大學基礎物理學答案(習崗) 波動光學

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第14章波動光學

本章提要

1.幾個基本概念

●相干條件：參與疊加的兩束光滿足振動方向相同、頻率相同、相位差恒定的條件稱相干條件。只有滿足相干條件的光疊加時才能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。

●分波前法和分振幅法：利用普通光源獲得相干光的方法有分波前法和分振幅法。分波前法是在同一波前上通過波前的分割獲得相干光，分振幅法是通過對同一束光進行振幅（光強）的分割獲得相干光的。

●光程：光走過的幾何路程與路程上的介質(zhì)折射率的乘積稱為光程。

2.分波前法干涉

●楊氏雙縫干涉是利用分波前法產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的，它是光具有波動性的經(jīng)典實驗，具有十分重要的意義。

●楊氏雙縫干涉實驗的基本原理是：波長為λ的自然光源通過一個狹縫后形成狹縫光源，由狹縫光源發(fā)出的光通過間距為d的雙縫后形成兩束相干光，這兩束相干光在屏上相遇就會形成等間距的干涉條紋。條紋間距為

Dxd

λ?=其中，D為雙縫與光屏的距離。

●洛埃鏡實驗也是分波前法干涉實驗，其重要意義在于顯示了光的半波損失現(xiàn)象。即光在光疏媒質(zhì)和光密媒質(zhì)截面反射時，光要多走或少走2λ的光程。

3.分振幅法干涉

分振幅法干涉的典型例子是薄膜干涉，其又可分等厚干涉和等傾干涉兩種。

（1）等厚條紋

當光線垂直入射在膜表面時，在薄膜表面等厚處形成相同的干涉條紋的現(xiàn)象稱等厚干涉。當膜兩側(cè)都是空氣時，定位于膜上表面的明紋滿足

0022λλkne=+

,3,2,1=k對暗紋滿足

2)12(220

λλ+=+kne0,1,2,3,k=

其中，n為膜的折射率，e為膜的厚度。

等厚干涉的應用有：

●利用劈尖干涉測量微小角度、微小長度、檢驗工件的平整度等。

●制備增加透射或反射的增透膜或增反膜。

119

●

利用牛頓環(huán)測量透鏡曲率半徑或光的波長。

（2）等傾條紋

以相同傾角i入射到厚度均勻的平面膜上的光線，經(jīng)膜上、下表面反射后產(chǎn)生的相干光束有相等的光程差，這樣形成的干涉條紋稱為等傾干涉。等傾干涉條紋是同心圓形條紋。等傾干涉的一個重要的應用是邁克耳孫干涉儀。

4.光的衍射現(xiàn)象及其分類

●光偏離直線傳播，并且在光屏上形成光強度不均勻分布的現(xiàn)象稱光的衍射。

●光的衍射現(xiàn)象可分為菲涅耳衍射（或近場衍射）和夫瑯禾費衍射（或遠場衍射。

●衍射現(xiàn)象可以通過惠更斯－菲涅耳原理來定性解釋，其表述為：波前上的各點可以看成是相干的子波波源，其后波場中的某點波的強度由各子波波源發(fā)出的子波在該點的相干疊加來決定。

5.夫瑯禾費衍射

●夫瑯禾費單縫衍射。應用半波帶法可知，當單色光垂直入射時，衍射暗條紋中心位置滿足：λθka=sin3,2,1=k

明條紋中心滿足：

2)12(sinλ

θ+=ka3,2,1=k

其中，a為縫寬，θ為衍射角。

●夫瑯禾費圓孔衍射。當單色光垂直入射到通光孔半徑為a的圓孔時，設在光屏上所形成的中央亮斑（稱艾里斑）的角半徑為θ，其滿足

a

λθ61.0sin=中央亮斑（艾里斑）的半徑為

fa

Rλ61.0=其中，f為透鏡的焦距。

6.光學儀器的分辨本領

●根據(jù)圓孔衍射規(guī)律和瑞利判據(jù)得最小分辨角為

a

λθ61.0min=●最小分辨角的倒數(shù)為分辨率。

●生物顯微鏡的分辨本領由通過物鏡所能分辨的兩個物點的最小距離（稱最小分辨距離）來表示。理論計算得到的最小分辨距離為

120u

nysin61.0λ=

?其中，n為物方的折射率，u為孔徑對物點的半張角，unsin稱物徑的數(shù)值孔徑（縮寫N.A.)。

7.光柵衍射

●由許多等寬的狹縫等距離地排列起來形成的光學元件叫光柵。光柵每一條透光部分的寬度為a，不透光部分的寬度為b，(a+b)=d稱為光柵常數(shù)。光柵常數(shù)是光柵的特征量。

●當用單色光入射到光柵上時，在黑暗的背景上會出現(xiàn)窄細明亮的譜線?？p數(shù)越多，譜線越細越亮。譜線（主極大）的位置滿足sin

dkθλ=,2,1,0=k該式稱為光柵方程。

●譜線強度要受單縫衍射調(diào)制，因而會出現(xiàn)缺級現(xiàn)象。

●X射線通過晶體時會產(chǎn)生衍射。若各原子層(或晶面)之間的距離為d，當單色的平行X射線以掠射角θ入射到晶面上時，表面層原子散射的反射光和內(nèi)部原子散射的反射光滿足下式時

λθkd=sin

23,2,1=k在θ方向上就會因各反射光相互干涉增強而出現(xiàn)亮點。該式稱為晶體衍射的布喇格公式。

8.光的偏振

●根據(jù)光矢量的振動情況，光可以分為非偏振光（無偏振）、偏振光（線偏振、橢圓偏振、圓偏振）和部分偏振光。自然光是非偏振光。

●可以通過具有二向色性的偏振片產(chǎn)生和檢驗偏振光。

●偏振光通過檢偏器后，其光強服從如下的馬呂斯定律：

20cosIIα=

其中，I為通過檢偏器后的光強，0I是通過檢偏器前的光強，α是偏振光與檢偏器偏振化方向的夾角。

●自然光通過雙折射晶體后會產(chǎn)生偏振的o光和e光，利用雙折射晶體制成的尼科耳棱鏡也可以產(chǎn)生偏振光。

●當自然光在任意兩種各向同性的介質(zhì)分界面上反射和折射時，反射光和折射光都是部分偏振光，特別是，當光從折射率n1的介質(zhì)射向折射率為n2的介質(zhì)時，若入射角Bi滿足下述關系

2B1

tannin=時，反射光成為振動方向垂直于入射面的完全偏振光。該關系式稱為布儒斯特定

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律，式中的角Bi稱布儒斯特角或起偏角。

思考題

9-1在雙縫干涉實驗中(1)當縫間距不斷增大時，干涉條紋如何變化?為什么?(2)當狹縫光源在垂直于軸線方向上向下或向上移動時，干涉條紋將如何變化?

答：（1）根據(jù)雙縫干涉中相鄰條紋的間距公式可知，隨著縫間距的增大，干涉條紋的間距會變窄。

（2）當狹縫光源在垂直于軸線方向上移動時，干涉條紋也會隨著在垂直軸線方向移動，方向與光源移動方向相反。

9-2將雙縫實驗裝置放進水中，條紋間距將發(fā)生什么變化?

答：由于水的折射率大于空氣的折射率，所以，光在水中的波長變短。根據(jù)雙縫干涉中相鄰條紋的間距公式可知將雙縫實驗裝置放進水中，條紋間距會變小。

9-3在雙縫干涉實驗中，如果在上方的縫后面貼一片薄的透明云母片，干涉條紋的間距有沒有變化?中央條紋的位置有沒有變化?

答：如果在上方的縫后面貼一個云母片，則從上方縫中出射的光線的光程會發(fā)生變化。設云母片的折射率為n，厚度為h，則兩束光的光程差為

xD

dnh+--=)1(δ其中，d為兩縫的距離，D為縫與屏的距離，x為屏上相鄰兩點的距離。當在屏上出現(xiàn)亮條紋時，滿足

(1)dhnxkD

δλ=--+=(0,1,2,...k=)從中可以看出，相鄰兩條紋的距離為

Dxd

λ?=即條紋間距沒有發(fā)生變化。令k等于零，由上式可知x>0，即中央亮條紋向上方移動。

9-4用兩塊玻璃片疊在一起形成空氣劈尖觀察干涉條紋時，如果發(fā)現(xiàn)條紋不是平行的直線，而是彎曲的線條，試說明兩個玻璃片相對的兩面有什么特殊之處?

答：說明兩個玻璃片相對的兩面至少有一面不平整。

9-5在日常經(jīng)驗中，為什么容易發(fā)現(xiàn)聲波的衍射而難以發(fā)現(xiàn)光波的衍射?答：根據(jù)衍射原理，只有當狹縫或者障礙物的大小與波長可比時，才會形成衍射現(xiàn)象。光波波長短，日常的狹縫或障礙物的尺寸遠遠大于光波波長，因而難以發(fā)現(xiàn)光波的衍射；而聲波波長可與日常狹縫或障礙物的尺寸相比，所以更容易發(fā)生衍射。

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9-6在觀察夫瑯禾費衍射的實驗裝置中，透鏡的作用是什么?

答：在實驗中使用了兩個透鏡，一個用來將線光源擴束成平行光束，另一個用來將衍射后的光束會聚到觀察屏。

9-7在單縫夫瑯禾費衍射中，如果將單縫逐漸加寬，衍射圖樣會發(fā)生什么變化?

答：隨著單縫的加寬，衍射條紋間距變小，衍射現(xiàn)象變得不明顯。當縫寬遠大于波長時，衍射條紋密集到無法分辨，只顯示出單一的明條紋。

9-8如何用實驗判斷光束是(1)線偏振光；(2)部分偏振光；(3)自然光?答：用一個偏振片（檢偏器）以光的傳播方向為軸轉(zhuǎn)動，若出射光強不發(fā)生任何變化，則該光束是自然光；當將偏振片旋轉(zhuǎn)一周后，若出射光強有兩次達到最大，有兩次完全消光，則該光束是線偏振光；若偏振片旋轉(zhuǎn)一周時出射光強發(fā)生了改變，但沒有出現(xiàn)消光現(xiàn)象，則該光束是部分偏振光。

9-9當一束光入射到兩種透明介質(zhì)的分界面上時，發(fā)現(xiàn)只有透射光而無反射光，試說明這束光是怎樣入射的?其偏振狀態(tài)如何?

答：這束光是以布儒斯特角入射的，其偏振方向與入射面平行。

練習題

9-1在楊氏實驗中，用波長為632.8nm的氦氖激光束垂直照射到間距為

1.14mm的兩個小孔上，小孔至屏幕的垂直距離為1.50m。試求在下列兩種情況下屏幕上干涉條紋的間距：(1)整個裝置放在空氣中；(2)整個裝置放在n=1.33的水中。

解：設兩孔間距為d，小孔至屏幕的距離為D，裝置所處介質(zhì)的折射率為n，則兩小孔出射的光到屏幕的光程差為

21()xnrrndD

δ=-=所以相鄰干涉條紋的間距為

Dxdn

λ?=?（1）在空氣中時，n＝1。于是條紋間距為

9431.5632.8108.3210(m)1.1410

Dxdλ---?==??=??（2）在水中時，n＝1.33。條紋間距為9

431.5632.8106.2610(m)1.14101.33

Dxdnλ---???=?==???

9-2在楊氏干涉裝置中，已知雙縫的間距為0.342mm，雙縫至屏幕的垂直距離為2.00m。測得第10級干涉亮紋至中央亮紋之間的距離為3.44cm，試求光源

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的單色光波長。

解：在楊氏干涉裝置中，兩束相干光的光程差為

D

xd=δ根據(jù)出現(xiàn)亮條紋的條件0λδk±=，對第10級亮條紋，k取10，于是有

010λ=D

xd帶入數(shù)據(jù)得

02

3

1021044.310342.0λ=???--由此解出

nm24.5880=λ

9-3將很薄的云母片(n=1.58)覆蓋在雙縫干涉實驗裝置的一條縫上，利用波長為550.0nm的光源，觀察到干涉條紋移動了9個條紋的距離，試求該云母片的厚度。

解：設云母片厚度為h，覆蓋在雙縫中的1r光路上，此時兩束相干光的光程

差為

21()(1)drnhrhhnxkDδλ'=-+-=--+=當沒有覆蓋云母片，兩束相干光的光程差為

21drrxkD

δλ'=-==因為條紋移動了9個，則

9kk'-=

由①、②兩式得

(1)9hnλ-=由此可得云母片的厚度為

9

699550.0108.5310(m)11.581

hnλ--??===?--

9-4將兩塊平板玻璃疊合在一起，一端互相接觸。在距離接觸線為L=12.40cm處將一金屬絲墊在兩板之間。用波長為546.0nm的單色光垂直入射到玻璃板上，測得條紋間距為l=1.50mm，試求該金屬細絲的直徑D。

解：如圖9-1所示，設相鄰兩條紋對應高度差為e?，則

)(1073.2210546279

mne--?=?==?λ

①

②

124

根據(jù)由幾何關系易得

eDlL

?=于是m)(1026.21073.2105.1124.0573

---?=???=?=

elLD

9-5（1）將一個平凸透鏡與一

個平板玻璃完全接觸，兩者之間充滿空氣，構(gòu)成一個觀察牛頓環(huán)的裝

置。利用波長為589nm的單色光

源，測得第k個暗環(huán)的直徑為0.70圖9-1

mm，第k+15個暗環(huán)的直徑為2.20

mm，試求透鏡凸面的曲率半徑；（2）如果間隙間充滿折射率為1.33的水，則上述兩個暗環(huán)的直徑變?yōu)槎啻?

解：（1）在牛頓環(huán)裝置中，暗環(huán)的半徑表示公式為

r=其中，λ為真空波長。根據(jù)已知條件可得

21kRrλ=

22(15)kRrλ+=

聯(lián)立上兩式可得

223232

219

(1.110)(0.3510)0.123(m)151558910rrRλ----?-?===??（2）若間隙充滿折射率為1.33的水，暗環(huán)的半徑為

r=所以，第k和第15k+級暗環(huán)的直徑分別為

0.607(mm)kD==

151.908(mm)kD+=

=

9-6波長范圍為400~700nm的白光垂直入射到肥皂膜上，已知肥皂膜的厚度為0.55μm，折射率為1.35，試問在反射光中哪些波長的光得到增強?哪些波長

125

的光干涉相消?

解：設膜的厚度為d，折射率為n。在肥皂膜第一個面和第二個面上的反射光的光程差為

022

ndλδ=+當反射光干涉增強時，滿足

0022

ndkλλ+=,3,2,1=k當干涉相消時，滿足

2)12(220

λλ+=+kne0,1,2,3,

k=利用上述關系，分別取將k=1、3、4，可以算出在400～700nm范圍內(nèi)，干涉增強的光為

3k=0594(nm)

λ=4k=0424.3(nm)

λ=干涉相消的光為

3k=0495(nm)

λ=

9-7在夫瑯禾費單縫衍射實驗中，以波長為589nm的平行光垂直照射到單縫上。若縫寬為0.10m，試問第一級極小出現(xiàn)在多大的角度上?若要使第一級極小在0.50o的方向上，則縫寬應多大?

解：根據(jù)夫瑯禾費單縫衍射出現(xiàn)暗紋的條件

λθka=sin3,2,1=k

令k＝1可得第一級暗紋的角位置。再考慮到小角度時θθ=sin，可得第一級極小的衍射角為

9

6589105.8910(rad)0.10aλ

θ--?===?若30.58.7210(rad)180

πθ-==?，則縫寬為9

53589106.7510(m)8.7210

aλθ---?===??

9-8用水銀燈發(fā)出的波長為546nm的綠色平行光垂直入射到一個單縫上，置于縫后的透鏡的焦距為40cm，測得第二極小至衍射圖樣中心的線距離為0.30cm。當用未知波長的光作實驗時，測得第三極小至衍射圖樣中心的線距離為0.42cm，試求該光的波長。

解：根據(jù)夫瑯禾費單縫衍射出現(xiàn)暗紋的條件

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λθka=sin3,2,1=k

令k＝2得第二級暗條紋的衍射角滿足的條件為

sin2aθλ=

由此可知第二級暗紋與中心明紋的距離為

a

f

ffxλθθ2sintan=≈=其中，f為透鏡的焦距。由上述關系可得單縫的寬度為41.45610(m)a-=?

同理，對第三級暗紋，k=3，第三級暗紋與中心明紋的距離為

3tansinxfffa

λθθ=≈=將x=0.42cm和41.45610ma-=?等參數(shù)帶入可得入射光的波長為

24

20.42101.45610509.6(nm)334010

xafλ---???===??

9-9氦氖激光器發(fā)出波長為632.8nm的紅光，使其垂直入射到一個平面透射光柵上。今測得第一級極大出現(xiàn)在38?角的方向上，試求這一平面透射光柵的光柵常量d為多少？該光柵在1cm內(nèi)有多少條狹縫？

解：根據(jù)光柵方程

sin

dkθλ=（0,1,2,...k=）取k=1得光柵常量d為

96632.8101.02810(m)sinsin38

kdλθ--?===?在1cm內(nèi)的狹縫數(shù)為

3-119.7310(cm)Nd

==?

9-10用波長為589.3nm的鈉黃光垂直入射到一個平面透射光柵上，測得第三級譜線的衍射角為10?11'。而用未知波長的單色光垂直入射時，測得第二級譜線的衍射角為6?12'，試求此光的波長。

解：根據(jù)光柵方程

sin

dkθλ=（0,1,2,...k=）當3k=時，可得光柵常量為

953589.3101.010(m)sinsin1011'

kdλθ--??===?，對于未知光源，已知第二級譜線衍射角為6?12'，則入射光的波長

127

5'

sin1.010sin612540(nm)2

dkθλ-?===

9-11在迎面駛來的汽車上，兩盞前燈相距1.2m。問汽車距離人多遠時，人的眼睛恰好能夠分辨這兩盞前燈?設夜間人眼瞳孔的直徑為5.0mm，入射光波長為550nm，而且僅考慮人眼瞳孔的衍射效應。

解：由于人眼的最小分辨角為

min1.22D

λθ=帶入數(shù)據(jù)可解得

94min3550101.221.221.34210(rad)510Dλ

θ---?==?=??設兩個車燈對人眼的張角為θ，兩盞前燈的間距為l，車燈到人的距離為L，

lL

θ=按題意當minlL

θθ==時人眼恰好能分辨這兩盞燈，據(jù)此可解得34min1.28.9410(m)1.34210

l

L