零點個數(shù)，推出k的范圍即可．?

解：依題意，畫出f(x)={1?2x,x?012x2+2x,x<0的圖象如圖：?

因為直線g(x)=k(x?2)過定點(2,0)，?

由圖象可知，當函數(shù)g(x)的圖象與f(x)=12x2+2x，x<0的圖象相切時，?

函數(shù)f(x)，g(x)的圖象恰有兩個交點．?

下面利用導數(shù)法求該切線的斜率．?17.【答案】23【解析】解：由f(x)=4x+1，得f'(x)=2(4x+1)?12，?

所以函數(shù)f(x)在x=2處切線的斜率k=f'(2)=23.?

故答案為：2318.【答案】32【解析】解：S=t+2t，?

∴S'=1+1t，?

∴它在4秒末的瞬時速度為1+14=32，?

故答案為：32．?19.【答案】解：(1)∵f'(x)=(x3+x?16)'=3x2+1，?

∴在點(2,?6)處的切線的斜率k=f'(2)=3×22+1=13，?

∴切線的方程為y=13x?32．?

(2)設切點為(x0,y0)，則直線l的斜率為f'(x0)=3x02+1，?

∴直線l的方程為y=(3x02+1)(x?【解析】?

(1)先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出函數(shù)在(2,?6)處的導數(shù)即斜率，易求切線方程．?

(2)設切點為(x0,y0)，則直線l的斜率為f'(x0)=3x20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)則曲線在點A處的切線斜率為2am曲線在點A處的切線方程為y?am曲線在點A處的切線過點P1,?3故am同理可得曲線y=ax2(a>0)在點B∴am①?②得m1m2∵m∴m將m1=?1代入①，可得故拋物線方程為x(2)由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+b，與拋物線C的交點為聯(lián)立得y=kx+bx∴x∴k可得b=2，∴直線l經(jīng)過點(0,2)，∴S∴x∴k∴k=±2，經(jīng)檢驗k=±2,b=2符合題意，∴直線l的方程為y=2x+2或【解析】此題主要考查了直線與拋物線涉及到利用導數(shù)求曲線的切線方程、拋物線的幾何性質(zhì)、直線方程的求法等知識，綜合性較強.(1)利用導數(shù)，可以求出曲線在點A，B處的切線斜率為2am1，2am2，從而求出切線方程，得到關于(2)設直線l的方程為y=kx+b，與拋物線C的交點為Mx1,x12,Nx21.【答案】（本題滿分為12分）?

解：（1）f'(x)=lnx+ax+1，?

由題意知，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，?

則f'（1）=2，?

所以a+1=2，解得a=1．…（4分）?

（2）令?(x)=f(x)?g(x)=(x+1)lnx?x2ex，x∈（1，2），?

則?(1)=?1e＜0，?(2)=3ln2【解析】?

(1)求得f(x)的導數(shù)，可得x=1處切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程即可得到所求值．?

(2)令?(x)=f(x)?g(x)=(x+1)lnx?x2ex，x∈(1,2)，由?(1)=?1e<0，?(2)=3ln2?4e22.【答案】解：（I）由題意得，f(x)=aex+1aex+b，則f'(x)=aex?1aex，?

因為在點（2，f（2））的切線方程為y=32x，所以f(2)=3f'(2)=32，?

即ae2+1ae2+b=3ae2?1ae2=32，解得a=2e2b=12…（6分）?【解析】?

(Ⅰ)由求導公式和法則求出f'(x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義和條件列出方程組，求出a、b的值；?

(Ⅱ)設t