【數(shù)學(xué)】2023屆高考文科一輪專題復(fù)習(xí)之高效測試21：正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例

第頁高效測試21：正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例一、選擇題1．某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．3解析：如下圖，設(shè)此人從A出發(fā)，那么AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin30°)，得∠CAB＝60°或120°，當(dāng)∠CAB＝60°時(shí)，∠ACB＝90°，AB＝2eq\r(3)；當(dāng)∠CAB＝120°時(shí)，∠ACB＝30°，AB＝eq\r(3)，應(yīng)選C.答案：C2．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，那么這只船的速度是每小時(shí)()A．5海里B．5eq\r(3)海里C．10海里D．10eq\r(3)海里解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/小時(shí))．答案：C3．如下圖，兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，那么燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2a解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a.答案：B4．有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，那么斜坡長為()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米答案：C5．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后，又測得它在貨輪的東北方向，那么貨輪的速度為()A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))海里/小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)C．20(eq\r(3)＋eq\r(6))海里/小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小時(shí)答案：B6．(2023·重慶沖刺)一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)的測得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m答案：A二、填空題7．(2023·濰坊質(zhì)檢)A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A、B兩船間的距離為3km，那么B船到燈塔C的距離為__________km答案：eq\r(6)－18．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．假設(shè)此人步行的速度為每分鐘50米，那么該形的半徑為__________米．答案：50eq\r(7)9．(2023·滄州聯(lián)考)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)米(如下圖)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．假設(shè)國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以__________(米/秒)的速度勻速升旗．答案：0.6三、解答題10．甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，假設(shè)甲船速度是乙船速度的eq\r(3)倍，問甲船應(yīng)取什么方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船，此時(shí)乙船行駛了多少海里？解析：如圖，設(shè)甲船取北偏東θ角去追趕乙，在C點(diǎn)處追上，假設(shè)乙船行駛的速度是v，那么甲船行駛的速度是eq\r(3)v，由于甲、乙兩船到C的時(shí)間相等．都為t，那么BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，∴2v2t2－vat－a2＝0，∴t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)，∴BC＝a，∴∠CAB＝30°，∴θ＝60°－∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)取北偏東30°的方向去追乙船，在乙船行駛a海里處相遇．11．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD、DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°，某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到了A用了6分鐘．假設(shè)此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(精確到1米)．解析：方法一：設(shè)該扇形的半徑為r米．由題意，得CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×eq\f(1,2)＝r2，解得r＝eq\f(4900,11)≈445(米)．答：該扇形的半徑OA的長約為445米．方法二：連結(jié)AC，作OH⊥AC，交AC于H.由題意，得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝120°.在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×eq\f(1,2)＝7002.∴AC＝700(米)，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2·AC·AD)＝eq\f(11,14).在直角△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝eq\f(11,14)，∴OA＝eq\f(AH,cos∠HAO)＝eq\f(4900,11)≈445(米)．答：該扇形的半徑OA的長約為445米．12．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)假設(shè)希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，那么小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？假設(shè)存在，試確定v的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由．解析：(1)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里．如下圖，在△AOB中應(yīng)用余弦定理得，S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，Smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\r(3)(2)由題意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化簡得：v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(3,4)))2＋675.由于0＜t≤eq\f(1,2)，即eq\f(1,t)≥2，所以當(dāng)eq\f(1,t)＝2時(shí)，v取得最小值10eq\r(13)，即小艇航行速度的最小值為10eq\r(13)海里/小時(shí)．(3)由(2)知v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900，設(shè)e