高考數(shù)學(xué)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量其分布第4講隨機(jī)事件的概率理

第4講隨機(jī)事件的概率[考綱解讀]1.認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件概率的意義，理解頻次與概率的差別．(要點(diǎn))2.掌握互斥事件的概率加法公式．(難點(diǎn))[考向展望]從近三年高考狀況來(lái)看，本講內(nèi)容一般不作獨(dú)立考察，展望2020年將會(huì)考察：①對(duì)峙、互斥與古典概型聯(lián)合，基本概率的計(jì)算；②隨機(jī)事件與頻次散布直方圖相聯(lián)合.以客觀(guān)題的形式體現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型.1．事件的分類(lèi)2．頻次和概率(1)在同樣的條件S下重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，察看某一事件A能否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A01An02A出現(xiàn)的□次數(shù)n為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比率f(A)＝□n為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，假如跟著試驗(yàn)次數(shù)的增添，事件03n(A)穩(wěn)固A發(fā)生的□頻次f在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱(chēng)為事件A的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算4．概率的幾個(gè)基天性質(zhì)概率的取值范圍：□010≤P(A)≤1.(2)必定事件的概率02P(E)＝□1.不行能事件的概率P(F)＝□030.概率的加法公式假如事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝□04P(A)＋P(B)．對(duì)峙事件的概率若事件A與事件B互為對(duì)峙事件，則05P(A)＝□1－P(B)．1．觀(guān)點(diǎn)辨析(1)若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.()(2)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻次的穩(wěn)固值．( )(3)由各個(gè)事件所含的結(jié)果構(gòu)成的會(huì)合相互的交集為空集，則事件互斥．( )(4)－A所含結(jié)果構(gòu)成會(huì)合事件A的對(duì)峙事件A所含的結(jié)果構(gòu)成的會(huì)合，是全集中由事件的補(bǔ)集．()(5)對(duì)峙事件必定是互斥事件，互斥事件不必定是對(duì)峙事件．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2．小題熱身(1)以下事件中不行能事件的個(gè)數(shù)為()①假如a>b，c>d，則a－d>b－c；②對(duì)某中學(xué)的畢業(yè)生進(jìn)行一次體檢，每個(gè)學(xué)生的身高都超出2m；③某電視劇收視率為40%；④從10個(gè)玻璃杯(此中8個(gè)正品，2個(gè)次品)中，任取2個(gè)，2個(gè)都是次品；⑤在不受外力作用的條件下，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體改變其勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．A．1B．2C．3D．4答案B分析①是必定事件；②⑤是不行能事件；③④是隨機(jī)事件．應(yīng)選B.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“起碼有一名女生”與事件“所有是男生”( )A．是互斥事件，不是對(duì)峙事件B．是對(duì)峙事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對(duì)峙事件D．既不是互斥事件也不是對(duì)峙事件答案C分析3名男生和2名女生，從中任選2名有以下可能：①所有是男生；②恰有1名女生；③所有是女生，所以“起碼有一名女生”與“所有是男生”既是互斥事件，也是對(duì)峙事件．給出以下三個(gè)命題，此中正確的命題有________個(gè)．①有一大量產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，所以正面出現(xiàn)的概率是37；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻次就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．答案0分析由概率的觀(guān)點(diǎn)知，從中任取100件，可能有10件次品，其實(shí)不是必有10件次品，3則①是假命題；拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率是2，不是7，則②是假命題；頻次和概率不是同一個(gè)觀(guān)點(diǎn)，則③是假命題．綜上可知，正確的命題有

0個(gè)．(4)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，

設(shè)事件

A＝{抽到一等品

}，事件

B＝{抽到二等品

}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為_(kāi)_______．答案0.35分析“抽到的不是一等品”與“抽到一等品”是對(duì)峙事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.題型一隨機(jī)事件的關(guān)系1．有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地址隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向行進(jìn)，每人一個(gè)方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是( )A．互斥但非對(duì)峙事件B．對(duì)峙事件C．互相獨(dú)立事件

D．以上都不對(duì)答案

A分析

“甲向南”與“乙向南”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，

但有可能都不發(fā)生，所以這兩個(gè)事件互斥但不對(duì)峙．2．在

5張電話(huà)卡中，有

3張挪動(dòng)卡和

2張聯(lián)通卡，從中任取

2張，若事件“2張所有是挪動(dòng)卡”的概率是

310，那么概率為

710的事件是

(

)A．至多有一張挪動(dòng)卡

B．恰有一張挪動(dòng)卡C．都不是挪動(dòng)卡

D．起碼有一張挪動(dòng)卡答案分析

A至多有一張挪動(dòng)卡包括“一張挪動(dòng)卡，

一張聯(lián)通卡”“兩張所有是聯(lián)通卡”兩個(gè)事7件，它是“2張所有是挪動(dòng)卡”的對(duì)峙事件，所以“至多有一張挪動(dòng)卡”的概率為

10.判斷互斥、對(duì)峙事件的兩種方法(1)定義法判斷互斥事件、對(duì)峙事件一般用定義判斷，不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；

兩個(gè)事件，如有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)峙事件，對(duì)峙事件必定是互斥事件．(2)會(huì)合法①由各個(gè)事件所含的結(jié)果構(gòu)成的會(huì)合相互的交集為空集，則事件互斥．－②事件A的對(duì)峙事件A所含的結(jié)果構(gòu)成的會(huì)合，是全集中由事件A所含的結(jié)果構(gòu)成的集合的補(bǔ)集．某小組有3名男生和2名女生，從中選2名同學(xué)去參加演講比賽，以下有4個(gè)事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②起碼有1名男生和起碼有1名女生；③起碼有1名男生和所有是男生；④起碼有1名男生和所有是女生，此中是互斥事件的是________(填序號(hào))．答案①④分析對(duì)于事件①，恰有1名男生是1男1女與恰有2名男生互斥；對(duì)于事件②，起碼1名男生與起碼1名女生二者有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于③，起碼1名男生與所有是男生也有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于事件④，起碼1名男生和所有是女生不行能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件．題型二隨機(jī)事件的頻次與概率1．對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽樣檢查，結(jié)果如表：求次品出現(xiàn)的頻次(次品率)；(2)記“任取一件襯衣是次品”為事件A，求P(A)；(3)為了保證買(mǎi)到次品的顧客可以實(shí)時(shí)改換，銷(xiāo)售1000件襯衣，起碼需進(jìn)貨多少件？解(1)次品率挨次為0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.m由(1)知，出現(xiàn)次品的頻次n在0.05鄰近搖動(dòng)，故P(A)＝0.05.(3)設(shè)購(gòu)進(jìn)襯衣x件，則x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故起碼需進(jìn)貨1053件．2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)3(單位：m)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，獲取頻數(shù)散布表以下：作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻次散布直方圖：(2)預(yù)計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.353的概率；m(3)預(yù)計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)儉多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)解(1)(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于30.35m的頻次為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，所以該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于30.35m的概率的預(yù)計(jì)值為0.48.該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的均勻數(shù)為1x1＝50×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.1該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的均勻數(shù)為x2＝50×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.預(yù)計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)儉水3(0.48－0.35)×365＝47.45(m)．1．計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件頻次或概率的解題思路計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．由頻次與概率的關(guān)系得所求．2．求解以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)事件的頻次或概率問(wèn)題的要點(diǎn)點(diǎn)求解該類(lèi)問(wèn)題的要點(diǎn)是由所給頻次散布表、頻次散布直方圖或莖葉圖等圖表計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)，從而利用頻次與概率的關(guān)系得所求

.(2019·福建基地綜合測(cè)試

)某商鋪計(jì)劃每日購(gòu)進(jìn)某商品若干件，

商鋪每銷(xiāo)售

1件該商品可贏(yíng)利

50元．若供大于求，節(jié)余商品所有退回，但每件商品損失

10元；若求過(guò)于供，則從外面調(diào)劑，此時(shí)每件調(diào)劑商品可贏(yíng)利

30元．若商鋪一天購(gòu)進(jìn)該商品10件，求日收益y(單位：元)對(duì)于日需求量n(單位：件，nN)的函數(shù)分析式；商鋪記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表：日需求量n89101112頻數(shù)91115105①假定該店在這50天內(nèi)每日購(gòu)進(jìn)10件該商品，求這50天的日收益(單位：元)的均勻數(shù)；②若該店一天購(gòu)進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻次作為各需求量發(fā)生的概率，求日收益在區(qū)間[400,550]內(nèi)的概率．解(1)當(dāng)天需求量n≥10時(shí)，日收益為y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200，當(dāng)天需求量n<10時(shí)，收益y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日收益y與日需求量n的函數(shù)分析式為y＝30n＋200，n≥10，n∈N，60n－100，<10，∈N.nn(2)50天內(nèi)有9天獲取的日收益為380元，有11天獲取的日收益為440元，有15天獲得日收益為500元，有10天獲取的日收益為530元，有5天獲取的日收益為560元．所以①這50天的日收益(單位：元)的均勻數(shù)為380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5＝477.2.50②日收益(單位：元)在區(qū)間[400,550]內(nèi)的概率為11＋15＋1018P＝50＝25.題型三互斥事件與對(duì)峙事件的概率角度1互斥事件概率公式的應(yīng)用1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若某集體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為

0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為

0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為

(

)A．0.3B

．0.4C

．0.6D

．0.7答案

B分析

設(shè)事件

A為只用現(xiàn)金支付，事件

B為只用非現(xiàn)金支付，事件

C為既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，由于P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.應(yīng)選B.角度2對(duì)峙事件概率公式的應(yīng)用2．某班選派5人參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)比賽，獲獎(jiǎng)的人數(shù)及其概率以下：獲獎(jiǎng)人數(shù)/人012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎(jiǎng)人數(shù)不超出2人的概率為0.56，求x的值；(2)若獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．解記事件“在比賽中，有k人獲獎(jiǎng)”為A(k∈N，k≤5)，則事件A相互互斥．kk(1)∵獲獎(jiǎng)人數(shù)不超出2人的概率為0.56，P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由獲獎(jiǎng)人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.求復(fù)雜的互斥事件概率的方法直接法間接法(正難則反)1．某城市2018年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：此中污介入數(shù)

T≤50

時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；

50<T≤100

時(shí)，空氣質(zhì)量為良；

100<T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為稍微污染，則該城市

2018年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為

________．答案35分析由題意可知2018年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為1＋1＋1＝3.106352．(2018·揚(yáng)州模擬)某商場(chǎng)為了認(rèn)識(shí)顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名職工隨機(jī)采集了在該商場(chǎng)購(gòu)物的100位顧客的有關(guān)數(shù)據(jù)，以下表所示．已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超出8件的顧客占55%.確立x，y的值，并預(yù)計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的均勻值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超出2分鐘的概率(將頻次視為概率)．解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該商場(chǎng)所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間構(gòu)成一個(gè)整體，所采集的100位顧客一次購(gòu)物的