2023年高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯集）專題03函數(shù)的圖像與性質(zhì)理

PAGEPAGE1專題03函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．(2022·課標(biāo)全國乙)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為()答案D2．(2022·山東)函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>eq\f(1,2)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，那么f(6)等于()A．－2B．－1C．0D．2答案D解析當(dāng)x>eq\f(1,2)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．當(dāng)x<0時，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，應(yīng)選D.3．(2022·上海)設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①假設(shè)f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均為增函數(shù)，那么f(x)，g(x)，h(x)中至少有一個為增函數(shù)；②假設(shè)f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T為周期的函數(shù)，那么f(x)，g(x)，h(x)均是以T為周期的函數(shù)，以下判斷正確的選項是()A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題答案D4．(2022·北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤a，,－2x，x＞a.))(1)假設(shè)a＝0，那么f(x)的最大值為________；(2)假設(shè)f(x)無最大值，那么實數(shù)a的取值范圍是________．答案(1)2(2)(－∞，－1)解析(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤0，,－2x，x＞0.))假設(shè)x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0.所以f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；在(－1,0]上單調(diào)遞減，所以f(x)最大值為f(－1)＝2.假設(shè)x＞0，f(x)＝－2x單調(diào)遞減，所以f(x)＜f(0)＝0.所以f(x)的最大值為2.(2)f(x)的兩個函數(shù)在無限制條件時圖象如圖．由(1)知，當(dāng)a≥－1時，f(x)取得最大值2.當(dāng)a＜－1時，y＝－2x在x＞a時無最大值，且－2a＞2.所以a＜－1.5．a(chǎn)>0，且a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是圖中的()答案B6．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，那么f(log220)等于()A．1B.eq\f(4,5)C．－1D．－eq\f(4,5)答案C解析由f(x－2)＝f(x＋2)?f(x)＝f(x＋4)，因為4<log220<5，所以0<log220－4<1，－1<4－log220<0.又因為f(－x)＝－f(x)，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(4,5)))＝－1.應(yīng)選C.7．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,lnx＋1－x)，那么y＝f(x)的圖象大致為()答案B解析方法一由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x≠0，))解得f(x)的定義域為{x|x>－1，且x≠0}．令g(x)＝ln(x＋1)－x，那么g′(x)＝eq\f(1,x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋1)，當(dāng)－1<x<0時，g′(x)>0；當(dāng)x>0時，g′(x)<0.∴f(x)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，對照各選項，只有B符合．方法二此題也可取特值，用排除法求解：f(2)＝eq\f(1,ln3－2)<0，排除A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,ln\f(1,2)＋\f(1,2))＝eq\f(1,ln\f(\r(e),2))<0，排除C，D，選B.8．函數(shù)h(x)(x≠0)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,4)，0<x≤4，,4－2x，x>4，))假設(shè)h(t)>h(2)，那么實數(shù)t的取值范圍為________．答案(－2,0)∪(0,2)易錯起源1、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例1、(1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，假設(shè)f(log2m)<f(log4(m＋2))成立，那么實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\f(1,4)≤m<2 B.eq\f(1,4)≤m≤2C．2<m≤4 D．2≤m≤4(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x＜0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－x))，0≤x＜1，))其中a∈R.假設(shè)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，那么f(5a)的值是________．答案(1)A(2)－eq\f(2,5)解析(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增．故由f(log2m)<f(log4(m＋2))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤log2m≤2，,－2≤log4m＋2≤2，,log2m<log4m＋2，,m>0，,m＋2>0，))解－2≤log2m≤2，得eq\f(1,4)≤m≤4；解－2≤log4(m＋2)≤2，得eq\f(1,16)≤m＋2≤16，即－eq\f(31,16)≤m≤14.由log2m<log4(m＋2)，得log4m2<log4(m＋2)，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2>0，,m＋2>0，,m2<m＋2，))解得－1<m<2，且m≠0.綜上可知，m的取值范圍是eq\f(1,4)≤m<2，應(yīng)選A.(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋a，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,2)))＝eq\f(1,10).又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，那么－eq\f(1,2)＋a＝eq\f(1,10)，a＝eq\f(3,5)，∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋eq\f(3,5)＝－eq\f(2,5).【變式探究】(1)(2022·四川)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，f(x)＝4x，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝________.(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.假設(shè)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，那么a＋3b的值為________．答案(1)－2(2)－10解析(1)因為f(x)是周期為2的函數(shù)，所以f(x)＝f(x＋2)．而f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)．所以f(1)＝f(－1)，f(1)＝－f(－1)，即f(1)＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－2，從而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.【名師點睛】(1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值．(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是化成f(x1)<f(x2)的形式．【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1．單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，標(biāo)準(zhǔn)步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減〞的原那么．2．奇偶性(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同〞或“相反〞)．(2)在公共定義域內(nèi)：①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)；③一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)．(3)假設(shè)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么f(0)＝0.(4)假設(shè)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱．3．周期性定義：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．假設(shè)函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，那么其一個周期T＝|a|.常見結(jié)論：(1)f(x＋a)＝－f(x)?函數(shù)f(x)的最小正周期為2|a|.(a≠0)(2)f(x＋a)＝eq\f(1,fx)?函數(shù)f(x)的最小正周期為2|a|.(a≠0)(3)f(a＋x)＝f(b－x)，那么函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝eq\f(a＋b,2)對稱．易錯起源2、函數(shù)圖象及應(yīng)用例2、(1)函數(shù)y＝eq\f(sin2x,2x＋2－x)的圖象大致為()(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax3,3)＋eq\f(ax－x2＋3,2)，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f′(x)與g(x)的圖象不可能的是()答案(1)A(2)B解析(1)首先根據(jù)函數(shù)表達式可知y＝eq\f(sin2x,2x＋2－x)為(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(0)＝0，排除C，D；當(dāng)x＝eq\f(1,100)時，顯然排除B，應(yīng)選A.(2)因為f(x)＝eq\f(ax3,3)＋eq\f(ax－x2＋3,2)，所以f′(x)＝ax2－x＋eq\f(a,2)，假設(shè)a＝0，那么選項D是正確的，故排除D.假設(shè)a<0，選項B中的二次函數(shù)的判別式Δ＝1－4a·eq\f(a,2)＝1－2a2<0，所以a2>eq\f(1,2)，又a<0，所以a<－eq\f(\r(2),2).二次函數(shù)f′(x)的圖象的對稱軸為x＝eq\f(1,2a)；三次函數(shù)g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3a)))，令g′(x)>0，得x<eq\f(1,a)或x>eq\f(1,3a)，令g′(x)<0，得eq\f(1,a)<x<eq\f(1,3a)，所以函數(shù)g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a的極大值點為x＝eq\f(1,a)，極小值點為x＝eq\f(1,3a)；由B中的圖象知eq\f(1,3a)<eq\f(1,2a).但a<－eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(1,3a)>eq\f(1,2a)，所以選項B的圖象是錯誤的，應(yīng)選B.【變式探究】(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))cosx(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為()(2)三次函數(shù)f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，那么函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象可能是()答案(1)D(2)B【名師點睛】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷此類試題的根本方法．(2)判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對選項進行篩選．要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值．【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1．作函數(shù)圖象有兩種根本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準(zhǔn)確畫出圖象的特點．易錯起源3、根本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3、(1)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，那么a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a(2)假設(shè)函數(shù)假設(shè)f(a)>f(－a)，那么實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)答案(1)C(2)C解析(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝1.5x在R上單調(diào)遞增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.(2)方法一由題意作出y＝f(x)的圖象如圖．顯然當(dāng)a>1或－1<a<0時，滿足f(a)>f(－a)．應(yīng)選C.方法二對a分類討論：當(dāng)a>0時，∴a>1.當(dāng)a<0時，∴0<－a<1，∴－1<a<0，應(yīng)選C.【變式探究】(1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是()(2)函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且當(dāng)x∈(－∞，0)時，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，假設(shè)a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，那么a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．a(chǎn)>c>b答案(1)D(2)C解析(1)方法一分a>1,0<a<1兩種情形討論．當(dāng)a>1時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；當(dāng)0<a<1時，y＝xa為增函數(shù)，y＝logax為減函數(shù)，排除A.由于y＝xa遞增較慢，所以選D.方法二冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0,1)點，排除A；B項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D正確；C項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯．(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，那么g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，所以函數(shù)y＝g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減．因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以y＝f(x)是奇函數(shù)，由此可知函數(shù)y＝g(x)是偶函數(shù)．根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.【名師點睛】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運算能力．(2)比擬代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性．【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)．2．冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1五種情況．1．以下函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex答案D解析令f(x)＝x＋ex，那么f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而A、B、C依次是偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，應(yīng)選D.2．以下函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)〞的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝x B．f(x)＝x3C．f(x)＝(eq\f(1,2))x D．f(x)＝3x答案D3．函數(shù)f(x)＝x＋cosx的大致圖象是()答案B解析∵f(x)＝x＋cosx，∴f(－x)＝－x＋cosx，∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，排除A、C；當(dāng)x＝eq\f(π,2)時，x＋cosx＝eq\f(π,2)＝x，即f(x)的圖象與直線y＝x的交點中有一個點的橫坐標(biāo)為eq\f(π,2)，排除D.應(yīng)選B.4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1，,lnx，x≥1))的值域為R，那么a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案C解析要使函數(shù)f(x)的值域為R，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0，,ln1≤1－2a＋3a，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a≥－1.))所以－1≤a<eq\f(1,2)，應(yīng)選C.5．設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的大小關(guān)系是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))答案A6．符號函數(shù)sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，那么()A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝－sgnxC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]答案B解析因為a>1，所以當(dāng)x>0時，x<ax，因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(x)<f(ax)，所以g(x)＝f(x)－f(ax)<0，sgn[g(x)]＝－1＝－sgnx；同理可得當(dāng)x<0時，g(x)＝f(x)－f(ax)>0，sgn[g(x)]＝1＝－sgnx；當(dāng)x＝0時，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgnx也成立．故B正確．7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，假設(shè)對?x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．(－∞，3] D．(0,3]答案C解析由題意分析可知條件等價于f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，又因為f(x)＝x|x－a|，所以當(dāng)a≤0時，結(jié)論顯然成立，當(dāng)a>0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥a，,－x2＋ax，x<a，))所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以0<a≤3.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]．8.如下圖的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，動點P從A點出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運動(其中A，O，O1，O2，B五點共線)，記點P運動的路程為x，設(shè)y＝|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系為y＝f(x)，那么y＝f(x)的大致圖象是()答案A解析當(dāng)x∈[0，π]時，y＝1.當(dāng)x∈(π，2π)時，eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(O2P,\s\up6(→))與eq\o(O2O1,\s\up6(—→))的夾角為θ，|eq\o(O2P,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(O2O1,\s\up6(—→))|＝2，所以θ＝x－π，所以y＝|eq\o(O1P,\s\up6(→))|2＝(eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(—→)))2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，x∈(π，2π)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增，排除C，D.當(dāng)x∈[2π，4π)時，因為eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))的夾角為α，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OO1,\s\up6(→))|＝1，所以α＝2π－eq\f(1,2)x，所以y＝|eq\o(O1P,\s\up6(→))|2＝(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→)))2＝5－4cosα＝5－4coseq\f(1,2)x，x∈[2π，4π)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞減，排除B.應(yīng)選A.9．給出以下四個函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝eq\r(x).當(dāng)0<x1<x2<1時，使feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2)恒成立的函數(shù)的序號是________．答案②④解析由題意知，滿足條件的函數(shù)圖象形狀為：故符合圖象形狀的函數(shù)為y＝log2x，y＝eq\r(x).10．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－ax<1，,logaxx≥1))在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范