2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版理） 第10章 §10

第十章計(jì)數(shù)原理

§10.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

【考試要求】1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理2會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步

乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有，”種不同的方法，在

第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有，"種不同的方法，做第2步有

n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.

【常用結(jié)論】

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)

分類、相加分步、相乘

不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法每步依次完成才算完成這件事情(每步

都能獨(dú)立完成這件事中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)

注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(X)

(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(V)

(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件

事.(X)

（4）從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題.（V）

【教材改編題】

1.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購買方案有（）

A.3種B.6種

C.7種D.9種

答案C

解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案，因此共有方案3

+3+1=7（種）.

2.被譽(yù)為“大飛魚”的深圳寶安機(jī)場(chǎng)T3航站樓，充分結(jié)合了建筑設(shè)計(jì)理念和深圳本地環(huán)境

氣候等重要因素，融合了建筑美學(xué)、綠色節(jié)能和功能實(shí)用等多方面元素.2021年9月25日晚

21時(shí)50分，被加拿大非法扣留的孟晚舟乘坐的CA552航班平安抵達(dá)深圳寶安國際機(jī)場(chǎng).某

志愿者前去接機(jī)，機(jī)場(chǎng)T3航站樓有7個(gè)入口，2個(gè)接機(jī)口（出口），則該志愿者進(jìn)出機(jī)場(chǎng)的方

案數(shù)為（）

A.4B.9C.14D.49

答案C

解析方案種數(shù)為7X2=14.

3.3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法有種.

答案125

解析因?yàn)榈?個(gè)班有5種選法，第2個(gè)班有5種選法，第3個(gè)班有5種選法，所以由分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法有5X5X5=125（種）.

?探究

題型一分類加法計(jì)數(shù)原理

例1（1）若從1,2,3,…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法

共有（）

A.60種B.63種

C.65種D.66種

答案D

解析要想同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)使其和為偶數(shù)，則取法有三類：

①4個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，有1種取法；

②2個(gè)數(shù)是偶數(shù)，2個(gè)數(shù)是奇數(shù)，有C%Cg=60（種）取法；

③4個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，有5種取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有1+60+5=66（種）.

⑵如果一個(gè)三位正整數(shù)如“0政6"滿足"S且3a3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如

120,343,275等），那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為.

答案240

解析若s=2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1或0,“凸數(shù)”為120與121,共2

個(gè).若“2=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2X3=6（個(gè)）.若

。2=4,滿足條件的''凸數(shù)”有3X4=12（個(gè)），…，若診=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8X9=

72（個(gè)）.所以所有凸數(shù)有2+6+12+20+30+42+56+72=240（個(gè)）.

【教師備選】

1.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友

1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）

A.4種B.10種

C.18種D.20種

答案B

解析依題意得，可能剩余一本畫冊(cè)或一本集郵冊(cè)兩種情況.第一類，剩余的是一本畫冊(cè)，

此時(shí)滿足題意的贈(zèng)送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊(cè)，此時(shí)滿足題意的贈(zèng)送方

法共有C3=6（種）.因此，滿足題意的贈(zèng)送方法共有4+6=10（種）.

2.如圖所示，某景觀湖內(nèi)有四個(gè)人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計(jì)劃設(shè)計(jì)三座景觀

橋連通四個(gè)小島，每座橋只能連通兩個(gè)小島，且每個(gè)小島最多有兩座橋連接，則設(shè)計(jì)方案的

種數(shù)最多是（）

A.8B.12C.16D.24

答案B

解析四個(gè)人工小島分別記為A,B,C,D,對(duì)A分有一座橋相連和兩座橋相連兩種情況，

用“一”表示橋.

①當(dāng)A只有一座橋相連時(shí)，有A-B-C—O,A-B-D-C,A~C~B~D,A-C~D~B,A

—D—B~C,A—D—C—B,共6種方法；

②當(dāng)A有兩座橋相連時(shí)，有C-A-B-D,D-A-B-C,D~A~C-B,B-A~C~D,B

~A—D~C,C—A—D—B,共6種方法.故設(shè)計(jì)方案最多有6+6=12（種）.

思維升華分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇

（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩

種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏.

跟蹤訓(xùn)練I（1）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有（）

A.50個(gè)B.45個(gè)

C.36個(gè)D.35個(gè)

答案C

解析由題意，知十位上的數(shù)字可以是123,4,5,6,7,8,共8類，在每一類中滿足題目要求的

兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理，知符

合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個(gè)）.

（2）已知集合/^5，1},Q={y,1,2},其中x,）七{1,2,3,…，9},且尸=Q.把滿足上述條

件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)（x,>）作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.14

C.15D.21

答案B

解析因?yàn)镻={x,1},。=0,1,2},且尸土。，所以xG{>,2}.所以當(dāng)x=2時(shí),y=3,4,5,6,7,8,9,

共有7種情況；

當(dāng)x=y時(shí)，x=3,4,5,6,7,8,9,共有7種情況.

故共有7+7=14（種）情況，即這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為14.

題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理

例2（1）某學(xué)校的3個(gè)班級(jí)將要去甲、乙、丙、丁4個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，要求每個(gè)班只能去1

個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，且甲工廠必須有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，則不同的參觀方案有（）

A.16種B.25種

C.37種D.48種

答案C

解析每個(gè)班級(jí)都可以從這4個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有4種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，共有43=64（種）參觀方案，若甲工廠沒有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，此時(shí)每個(gè)班級(jí)都可以從其余3

個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有3種選擇，共有33=27（種）參觀方案，所以甲工廠必須有班

級(jí)參觀學(xué)習(xí)，不同的參觀方案有64—27=37（種）.

（2）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（）

A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有12種

B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種

C.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種

D.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有33種

答案C

解析對(duì)于A,第1位同學(xué)有3種報(bào)法，第2位同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2位同學(xué)也各有3

種報(bào)法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有34種結(jié)果，A,B錯(cuò)誤；對(duì)于C,每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)

人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步

乘法計(jì)數(shù)原理知共有4X3X2=24（種）結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤.

【教師備選】

1.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)

分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

答案336

解析甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7X7X7=343（種）

站法，其中三個(gè)人站在同一級(jí)臺(tái)階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343-7=

336（種）.

2.某次活動(dòng)中，有30個(gè)人排成6行5歹U，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中

的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

答案7200

解析最先選出的1個(gè)人有30種方法，則這個(gè)人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)5行4

列的隊(duì)形，可知選第2個(gè)人有20種方法，則該人所在的行和列也不能再選人，還剩一個(gè)4

行3列的隊(duì)形，可知選第3個(gè)人有12種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是

30X20X12=7200.

思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略

（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.

（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，

整個(gè)事件才算完成.

跟蹤訓(xùn)練2（1）某人要給廚房中裝有不同調(diào)料的5個(gè)瓶子貼上對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽，若恰好貼錯(cuò)了3

個(gè)，則貼錯(cuò)的可能情況種數(shù)為（）

A.9B.12C.18D.20

答案D

解析由題意，可分為兩步：第一步，從5個(gè)瓶子中選出3個(gè)瓶子，有Cg=10（種）情況，第

二步，對(duì)選出的3個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)位重排，有2種情況，所以貼錯(cuò)的可能情況種數(shù)為10X2=

20.

（2）若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長為4,另外兩邊長分別為4c,且滿足〃W4Wc,

則這樣的三角形有（）

A.10個(gè)B.14個(gè)

C.15個(gè)D.21個(gè)

答案A

解析當(dāng)6=1時(shí)，c=4；

當(dāng)b=2時(shí)，c=4,5；

當(dāng)b=3時(shí)，c=4,5,6；

當(dāng)b=4時(shí)，c=4,5,6,7.

故共有10個(gè)這樣的三角形.

題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

例3（1）如圖所示，積木拼盤由A,B,C,D,E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏

色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：A與B為相鄰區(qū)域，A與。為

不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是（）

A.780B.840C.900D.960

答案D

解析先涂A,則A有&=5（種）涂法，再涂8,因?yàn)锽與A相鄰，所以B的顏色只要與A

不同即可，有Cl=4（種）涂法，同理C有C4=3（種）涂法，。有Cl=4（種）涂法，E有C[=4（種）

涂法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為5X4X3X4X4=960.

（2）甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0,0,2,1,5,為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日

5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商

議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種

數(shù)為（）

A.5B.24

C.32D.64

答案D

解析5日至9日，即5,6,7,8,9,有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天

都有2種選擇，共有23=8（種）；第二步安排偶數(shù)日出行分兩類：第一類，先選1天安排甲的

車，另外一天安排其他車，有2X2=4（種）；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共

有22=4（種），共計(jì)4+4=8（種）.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8X8=64.

延伸探究若甲的車牌尾數(shù)為9,他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0,2,1,5,其他條件不變，

則不同的用車方案有多少種？

解由題意，從5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，

第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2X2=4（種）不同的選擇；

第二步，安排奇數(shù)日出行，可分為兩類：（1）選1天安排甲的車，共有3X2X2=12（種）不同

的選擇；（2）不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有2X2X2=8（種）不同的選擇，綜上可得,

不同的用車方案種數(shù)為4X（124-8）=80.

【教師備選】

1.現(xiàn)有5種不同顏色要對(duì)如圖所示的五個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一

種顏色，則不同的著色方法共有（）

A.420種B.780種

C.540種D.480種

答案B

解析依題意可知，完成涂色任務(wù)可以使用5種，4種，或3種顏色，將區(qū)域標(biāo)號(hào)如圖.

①若用5種顏色完成涂色，則有Ag=120（種）方法；

②若用4種顏色完成涂色，顏色有Cg種選法，需要2,4同色，或者3,5同色，或者1,3同色，

或者1,4同色，故有色X4XA才=480（種）；

③若用3種顏色完成涂色，顏色有Cg種選法，需要2,4同色且3,5同色，或者1,4同色且3,5

同色，或者1,3同色且2,4同色，故有CgX3XA^=180（種）.所以不同的著色方法共有120

+480+180=780（種）.

2.通常我國民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市

簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào),第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字與英文字母組成的序號(hào).其

中序號(hào)的編碼規(guī)則為：①由0,1,2,…，9這10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字與除I,O之外的24個(gè)英文字

母組成；②最多只能有2個(gè)位置是英文字母，如：粵A326S0,則采用5位序號(hào)編碼的粵A

牌照最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌數(shù)為（）

A.586萬張B.682萬張

C.696萬張D.706萬張

答案D

解析討論后五位的不同情況：

（1）后5位全部為數(shù)字，共有105張牌.

（2）后5位有一個(gè)字母,共有4anaxio6張牌.

（3）后5位有兩個(gè)字母，當(dāng)兩個(gè)字母相同時(shí)，有103c/cg=2.4X105張牌；當(dāng)兩個(gè)字母不同時(shí)，

有103c24A專=5.52X106張牌,

綜上，共有105+12X106+2.4X105+5.52幺106=7.06幺106張牌.

思維升華利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)

（1）當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.

（2）分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖.

（3）對(duì)于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步.

跟蹤訓(xùn)練3（1）從6人中選出4人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物比賽，每人只能參加其中一

項(xiàng)，且每項(xiàng)比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，則不同的參賽方案的種

數(shù)為（）

A.94B.180C.240D.286

答案C

解析第一步，因?yàn)榧?、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，所以從剩下的4人中選1人參加化學(xué)

比賽，共有4種選法；

第二步，在剩下的5人中任選3人參加數(shù)學(xué)、物理、生物比賽，共有5X4X3=60（種）選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的參賽方案的種數(shù)為4X60=240.

（2）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各

選出2名同學(xué)，則選出的4名同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）

A.150種B.180種C.300種D.345種

答案D

解析這名女同學(xué)可以在甲組選出也可以在乙組選出，故分兩類計(jì)算.

甲組中選出1名女同學(xué)有CgXC3XCW=225（種）選法；乙組中選出一名女同學(xué)有CgXCAXQ=

120（種）選法.故共有345種選法.

課時(shí)精練

過基礎(chǔ)保分練

1.已知5名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方

法共有（）

A.10種B.20種C.25種D.32種

答案D

解析5名同學(xué)依次報(bào)名，每人均有2種不同的選擇，所以共有2X2X2X2X2=32（種）不同

的報(bào)名方法.

2.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個(gè)圓，且相

鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（）

cxxxxx^

A.12B.24C.30D.36

答案C

解析按順序涂色，第一個(gè)圓有3種選擇，第二個(gè)圓有2種選擇，若前三個(gè)圓用了三種顏色，

則第三個(gè)圓有1種選擇，后三個(gè)圓也用了三種顏色，共有3X2X1XQX?=24（種），若前三

個(gè)圓用了兩種顏色，則后三個(gè)圓也用了兩種顏色，所以共有3X2=6（種）.綜上可得不同的涂

色方案的種數(shù)是24+6=30.

3.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形共有（）

A.10種B.15種

C.20種D.30種

答案C

解析3局定勝負(fù)，有2種情形；4局定勝負(fù)，有20=6（種）情形；5局定勝負(fù)，有2cz=12（種）

情形.共有2+6+12=20（種）情形.

4.已知從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條，若要從其中一面上山，從剩

余三面中的任意一面下山，則不同的走法最多時(shí)應(yīng)（）

A.從東面上山B.從西面上山

C.從南面上山D.從北面上山

答案D

解析從東面上山，不同的走法共有2X（3+3+4）=20（種）；

從西面上山，不同的走法共有3X（2+3+4）=27（種）；

從南面上山，不同的走法共有3X（2+3+4）=27（種）；

從北面上山,不同的走法共有4X（2+3+3）=32（種）.

所以應(yīng)從北面上山.

5.用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰，

這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.18

C.24D.30

答案B

解析分三步完成，第1步，確定被使用了2次的數(shù)字，有3種方法；

第2步，把這2個(gè)相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個(gè)數(shù)位上，有3種方法；

第3步，將余下的2個(gè)數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個(gè)數(shù)位上，有2種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的四位數(shù)有3X3X2=18（個(gè)）.

6.算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤（如圖1）,共兩檔，自右向左分別表示個(gè)

位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5,梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖

2中算盤表示整數(shù)51）.如果撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

十位個(gè)位十位個(gè)位

A.16B.15C.12D.10

答案C

解析由題意，撥動(dòng)三枚算珠，有4種撥法：

①個(gè)位撥動(dòng)三枚，有2種結(jié)果：3,7；

②十位撥動(dòng)一枚，個(gè)位撥動(dòng)兩枚，有4種結(jié)果：12,16,52,56；

③十位撥動(dòng)兩枚，個(gè)位撥動(dòng)一枚，有4種結(jié)果：21,25,61,65；

④十位撥動(dòng)三枚，有2種結(jié)果：30,70.

綜上，撥動(dòng)題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為2+4+4+2=12.

7.某校高一年級(jí)有四個(gè)班，四位老師各教一個(gè)班的數(shù)學(xué).在該年級(jí)某次數(shù)學(xué)考試中，要求每

位數(shù)學(xué)老師均不在本班監(jiān)考，則不同的安排監(jiān)考的方法種數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.24

答案B

解析設(shè)四個(gè)班分別是A,B,C,D,對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)老師分別是“，h,c,。讓a老師先選，可

從B,C,。班中選一個(gè)，有3種選法，不妨假設(shè)。老師選的是8,則6老師從剩下的三個(gè)班

級(jí)中任選一個(gè)，有3種選法，剩下的兩位老師都只有1種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有3X3X1X1=9（種）不同的安排方法.

8.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”.在一個(gè)長

方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是

A.60B.48

C.36D.24

答案B

解析長方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”個(gè)數(shù)為6義6=36,另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面（非

表面）構(gòu)成的“平行線面組”個(gè)數(shù)為6X2=12,故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36+

12=48.

9.3個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放1個(gè)小球，共有種放法.

答案24

解析分三步來完成：

第一步，放第一個(gè)小球，有4種放法，

第二步，放第二個(gè)小球，有3種放法，

第三步，放第三個(gè)小球，有2種放法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4X3X2=24（種）放法.

10.4張卡片的正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起，

可組成個(gè)不同的三位數(shù).

答案168

解析要組成三位數(shù)，根據(jù)百位、十位、個(gè)位應(yīng)分三步：

第一步：百位可放8—1=7（個(gè)）數(shù)；

第二步：十位可放6個(gè)數(shù)；

第三步：個(gè)位可放4個(gè)數(shù).

故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共可組成7X6X4=168（個(gè)）不同的三位數(shù).

11.從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、

乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種（用數(shù)字作答）.

答案36

解析第一步，先選出文娛委員，因?yàn)榧?、乙不能?dān)任，所以從剩下的3人中選1人當(dāng)文娛

委員，有3種選法.第二步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員，有4種選法.第三步，從剩下的

3人中選體育委員，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有3X4X3=36（種）.

12.現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天

或不值班，但相鄰兩天不能同一個(gè)人值班，則此值班表共有種不同的排法.

答案1280

解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分步進(jìn)行：

第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類

推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5X4X4X4X4=1280（種）不同的排法.

應(yīng)技能提升練

13.記04203…%為一個(gè)"位正整數(shù)，其中0,〃2，…，都是正整數(shù)，1WAW9,0WMW9

（i=2,3,…，〃）.若對(duì)任意的正整數(shù)至少存在另一個(gè)正整數(shù)A（1kWj）,

使得力=以，則稱這個(gè)數(shù)為“〃位重復(fù)數(shù)”.根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.540B.252

C.279D.4464

答案B

解析由題意，對(duì)于““位重復(fù)數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個(gè)數(shù)位上也是

相同的數(shù)字.

所以“四位重復(fù)數(shù)”包含兩種情況.

（1）四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，有1111,2222,…，9999共9個(gè).

（2）兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個(gè)數(shù)位上同為另外一個(gè)數(shù)字.

若干位、百位相同（不能為0）,十位、個(gè)位相同，故有9X9=81（個(gè)）.

同理，若干位、十位相同（不能為0）,百位、個(gè)位相同，也有81個(gè).

若千位、個(gè)位相同（不能為0）,百位、十位相同，也有81個(gè).

綜上，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為9+81X3=252.

14.某旅行社共有5名專業(yè)導(dǎo)游，其中3人會(huì)英語，3人會(huì)日語，若在同一天要接待3個(gè)不

同的外國旅游團(tuán)，其中有2個(gè)旅游團(tuán)要安排會(huì)英語的導(dǎo)游，1個(gè)旅游團(tuán)要安排會(huì)日語的導(dǎo)游，

則不同的安排方法種數(shù)有（）

A.12B.13C.14D.15

答案C

解析由題意知有1名導(dǎo)游既會(huì)英語又會(huì)日語，記甲為既會(huì)英語又會(huì)日語的導(dǎo)游，按照甲是

否被安排到需要會(huì)英語的旅游團(tuán)可分為兩類：

第一類，甲被安排到需要會(huì)英語的旅游團(tuán)，則可分兩步進(jìn)行：

第一步，從會(huì)英語的另外2人中選出1人，有2種選法，將選出的人和甲安排到2個(gè)需要會(huì)

英語的旅游團(tuán)，有