2020屆寧夏固原一中高三第二次沖刺考試數(shù)學(xué)（理）試題

/21/21/2020屆寧夏固原一中高三第二次沖刺考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合A，再利用并集的定義求解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及一元二次不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，代入，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】由題意知，，所以，即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)式表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.3．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】化簡(jiǎn)得到，再利用二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4．函數(shù)的圖像大致為()A． B．C． D．【答案】B【解析】分析：通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．5．在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：由余弦定理得.由正弦定理得，解得.【考點(diǎn)】解三角形.6．對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，定義的算法原理如下側(cè)程序框圖所示．設(shè)為函數(shù)的最大值，為雙曲線的離心率，則計(jì)算機(jī)執(zhí)行該運(yùn)算后輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)求得、的值，再模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可求得的值.【詳解】解：函數(shù)，最大值是，雙曲線的離心率，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程是：，且，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)，也考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.7．已知，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)方程有實(shí)根得到，利用向量模長(zhǎng)關(guān)系可求得，根據(jù)向量夾角所處的范圍可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于的方程有實(shí)根設(shè)與的夾角為，則又又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用方程有實(shí)根得到關(guān)于夾角余弦值的取值范圍，從而根據(jù)向量夾角范圍得到結(jié)果.8．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.9．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.10．如圖，正四面體ABCD，E，F(xiàn)，P，Q分別是AB，AD，DC，CB的中點(diǎn)，AQ，AP，CE，CF的中點(diǎn)分別為L(zhǎng)，M，K，N，四邊形LMNK的面積為1.則該正四面體體積是（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連，則可證明四邊形LMNK為正方形，設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，則有，由四邊形LMNK的面積為1，算出值，接著由體積公式算出正四面體的體積即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連，則有，所以平面，所以，又，且，所以四邊形LMNK為正方形，設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，則有，由四邊形LMNK的面積為1，則有，解得：，設(shè)正四面體的高為，則可得，所以正四面體的體積.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，幾何體體積的計(jì)算，考查了學(xué)生的邏輯推理與直觀想象能力.11．已知雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，直線AB過(guò)拋物線M的焦點(diǎn)，交拋物線M于另一點(diǎn)B，則等于（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線方程可得漸近線方程，將點(diǎn)A的坐標(biāo)求出后代入拋物線方程，即可求得拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，由A和焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AB的方程，聯(lián)立直線AB的方程和拋物線方程，化簡(jiǎn)后由韋達(dá)定理可得，即可由求解.【詳解】雙曲線，雙曲線的漸近線方程為，不妨取，雙曲線漸近線與拋物線交于點(diǎn)，則將點(diǎn)A代入可得，將點(diǎn)A代入拋物線方程可得，則，所以拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB過(guò)拋物線M的焦點(diǎn)，則由A和焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AB的方程為，直線AB與拋物線交于，聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)可得，則，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與拋物線的綜合應(yīng)用，直線與拋物線相交所得弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.12．關(guān)于函數(shù)，有以下三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)之積為；②函數(shù)的極值點(diǎn)不可能是；③函數(shù)必有最小值.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，即可判斷①；求得后代入，根據(jù)是否為0即可判斷②；設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，結(jié)合①可得當(dāng)時(shí)，，再證明即可判斷③；即可得解.【詳解】由題意函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)，令，則，所以方程必有兩個(gè)不等實(shí)根，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，故①正確；，當(dāng)時(shí)，，故不可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，故②正確；令即，，設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，則當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以為函數(shù)極小值；由①知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以為函數(shù)的最小值，故③正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了推理能力，屬于中檔題.二、填空題13．已知x＞1，y＞1，xy＝10，則的最小值是_______．【答案】9【解析】依題意可得，再由基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：∵,,，∴，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.【答案】【解析】利用原命題的等價(jià)命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即原命題為假，則其否定為真.【詳解】若命題“，”是假命題，則“，”為真命題，則只需滿足，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假與參數(shù)的取值范圍求解問(wèn)題，較易，解答時(shí)只需要利用等價(jià)命題轉(zhuǎn)化為二次不等式的恒成立問(wèn)題即可.15．已知，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】24【解析】根據(jù)題意，由定積分計(jì)算公式可得的值，進(jìn)而由二項(xiàng)式定理分析的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，有，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為24；故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出的值，屬于基礎(chǔ)題．16．已知向量，，函數(shù)，下列命題，說(shuō)法正確的序號(hào)是__________.①；②圖象關(guān)于稱；③若，則；④若，則.【答案】②④【解析】由已知可得，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，代入驗(yàn)證，逐一判斷即可.【詳解】，①當(dāng)時(shí)，，，故①錯(cuò)誤；②，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可取得最小值為，所以②正確；③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在不單調(diào)，故③錯(cuò)誤；④因?yàn)?，所以，所以，又，即，所以，恒成立，故④正確.故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，正、余弦的二倍角公式，兩角差的正弦公式的逆用及正弦型三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題17．如圖，在四棱錐中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中點(diǎn).（1）求證：CM∥平面PAB；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，從而得到，由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)垂直關(guān)系可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.分別為的中點(diǎn)，，又且，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）由題意知：兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，.平面，為平面的一個(gè)法向量，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題；考查學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算和求解能力，屬于?？碱}型.18．已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．（1）在下列條件中選擇一個(gè)________使數(shù)列是等比數(shù)列，說(shuō)明理由；①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）②，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）選②，由和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得所求和.【詳解】（1）①③不能使成等比數(shù)列.②可以：由題意，即，得，且，.常數(shù)且，為非零常數(shù)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，所以?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.19．已知橢圓，是其上的點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且在y軸上有一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求m的值．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率可得關(guān)系，據(jù)此設(shè)，代入點(diǎn)即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離求出三角形高，可得，由基本不等式可求最值.【詳解】（1）由離心率為，可設(shè)橢圓方程為又橢圓C過(guò)點(diǎn)，∴．②由①②解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線l的方程為，則到直線l的距離，將代入橢圓方程，得，由判別式，解得．設(shè)，則，由弦長(zhǎng)公式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，基本不等式，屬于中檔題.20．2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和銷量（萬(wàn)盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361013151821銷量（萬(wàn)盒）1122.53.53.54.56（1）根據(jù)數(shù)據(jù)用最小二乘法求出與的線性回歸方程（系數(shù)用分?jǐn)?shù)表示，不能用小數(shù)）；（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后，才能進(jìn)行第二次檢測(cè).第一次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，.兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：（1）（2）.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）直接利用回歸方程公式計(jì)算得到答案.（2）可取，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1），，由公式，，∴.（2）藥品的三類劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格分別為事件，則，由題意，可取，，，，.的分布列為：0123【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21．已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若有2個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令得或，對(duì)x分類討論，可得的單調(diào)性，即可求解．（2）對(duì)分類討論，當(dāng)0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)與方程思想，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令得或，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，（2）當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)；不滿足題意．當(dāng)時(shí)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，而時(shí)，，所以，使，當(dāng)時(shí)，，所以，即取，，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，令得或①，即時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，變化情況是遞增遞減遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，，，則在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意③，即時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變