異面直線所成的角的求法公開課一等獎(jiǎng)優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

2.1.2

空間中直線與直線之間位置關(guān)系習(xí)題課第1頁(yè)第1頁(yè)問題一：異面直線鑒定第2頁(yè)第2頁(yè)例1.已知m、n為異面直線，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，則l()A．與m、n都相交B．與m、n中至少一條相交C．與m、n都不相交D．與m、n中一條直線相交第3頁(yè)第3頁(yè)例2.已知點(diǎn)P、Q、R、S分別是正方體四條棱中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線一個(gè)圖是 ()第4頁(yè)第4頁(yè)例3．如圖，已知α∩β＝a，b?α，c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線．第5頁(yè)第5頁(yè)[證實(shí)]假設(shè)b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b與a∩b＝A矛盾．(2)若b與c相交，設(shè)b∩c＝B，∵a∥c，∴B?a，即A、B兩點(diǎn)不重疊，這樣直線b上有兩點(diǎn)A、B∈β，∴b?β，又b?α，∴b是α與β公共直線，又α∩β＝a，∴b與a重疊，這與b∩a＝A矛盾，∴b與c是異面直線．第6頁(yè)第6頁(yè)異面直線證實(shí):(1)反證法，假設(shè)兩直線共面，隨后導(dǎo)出矛盾，故兩直線異面．(2)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)直線和平面內(nèi)但是該點(diǎn)直線是異面直線(異面直線鑒定定理)．第7頁(yè)第7頁(yè)問題二：求異面直線所成角第8頁(yè)第8頁(yè)預(yù)備知識(shí)角知識(shí)正弦定理a=2RsinAa=2RsinASABC=bcsinA余弦定理ABCbcacosA=ABCbca第9頁(yè)第9頁(yè)二、數(shù)學(xué)思想、辦法、環(huán)節(jié)：處理空間角問題涉及數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角，然后通過解三角形求得。2.辦法：3.環(huán)節(jié)：求異面直線所成角：①作（找）②證③點(diǎn)④算1.數(shù)學(xué)思想：平移結(jié)構(gòu)可解三角形第10頁(yè)第10頁(yè)例4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為4(1)求直線BA1和CC1所成角大小(2)若M，N分別為棱A1B1和B1B中點(diǎn)，求直線AM與CN所成角余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=Cos∠QNC=第11頁(yè)第11頁(yè)

例

5、在正方體ABCD-A’B’C’D’中，棱長(zhǎng)為a，E、F分別是棱A’B’，B’C’中點(diǎn)，求：①異面直線AD與EF所成角大?。虎诋惷嬷本€B’C與EF所成角大?。虎郛惷嬷本€B’D與EF所成角大小.第12頁(yè)第12頁(yè)②異面直線B’C與EF所成角大小；第13頁(yè)第13頁(yè)OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D與EF所成角即為AC與OG所成角,即為∠AOG或其補(bǔ)角.平移法補(bǔ)形法第14頁(yè)第14頁(yè)例6空間四邊形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，E、F分別是SA、BC中點(diǎn)，則異面直線EF與SC所成角900第15頁(yè)第15頁(yè)S是正△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA=SB=SC且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分別是AB和SC中點(diǎn)，求異面直線SM與BN所成角。ASBCMNPMABCPNPBaaa例7.第16頁(yè)第16頁(yè)三例8.第17頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第19頁(yè)例9．如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角度數(shù)為________第20頁(yè)第20頁(yè)[解析]

折起后，空間圖形如圖．A、B、C三點(diǎn)重疊為一點(diǎn)A′，在△BDE中，IJ∥BD，在△ADF中，GH∥DF，∴折起后，IJ∥A′D，∴直線DF與A′D所成角就是HG與IJ所成角，在正△A′DF中，∠A′DF＝60°.第21頁(yè)第21頁(yè)

例、10

由四個(gè)全等等邊三角形圍成封閉幾何體稱為正四周體．如圖，正四周體ABCD中，E、F分別是棱BC、AD中點(diǎn)，CF與DE是一對(duì)異面直線，在圖形中適當(dāng)選取一點(diǎn)作出異面直線CF、DE平行線，找出異面直線CF與DE所成角．第22頁(yè)第22頁(yè)[解析]

思緒1：選取平面ACD，該平面有下列兩個(gè)特點(diǎn)：①該平面包括直線CF，②該平面與DE相交于點(diǎn)D，伸展平面ACD，在該平面中，過點(diǎn)D作DM∥CF交AC延長(zhǎng)線于M，連結(jié)EM.能夠看出：DE與DM所成角，即為異面直線DE與CF所成角．如圖1.第23頁(yè)第23頁(yè)思緒2：選取平面BCF，該平面有下列兩個(gè)特點(diǎn)：①該平面包括直線CF，②該平面與DE相交于點(diǎn)E.在平面BCF中，過點(diǎn)E作CF平行線交BF于點(diǎn)N，連結(jié)ND，能夠看出：EN與ED所成角，即為異面直線FC與ED所成角．如圖2.思緒3：選取平面ADE，該平面有下列兩個(gè)特點(diǎn)：①該平面包括直線DE，②該平面與CF相交于點(diǎn)F.在平面ADE中，過點(diǎn)F作FG∥DE，與AE相交于點(diǎn)G，連結(jié)CG，能夠看出：FG與FC所成角，即為異面直線CF與DE所成角．如圖3.第24頁(yè)第24頁(yè)第25頁(yè)第25頁(yè)思緒4：選取平面BCD，該平面有下列特點(diǎn)：①該平面包括直線DE，②該平面與CF相交于點(diǎn)C，伸展平面BCD，在該平面內(nèi)過點(diǎn)C作CK∥DE與BD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，且DK＝BD，連結(jié)FK，則CF與CK所成角，即為異面直線CF與DE所成角．如圖4.第26頁(yè)第26頁(yè)總結(jié)評(píng)述：(1)上面四個(gè)思緒共同點(diǎn)是：由兩條異面直線中一條與另一條上一個(gè)點(diǎn)擬定一個(gè)平面，在該平面內(nèi)過該點(diǎn)作該直線平行線，從而找出兩條異面直線所成角，這是立體幾何“化異為共”“降維”基本思想．第27頁(yè)第27頁(yè)(2)求兩條異面直線所成角關(guān)鍵是作出這兩條異面直線所成角，作兩條異面直線所成角辦法是：將其中一條平移到某個(gè)位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使它們相交，然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成角．值得注意是：平移后相交所得角必須容易算出，因此平移時(shí)要求選擇恰當(dāng)位置．普通提倡像思緒2、思緒3那樣作角，由于此角在幾何體內(nèi)部，易求．第28頁(yè)第28頁(yè)(3)找出異面直線所成角后求角大?。胀ㄒ?dú)w到一個(gè)三角形中，通過解三角形求出角大小，如本題思緒1中可歸結(jié)為解△DEM.思緒2中可歸結(jié)為解△DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我們學(xué)過解斜三角形后，即可計(jì)算．(4)實(shí)際問題中，若含有“中點(diǎn)”“百分比點(diǎn)”常利用中位線，百分比線段進(jìn)行平移．第29頁(yè)第29頁(yè)10．A為正三角形BCD所在平面外一點(diǎn)，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分別是棱AD、BC中點(diǎn)，連結(jié)AF、CE，如圖所表示，求異面直線AF、CE所成角余弦值。

ABCDEFG解：連結(jié)DF，取DF中點(diǎn)G，連結(jié)EG，CG，又E是AD中點(diǎn)，故EG//AF，因此∠GEC（或其補(bǔ)角）是異面直線AF、CE所成角。∴異面直線AF、CE所成角余弦值是

第30頁(yè)第30頁(yè)11．A為正三角形BCD所在平面外一點(diǎn)，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分別是棱AD、BC中點(diǎn)，連結(jié)AF、CE，如圖所表示，求異面直線AF、CE所成角余弦值。

ABCDEFP另解:延長(zhǎng)DC至P,使DC=CP，E為AD中點(diǎn)，∴AP//EC。

故∠PAF(或其補(bǔ)角)為異面直線AF、CE所成角。

∴異面直線AF、CE所成角余弦值是

第31頁(yè)第31頁(yè)練習(xí)1：如圖，P為ΔABC所在平面外一點(diǎn)，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分別為PA和BC中點(diǎn)。

（1）求證：EF與PC為異面直線；（2）求EF與PC所成角；（3）求線段EF長(zhǎng)。ABCPEF假設(shè)EF與PC不是異面直線,則EF與PC共面由題意可知其平面為PBC這與已知P為ΔABC所在平面外一點(diǎn)矛盾第32頁(yè)第32頁(yè)P(yáng)ABCMN12、空間四邊形P-ABC中，M，N分別是PB，AC中點(diǎn)，PA=BC=4，MN=3，求PA與BC所成角？E第33頁(yè)第33頁(yè)ADCBA1D1C1B1變題:已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a.O為底面中心，F(xiàn)為DD1中點(diǎn)E在A1B1上,求AF與OE所成角OEFN第34頁(yè)第34頁(yè)ADCBA1D1C1B12、若M為A1B1中點(diǎn)，N為BB1中點(diǎn)，求異面直線AM與CN所成角；NMFE第35頁(yè)第35頁(yè)例14、如圖，在三棱錐D－ABC中，

DA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求異面直線AB與CD所成角余弦值。ABCD第36頁(yè)第36頁(yè)四周體A—BCD棱長(zhǎng)均為a,E，F(xiàn)分別為棱BC，AD中點(diǎn)，

（1）求異面直線CF和BD所成角余弦值。

（2）求CF與DE所成角。思考題ABCDEFPQ第37頁(yè)第37頁(yè)異面直線所成角求法:

典例剖析例1：如圖正方體AC1，①求異面直線AB1和CC1所成角大?、谇螽惷嬷本€AB1和A1D所成角大小

D1D1CB1A1ADD1BC1〖分析〗1、做異面直線平行線2、闡明哪個(gè)角就是所求角3、把角放到平面圖形中求解

解:①∵CC1//BB1∴AB1和BB1所成銳角是異面直線AB1和CC1所成角

∵在△ABB1中，AB1和BB1所成角是450∴異面直線AB1和CC1所成角是450。第38頁(yè)第38頁(yè)異面直線所成角求法:

典例剖析例1：如圖正方體AC1，①求異面直線AB1和CC1所成角大?、谇螽惷嬷本€AB1和A1D所成角大小

D1D1CB1A1ADD1BC1〖分析〗1、做異面直線平行線2、闡明哪個(gè)角就是所求角3、把角放到平面圖形中求解

②∵在面A1B1CD中，∵A1B1CD∴A1D//B1C∴AB1和B1C所成銳角是異面直線AB1和A1D所成角

∵在△AB1C中，AB1和CC1所成角是600∴異面直線AB1和A1D所成角是600。第39頁(yè)第39頁(yè)DB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACB正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BB1中點(diǎn),如圖畫出下面各題中指定異面直線●P異面直線所成角是銳角或直角，當(dāng)三角形內(nèi)角是鈍角時(shí)，表示異面直線所成角是它補(bǔ)角.第40頁(yè)第40頁(yè)DB1A1D1C1ACB以第三幅圖為例